Analisi Matematica II

Testi consigliati

Testo di riferimento per la teoria:
N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica II, Liguori (2001)

Altre possibili scelte di testo per la teoria sono:
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica, McGraw Hill (2007)
R.A. Adams, Calcolo Differenziale 2, Casa Ed. Ambrosiana (2007)
M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa: Matematica, Zanichelli (2004)
N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica II, Liguori (1996) (versione piu' ampia del testo di riferimento).

Testi consigliati per gli esercizi
P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di matematica, volume II, Liguori.
S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di matematica, volume 2, Zanichelli (2002)
B. P. Demidovic: Esercizi e problemi di analisi matematica, Ed. Riuniti (2003 oppure 2010).
Su alcuni argomenti si trovano esercizi nel libro di E. Callegari: Quesiti di Analisi Matematica, Aracne, 2005. Inoltre, molti esercizi si trovano anche in alcuni dei libri segnalati sopra per la teoria.

NB Gli esercizi di Marcellini-Sbordone volume II sono disponibili in due diverse edizioni, una del 1995 (copertina verde e bianca) divisa in due libri (chiamati "parte prima" e "seconda"), una del 2009 (copertina azzurra) divisa in quattro libri (chiamati Tomo 1-2-3-4). Il contenuto e' identico e varia solo la suddivisione. Se si acquista l'edizione del 1995 servono entrambe le parti (anche se molti capitoli della prima parte non verranno trattati nel corso). Se si acquista quella del 2009 si puo' omettere di prendere il primo dei quattro tomi.

Inoltre, si possono utilizzare le seguenti liste di esercizi a cura del docente che verranno messe a disposizione durante lo svolgimento del corso. Queste liste hanno lo scopo di fornire allo studente esempi delle tipologie di esercizi di maggior interesse per il corso; si raccomanda di integrarle con esercizi analoghi presi da altre fonti. Alcuni esercizi contengono esempi o controesempi significativi per la teoria che possono essere chiesti al momento dell'esame orale.

Esercizi del 1.XI sulle equazioni differenziali del primo ordine e risposte .
Esercizi del 2.XI sulle equazioni differenziali lineari di ordine superiore al primo e risposte .
Esercizi del 19.XI sul calcolo differenziale e studio di estremi liberi per funzioni di più variabili e risposte .
Esercizi del 20.XI su su massimi e minimi vincolati e risposte .
Esercizi del 1.XII su su curve e integrali curvilinei di funzioni e risposte .
Testo della prova in itinere del 7 dicembre (sulla prima parte del programma).
Esercizi del 5.I su su forme differenziali e risposte .
Esercizi del 9.I su su integrali doppi (senza cambi di variabile) e risposte.
Esercizi del 17.I su su integrali doppi (con cambi di variabile e formule di Gauss-Green) e risposte.
Esercizi del 22.I su integrali di funzioni complesse e risposte.
Testo della prova in itinere del 28 gennaio (seconda parte del programma).
Testo della prova scritta del 7 febbraio.
Testo della prova scritta del 21 febbraio.
Testo della prova scritta del 30 giugno.
Testo della prova scritta dell'11 luglio.
Testo della prova scritta dell'8 settembre.
Testo della prova scritta del 19 settembre.

Programma definitivo del corso

NB Vengono indicati i paragrafi corrispondenti sul testo di riferimento. In alcuni casi, la presentazione degli argomenti a lezione e' stata diversa da quella del libro: lo studente all'esame puo' esporre nel modo che preferisce, purche' coerente. Sono obbligatorie (per raggiungere la sufficienza) le dimostrazioni indicate esplicitamente nel programma; e' consigliato lo studio anche di tutte le altre fatte a lezione.

1) Equazioni differenziali

Introduzione alle equazioni differenziali e al problema di Cauchy (par. 21). Teorema di esistenza e unicita' locale per il problema di Cauchy e conseguenze (par. 26, solo l'enunciato a pag.118, e par. 27). Teorema di esistenza globale (par. 28). Equazioni a variabili separabili (par. 29). Analisi qualitativa delle soluzioni (par. 32). Equazioni lineari del primo ordine (par. 23). Proprieta' generali delle equazioni lineari di ordine qualsiasi, caratterizzazione dell'integrale generale (con dimostrazione) (par. 22 e 33). Metodi risolutivi per il caso a coefficienti costanti: equazione caratteristica associata, tecniche per la ricerca dell'integrale particolare nel caso non omogeneo. (par. 24-25)

(In sintesi, va studiato il capitolo 3 del libro eccetto i paragrafi 30-31)

2) Calcolo differenziale per funzioni a più variabili

Richiami sugli spazi vettoriali n-dimensionali. Prodotto scalare, modulo (norma), distanza e loro proprieta' (par. 8). Elementi di topologia (par. 9). funzioni di piu' variabili: limiti e continuita' (par. 10). Derivate parziali (par. 11). Derivate successive, teorema di Schwarz (con dimostrazione) (par. 12). Differenziabilita', teorema del differenziale (o del differenziale totale) con dimostrazione (par. 13). Derivazione di funzioni composte (par. 14). Derivate direzionali (par. 15). Funzioni con gradiente nullo (par. 16). Formula di Taylor del secondo ordine (par. 17, solo il resto di Peano). Criteri per massimi e minimi relativi interni (par. 18). Il caso di piu' variabili (par. 19). (NB a lezione molti dei risultati precedenti sono stati direttamente enunciati nel caso di piu' variabili). Funzioni convesse (facoltativo, non sta sul libro).

3) Funzioni implicite, massimi e minimi vincolati

Generalità sulle funzioni implicite (par. 52). Il teorema di Dini per le funzioni di una variabile (par. 53). Conseguenze: punti regolari e rette tangenti per le curve cartesiane (insiemi di zeri di una funzione) (par. 54). Il teorema di Dini per funzioni di piu' variabili e per i sistemi (par. 55-56). Il teorema di invertibilita' locale (par. 57). Massimi e minimi vincolati in due dimensioni: teorema dei moltiplicatori di Lagrange (con dimostrazione) (par. 58). Generalizzazioni a piu' dimensioni (par. 59).

4) Curve e integrali curvilinei di funzioni.

Curve parametriche regolari, retta tangente (par. 34). Lunghezza di una curva (par. 35). Curve equivalenti, orientamento. Ascissa curvilinea (par. 36). Integrale curvilineo di funzioni (par. 37). Curvatura, componente normale e tangenziale dell'accelerazione di una curva (facoltativo, non sta sul libro - si trova ad esempio nei par. 2.4 e 2.5 del testo di Adams)

5) Forme differenziali.

Forme differenziali, integrale curvilineo di una forma differenziale (par. 38). Forme differenziali esatte, primitiva (o potenziale) di una forma differenziale. Integrazione di una forma esatta (con dimostrazione). Caratterizzazione delle forme esatte (par. 39). Forme differenziali chiuse. Un forma esatta e' chiusa (con dimostrazione). Esempio di forma chiusa ma non esatta. Una forma chiusa in un rettangolo e' esatta (con dimostrazione). Insiemi semplicemente connessi, forme chiuse in insiemi semplicamente connessi. (par. 40) Il caso in tre dimensioni (par. 41).

6) Integrali doppi e tripli.

Domini normali del piano, area di un insieme normale. Integrale di funzioni limitate su insiemi normali. Integrabilita' delle funzioni continue. (par. 43) Formule di riduzione per integrali doppi (par. 44). Formule di Gauss-Green (con dimostrazione), formula di Stokes, applicazione alle forme differenziali in un aperto semplicemente connesso. (par. 45). Cambiamento di variabili negli integrali doppi (par. 46). Integrali tripli (cenni) (par. 47).

7) Funzioni di variabile complessa.

Esponenziale, logaritmo, seno e coseno nel campo complesso. Funzioni olomorfe, equazioni di Cauchy-Riemann (con dimostrazione). Integrazione di funzioni complesse, teorema dei residui (con dimostrazione).
Questa parte del programma non e' trattata nel testo di riferimento. Per lo studio si possono utilizzare le note del docente scaricabili qui . Una trattazione piu' approfondita e' fatta nel libro di Bertsch-Dal Passo-Giacomelli.