Lezione del 25/9/2018:
Nozioni di base di topologia in Rⁿ: intorni sferici, insiemi aperti e chiusi, parte interna, chiusura e frontiera di un insieme. Punti isolati e punti di accumulazione. Esempi.

Lezione del 27/9/2018:
Funzioni di più variabili, esempi. Grafico, insiemi di livello. Limiti e continuità per funzioni di più variabili, definizione e proprietà di base.

Lezione del 28/9/2018:
Teorema di Bolzano-Weierstrass in Rⁿ (con dimostrazione). Teorema di Weierstrass per funzioni di più variabili. Teorema di Heine-Cantor. Esercizi sul calcolo dei limiti. L'esistenza di un unico limite lungo le rette è condizione necessaria ma non sufficiente per l'esistenza del limite in due variabili.

Lezione dell'1/10/2018:
Derivate parziali, definizioni ed esempi. Derivate direzionali. La derivabilità non implica la continuità in più variabili.

Lezione del 2/10/2018:
Differenziabilità di funzioni a più variabili. La differenziabilità implica la continuità e l'esistenza delle derivate direzionali (con dimostrazione). Piano tangente. Il teorema del differenziale totale (con dimostrazione).

Lezione del 4/10/2018:
Derivate successive, teorema di Schwarz (con dim.). Massimi e minimi, definizioni ed esempi.

Lezione del 5/10/2018:
Teorema di Fermat (condizione necessaria del primo ordine per massimi e minimi), con dim. Esempi. Richiami di algebra lineare: matrici simmetriche, autovalori, forme quadratiche.

Lezione dell'8/10/2018:
Formula di Taylor del secondo ordine in più variabili (senza dim.). Condizione necessaria e condizione sufficiente del secondo ordine per un massimo o minimo locale (con dim.). Esempi.

Lezione del 9/10/2018:
Tecniche per lo studio di punti critici con determinante hessiano nullo. Esempi ed esercizi.

Lezione del'11/10/2018:
Teorema del valor medio di Lagrange in più variabili. (con dim.) Insiemi convessi e funzioni convesse, proprietà (senza dim.). Esercizi su massimi e minimi.

Lezione del 12/10/2018:
Esercizi su massimi e minimi in due e tre variabili.

Lezione del 15/10/2018:
Funzioni a valori vettoriali. Matrice jacobiana. Derivazione di funzione composta (con dim.). Funzioni implicite, teorema di Dini in due variabili (senza dim).

Lezione del 16/10/2018:
Curve cartesiane nel piano, punti regolari, retta tangente. Massimi e minimi vincolati. Criterio dei moltiplicatori di Lagrange (con dim.)

Lezione del 18/10/2018:
Esercizi su massimi e minimi liberi.

Lezione del 19/10/2018:
Esercizi su massimi e minimi liberi e vincolati.

Lezione del 22/10/2018:
Funzioni implicite e massimi/minimi vincolati in tre variabili, il caso di una e di due equazioni. Massimi e minimi vincolati su insiemi definiti da un vincolo di disuguaglianza.

Lezione del 23/10/2018:
Massimi e minimi su insiemi limitati definiti da più vincoli di disuguaglianza. Esercizi.

Lezione del 25/10/2018:
Integrale di Riemann in due variabili per funzioni limitate su un rettangolo e su un insieme limitato generale: definizione e proprietà. Esempio di funzione non integrabile. Formule di riduzione per integrali su un rettangolo. Esempi.

Lezione del 26/10/2018:
Giustificazione intuitiva delle formule di riduzione. Misura di Peano-Jordan, definizione. Esempio di insieme non misurabile. Insiemi di misura nulla: proprietà ed esempi. Un insieme è misurabile se e solo se la frontiera ha misura nulla. Esempi di insiemi misurabili. Integrabilità di funzioni continue su insiemi misurabili. Domini normali.

Lezione del 5/11/2018:
Insiemi normali nel piano, formula di riduzione. Baricentro di insiemi. Esercizi.

Lezione del 6/11/2018:
Esercizi. Formula di cambiamento di variabili negli integrali doppi. Coordinate polari nel piano.

Lezione del 8/11/2018:
Esercizi su integrali doppi.

Lezione del 9/11/2018:
Interpretazione del determinante jacobiano come fattore di area nel cambio di coordinate. Teorema di inversione locale (cenni). Esercizi su integrali doppi.

Lezione del 12/11/2018:
Integrali tripli. Insiemi normali in R³, formule di riduzione "per fili" e "per strati". Baricentro e momento di inerzia di un solido di R³. Esercizi.

Lezione del 13/11/2018:
Coordinate sferiche e cilindriche in R³. Rappresentazione di porzioni di sfere, cilindri e coni nei vari sistemi di coordinate. Esercizi.

Lezione del 15/11/2018:
Esercizi su integrali tripli.

Lezione del 16/11/2018:
Integrali multipli impropri. Definizione di integrale improprio per funzioni positive e per funzioni a segno variabile che convergono assolutamente. Proprietà di convergenza dell'integrale di una potenza in un intorno dell'origine e nel suo complementare. Calcolo dell'integrale improprio della funzione gaussiana sulla retta mediante gli integrali doppi. Semplificazioni nel calcolo di integrali in presenza di simmetrie della funzione e del dominio di integrazione.

Lezione del 19/11/2018:
Curve parametriche in Rⁿ. Curve regolari, retta tangente. Curve regolari a tratti. Lunghezza di un arco di curva.

Lezione del 20/11/2018:
Esercizi su integrali tripli e su curve parametriche.

Lezione del 22/11/2018:
Integrale curvilineo di funzione (o di prima specie). Esempi. Curve equivalenti, orientazione. Ascissa curvilinea. Campi vettoriali e forme differenziali. Integrale curvilineo di campo vettoriale (o di seconda specie).

Lezione del 23/11/2018:
Interpretazione fisica degli integrali di campi vettoriali come lavoro di una forza. Campi conservativi, potenziale. L'integrale di un campo conservativo è pari alla differenza di potenziale (con dimostrazione) e corollari.

Lezione del 26/11/2018:
Campi vettoriali irrotazionali. Un campo conservativo è irrotazionale (con dimostrazione). Esempio di un campo irrotazionale ma non conservativo. Un campo irrotazionale definito su tutto il piano, o su un rettangolo, è conservativo (con dim.).

Lezione del 27/11/2018:
Esercizi su integrali di campi vettoriali e sul calcolo del potenziale.

Lezione del 29/11/2018:
Un campo irrotazionale possiede localmente un potenziale. Esempio: un campo irrotazionale il cui potenziale è l'angolo delle coordinate polari. Formule di Gauss-Green, teorema della divergenza e teorema di Stokes (del rotore) nel piano (con dim.).

Lezione del 30/11/2018:
Applicazioni del teorema di Stokes. Integrali su una curva chiusa di un campo irrotazionale con un solo punto singolare. Insiemi semplicemente connessi nel piano. Un campo irrotazionale in un insieme semplicemente connesso è conservativo.

Lezione del 3/12/2018:
Richiami sul prodotto vettoriale. Superfici cartesiane in R³, punti regolari, piano tangente. Superfici parametriche in R³, esempi. Bordo di una superficie. Superfici regolari, piano tangente e versore normale. Area di una superficie.

Lezione del 4/12/2018:
Integrali di funzioni su superfici. Esercizi su piano tangente, calcolo di aree e di integrali di funzioni su superfici.

Lezione del 6/12/2018:
Orientazione di una superficie. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Formule di Gauss-Green e teorema della divergenza in R³ (con dimostrazione).

Lezione del 7/12/2018:
Rotore e divergenza di campi in vettoriali in R³. Teorema di Stokes in R³. Esempio di campo vettoriale solenoidale che non possiede potenziale vettore.

Lezione del 10/12/2018:
Esercizi sul calcolo del flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie mediante il teorema della divergenza o il teorema di Stokes.

Lezione del 11/12/2018:
Serie numeriche, definizione di convergenza. Serie geometrica. Criterio integrale di convergenza. Serie armonica. Condizione necessaria di convergenza. (NB i teoremi su serie numeriche sono stati svolti con dimostrazione salvo diversamente indicato).

Lezione del 13/12/2018:
Serie a termini positivi: il criterio del confronto. Criterio del confronto asintotico. Esempi ed esercizi. Serie con termini a segno qualunque, criterio di convergenza assoluta. Criterio del rapporto.

Lezione del 14/12/2018:
Criterio della radice. Esempi ed esercizi. Serie a segni alterni, criterio di Leibniz. Esempi.

Lezione del 17/12/2018:
Successioni di funzioni, convergenza puntuale e uniforme, esempi. Il limite uniforme di funzioni continue è continuo (senza dim.) Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale (con dim). Teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata. (con dim.) Serie di funzioni. Criterio della convergenza totale. (con dim.)

Lezione dell'18/12/2018:
Serie di potenze. Convergenza delle serie di potenze, proprietà del raggio di convergenza (con dim). Convergenza totale di una serie di potenze nei sottointervalli compatti dell'intervallo di convergenza. (con dim.). Infinita derivabilità di una serie di potenze. Serie di Taylor, esempi.

Lezione del 20/12/2018:
Richiami sui numeri complessi, forma algebrica e trigonometrica, radici n-sime. Esponenziale, logaritmo e funzioni trigonometriche nel campo complesso. Derivabilità in senso complesso, funzioni olomorfe. Equazioni di Cauchy-Riemann (con dimostrazione).

Lezione del 21/12/2018:
Integrali di funzioni complesse, interpretazione come integrali di seconda specie. Integrali di funzioni che posseggono primitiva. Il campo vettoriale associato a f(z)dz con f olomorfa è irrotazionale. Teorema integrale di Cauchy. Residuo di una funzione olomorfa in una singolarità isolata. Teorema dei residui (con dimostrazione).

Lezione del 7/1/2019:
Calcolo del residuo nel caso di un polo semplice. Esempi ed esercizi.

Lezione dell'8/1/2019 (mattina):
Formula integrale di Cauchy. Infinita differenziabilità delle funzioni olomorfe. Sviluppabilità in serie delle funzioni olomorfe. Serie di Laurent. Classificazione delle singolarità in base alle proprietà della serie di Laurent. Applicazione del teorema dei residui al calcolo di integrali impropri reali.

Lezione dell'8/1/2019 (pomeriggio):
Esercizi su serie numeriche e sul teorema della divergenza in R³.

Lezione del 10/11/2018:
Il problema di Cauchy per un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine. Teorema di esistenza, dimostrazione col metodo delle approssimazioni successive.

Lezione dell'11/1/2019: Dimostrazione del teorema di unicità. Proprietà dell'intervallo massimale di esistenza (senza dim.). Esistenza globale per equazioni con secondo membro a crescita lineare (senza dim). Estensione al caso di equazioni e sistemi differenziali di ordine generale. Equazioni differenziali lineari: caratterizzazione dell'integrale generale come spazio vettoriale.

Lezione del 14/1/2019: Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Calcolo esplicito dell'integrale generale nel caso omogeneo, equazione caratteristica. Casi in cui l'equazione omogenea possiede una soluzione particolare di forma simile al termine non omogeneo. Esercizi ed esempi.

Lezione del 15/1/2019 (mattina): Metodo della variazione delle costanti per ricavare una soluzione particolare dell'equazione non omogenea. Esempi. L'equazione dell'oscillatore armonico: comportamento delle soluzioni. Risonanza.

Lezione del 15/1/2019 (pomeriggio): Esercizi di riepilogo.

Lezione del 17/1/2019: Esercizi su equazioni differenziali.

Lezione del 18/1/2019 (pomeriggio): Esercizi su equazioni differenziali. Esercizi su integrali di funzioni complesse.