Seminarietto sulle successioni spettrali

Luis Alberto Molina Rojas

1 Definizioni

Una successione spettrale (di omologia) in una categoria abeliana A è una famiglia {E_{p,q}^{r}} di oggetti in A definita per tutti gli interi p, q, e per r ≥ a, tale che:

1) per ogni r sono definiti dei morfismi

d_{p,q}^{r} : E_{p,q}^{r} ⟶ E_{p−r,q+r−1}^{r}

tali che d^{r} ∘ d^{r} = 0. I d^{r} sono detti differenziali, e rispetto a tali r le ”rette di coefficiente angolare −(r + 1)/r” nel reticolo E_{∗,∗}^{r} formano dei complessi di catene;

2) E_{p,q}^{r+1} è l’omologia di E_{∗,∗}^{r} nel punto E_{p,q}^{r}: piú precisamente, ci sono degli isomorfismi

E_{p,q}^{r+1} ≅ \frac{Ker(d_{p,q}^{r} : E_{p,q}^{r} → E_{p−r,q+r−1}^{r})}{d_{p+r,q−r+1}^{r+1}(E_{p+r,q−r+1}^{r})}

(d’ora in poi al posto dell’isomorfismo scriveremo un’uguaglianza). Gli E_{p,q}^{r} sono detti i termini della successione spettrale E = (E, d); gli E_{p,q}^{a} sono chiamati anche termini iniziali. Si noti che E_{p,q}^{r+1} è un sottoquoziente di E_{p,q}^{r} Il grado totale del termine E_{p,q}^{r} è n = p+q; i termini di grado totale n giacciono su una antidiagonale: quindi ogni differenziale d_{p,q}^{r} diminuisce il grado totale di una unità. Un morfismo di successioni spettrali f : E → E′ è una famiglia di mappe f_{p,q}^{r} : E_{p,q}^{r} → E_{p,q}^{′r} in A tali che:

1) d^{r}f^{r} = f^{r}d^{r};

2) f_{p,q}^{r+1} è la mappa indotta sull’omologia da f_{p,q}^{r}.

Esempio. Una successione spettrale nel primo quadrante è una successione spettrale tale che E_{p,q}^{r} = 0 per ogni p < 0, q < 0. Fissati p e q, si ha che E_{p,q}^{r} = E_{p,q}^{r+1} per r sufficientemente grande (r > max{p, q + 1}), perché in tal caso il d^{r} che atterra sul punto (p, q) proviene dal quarto quadrante (e quindi l’immagine è zero), mentre il d^{r} che parte da E_{p,q}^{r} finisce sul secondo quadrante (e quindi il nucleo è tutto E_{p,q}^{r}): denoteremo con E_{p,q}^{∞} questo valore stabile di E_{p,q}^{r}.

Lemma 1.1 Sia f : E → E′ un morfismo di successioni spettrali tali che per qualche r fissato f^{r} : E_{p,q}^{r} → E_{p,q}^{′r} è un isomorfismo per ogni p, q. Allora anche f^{s} : E_{p,q}^{s} → E_{p,q}^{′s} è un isomorfismo per ogni s ≥ r.

Dim. Il diagramma

d^{r}(E_{p+r,q−r+1}^{r}) ⟶ Ker(d^{r}) ⟶ E_{p,q}^{r+1} ⟶ 0
≅↓^{f^{r}}  ≅↓^{f^{r}}  ↓^{f_{∗}^{r}=f^{r+1}}
d^{r}(E_{p+r,q−r+1}^{′r}) ⟶ Ker(d^{′r}) ⟶ E_{p,q}^{′r+1} ⟶ 0

mostra subito che anche f^{r+1} deve essere un isomorfismo; la tesi segue quindi per induzione. □

Successioni limitate e convergenza. Una successione spettrale è detta limitata se per ogni n solo un numero finito di termini di grado totale n non sono nulli in E_{∗,∗}^{a}. In tal caso, per ogni p e q c’è un r_{0} tale che E_{p,q}^{r} = E_{p,q}^{r+1} per ogni r ≥ r_{0} (la spiegazione è analoga a quella per la successione nel primo quadrante). Denoteremo con E_{p,q}^{∞} questo valore stabile di E_{p,q}^{r}. Diciamo che una successione spettrale limitata converge ad H_{∗} se esiste una famiglia di oggetti H_{n} di A, ognuno dotato di una filtrazione finita

0 = F_{s}H_{n} ⊂ ⋯ ⊂ F_{p−1}H_{n} ⊂ F_{p}H_{n} ⊂ F_{p+1}H_{n} ⊂ ⋯ ⊂ F_{t}H_{n} = H_{n},

e tale che ci sono degli isomorfismi

E_{p,q}^{∞} ≅ \frac{F_{p}H_{p+q}}{F_{p−1}H_{p+q}} .

In tal caso si scriverá E_{p,q}^{a} ⇒ H_{p+q}.

Esempio. Supponiamo che una successione spettrale nel primo quadrante converga ad H_{∗}. Fissato n, i termini di grado totale non nulli n in E_{∗,∗}^{∞} sono E_{0,n}^{∞} = F_{0}H_{n}, E_{1,n−1}^{∞} = F_{1}H_{n}/F_{0}H_{n}, …, E_{n,0}^{∞} = F_{n}H_{n}/F_{n−1}H_{n}, quindi H_{n} ha una filtrazione finita di lunghezza n + 1:

0 = F_{−1}H_{n} ⊂ F_{0}H_{n} ⊂ ⋯ ⊂ F_{n−1}H_{n} ⊂ F_{n}H_{n} = H_{n}.

Inoltre, ogni freccia che atterra sull”’asse x” è zero, quindi E_{0,n}^{r} è un sottooggetto di E_{0,n}^{a}, mentre ogni freccia che parte dall’asse y è zero, quindi E_{n,0}^{r} è un sottoquoziente di E_{n,0}^{a}. Ci sono quindi dei morfismi

E_{0,n}^{∞} → ⋯ → E_{n,0}^{a+1} → E_{n,0}^{a}

e analogamente dei morfismi

E_{n,0}^{∞} ← ⋯ ← E_{0,n}^{a+1} ← E_{0,n}^{a}

detti anche omomorfismi di lato.

Successioni collassanti. Una successione spettrale collassa in E^{r}, per qualche r > 0 se c’è esattamente una riga o una colonna non nulla nel reticolo E_{∗,∗}^{r}. Se una successione spettrale che collassa converge a H_{∗}, si ricavano immediatamente gli H_{n}: infatti, H_{n} è l’unico E_{p,q}^{r} non nullo tale che p + q = n.

Termini E^{∞}. Data una successione spettrale, ogni E_{p,q}^{r+1} è un sottoquoziente del termine precedente E_{p,q}^{r}. Per induzione, si trova allora una famiglia di sottooggetti di E_{p,q}^{a}:

0 = B_{p,q}^{a} ⊂ ⋯ ⊂ B_{p,q}^{r} ⊂ B_{p,q}^{r+1} ⊂ ⋯ ⊂ Z_{p,q}^{r+1} ⊂ Z_{p,q}^{r} ⊂ ⋯ ⊂ Z_{p,q}^{a} = E_{p,q}^{a}

tali che E_{p,q}^{r} = Z_{p,q}^{r}/B_{p,q}^{r}. Introduciamo gli oggetti intermedi

B_{p,q}^{∞} = ⋃_{r=a}^{∞} B_{p,q}^{r} e Z_{p,q}^{∞} = ⋃_{r=a}^{∞} Z_{p,q}^{r}

e definiamo E_{p,q}^{∞} = Z_{p,q}^{∞}/B_{p,q}^{∞}. In una successione spettrale limitata, queste unioni e intersezioni sono entrambe finite, cosicché B_{p,q}^{∞} = B_{p,q}^{r} e Z_{p,q}^{∞} = Z_{p,q}^{r} per r grande; ritroviamo quindi come caso particolare la definizione precedente di E_{p,q}^{∞}.

Avvertenza. In una successione spettrale non limitata, assumeremo tacitamente che B_{p,q}^{∞}, Z_{p,q}^{∞} e E_{p,q}^{∞} esistano in A. Inoltre, nel seguito assumeremo anche l’esistenza di somme dirette arbitrarie in A.

Successioni limitate inferiormente Una successione spettrale si dice limitata inferiormente se per ogni n esiste un intero s = s(n) tale che i termini E_{p,q}^{a} di grado totale n sono nulli per ogni p < s: vale a dire, si annullano per p molto piccolo. Ad esempio, una successione spettrale limitata è anche limitata inferiormente. Una successione spettrale nei primi due quadranti è limitata inferiormente, ma non limitata.

Convergenza di successioni spettrali. Diamo la nozione di convergenza solo per le successioni spettrali inferiormente limitate, a cui noi siamo principalmente interessati. Una successione spettrale limitata inferiormente E^{r} converge a una collezione di oggetti H_{n} in A se ogni H_{n} è provvisto di una filtrazione

⋯ ⊂ F_{p−1}H_{n} ⊂ F_{p}H_{n} ⊂ F_{p+1}H_{n} ⊂ ⋯

tale che:

1) ⋃_{p} F_{p}H_{n} = H_{n} e ⋂_{p} F_{p}H_{n} = 0;

2) ci sono degli isomorfismi

β_{p,q} : E_{p,q}^{∞} ≅ \frac{F_{p}H_{p+q}}{F_{p−1}H_{p+q}}

(scriveremo anche piú brevemente β_{p} : E_{p}^{∞} ≅ F_{p}H/F_{p−1}H). La nozione di convergenza è motivata dal cosiddetto teorema di comparazione, che enunciamo qui sotto. Se E^{r} ed E^{′r} sono successioni spettrali limitate inferiormente che convergono ad H e H′ rispettivamente, diciamo che una mappa h : H → H′ è compatibile con un morfismo f : E → E′ se:

1) h(F_{p}H_{n}) ⊂ F_{p}H′_{n};

2) per ogni p, q, il seguente diagramma è commutativo:

F_{p}H_{p+q}/F_{p−1}H_{p+q} ⟶^{h_{p+q}} F_{p}H′_{p+q}/F_{p−1}H′_{p+q}
β_{p,q}↓≅  ^{β′_{p,q}}↓≅
E_{p,q}^{∞}  ⟶^{f_{p,q}^{∞}}  E_{p,q}^{′∞}.

(Con leggero abusto di notazione, abbiamo continuato ad indicare con h anche la mappa indotta sui quozienti).

Teorema 1.2 Nelle ipotesi appena viste, supponiamo che f^{r} : E_{p,q}^{r} ≅ E_{p,q}^{′r} sia un isomorfismo per ogni p, q e per qualche r (quindi per r = ∞): allora anche h è un isomorfismo.

Dim. La convergenza fornisce delle successioni esatte

0 ⟶ F_{p−1}H_{n}/F_{s}H_{n} ⟶ F_{p}H_{n}/F_{s}H_{n} ⟶ E_{p,n−p}^{∞} ⟶ 0
↓  ↓  ↓≅
0 ⟶ F_{p−1}H′_{n}/F_{s}H′_{n} ⟶ F_{p}H′_{n}/F_{s}H′_{n} ⟶ E_{p,n−p}^{′∞} ⟶ 0.

Fissato s, partendo da p = s+1 si mostra per induzione (crescente e decrescente) che F_{p}H_{n}/F_{s}H_{n} ≅ F_{p}H′_{n}/F_{s}H′_{n} per ogni p. Dal momento che H_{n} = ⋃_{p} F_{p}H_{n}, questo dimostra che H_{n}/F_{s}H_{n} ≅ H′_{n}/F_{s}H′_{n}. A questo punto osserviamo che ⋂_{p} F_{p}H_{n} è il nucleo dela mappa da H_{n} al suo completamento lim_{⟵}H_{n}/F_{p}H_{n}, per cui H_{n} = lim_{⟵}H_{n}/F_{p}H_{n}; analogamente, H′_{n} = lim_{⟵}H′_{n}/F_{p}H′_{n}, da cui l’isomorfismo. □

2 Successione spettrale associata a una filtrazione

Una filtrazione F di un complesso di catene (C, d) (con d di grado −1) è una famiglia ordinata di sottocomplessi

⋯ ⊂ F_{p−1}C ⊂ F_{p}C ⊂ F_{p+1}C ⊂ ⋯

di C. Una filtrazione è esaustiva se C = ⋃_{p} F_{p}C. (Ovviamente si ha sempre C ⊃ ⋃_{p} F_{p}C).

Teorema 2.1 (di costruzione) Una filtrazione F di un complesso (C, d) determina in modo naturale una successione spettrale E con termini iniziali

E_{p,q}^{0} = \frac{F_{p}C_{p+q}}{F_{p−1}C_{p+q}}

e isomorfismi naturali

E_{p,q}^{1} ≅ H_{p+q}(E_{p,∗}^{0}) = H_{p+q}(\frac{F_{p}C}{F_{p−1}C} ).

Dim. Nel seguito, eviteremo di scrivere l’indice q per non appesantire la notazione: quindi, data una famiglia di oggetti A_{p,q}, indicheremo con A_{p} la sottofamiglia A_{p,∗}, con la convenzione che se B = B_{∗} è un’altra famiglia (parametrizzata da un solo indice), un morfismo A_{p} → B è una collezione di morfismi A_{p,q} → B_{p+q}. In particolare, gli isomorfismi del teorema si leggono E_{p}^{0} = F_{p}C/F_{p−1}C, e E_{p}^{1} = H(E_{p}^{0}). Nel seguito denoteremo η_{p} la suriezione F_{p}C → F_{p}C/F_{p−1}C = E_{p}^{0}. Definiamo

A_{p}^{r} = {c ∈ F_{p}C : dc ∈ F_{p−r}C} (cioè, A_{p,q}^{r} = {c ∈ F_{p}C_{p+q} : dc ∈ F_{p−r}C_{p+q−1}}).

Un elemento di A_{p}^{r} può essere visto come un ”ciclo approssimativo a livello r”: il suo bordo non è necessariamente 0, ma si trova r gradi piú in basso nella filtrazione. Poniamo

Z_{p}^{r} = η_{p}(A_{p}^{r}) = \frac{A_{p}^{r}}{A_{p}^{r} ∩ F_{p−1}C} ⊂ E_{p}^{0},

e

B_{p−r}^{r+1} = η_{p−r}(d(A_{p}^{r})) ⊂ E_{p−r}^{0}.

(Gli indici sono scelti in modo tale che Z_{p}^{r} e B_{p}^{r} = η_{p}(d(A_{p+r−1}^{r−1})) sono sottooggetti di E_{p}^{0}.) Poniamo Z_{p}^{∞} = ⋂_{r=1}^{∞} Z_{p}^{r} e B_{p}^{∞} = ⋃_{r=1}^{∞} B_{p}^{r}. Allora abbiamo definito una catena di inclusioni per ogni E_{p}^{0}:

0 = B_{p}^{0} ⊂ B_{p}^{1} ⊂ ⋯ ⊂ B_{p}^{r} ⊂ B_{p}^{r+1} ⊂ ⋯ ⊂ B_{p}^{∞} ⊂ Z_{p}^{∞} ⊂ ⋯ ⊂ Z_{p}^{r+1} ⊂ Z_{p}^{r} ⊂ ⋯ ⊂ Z_{p}^{1} ⊂ Z_{p}^{0} = E_{p}^{a}.

A questo punto i termini della successione spettrale sono definiti da

E_{p}^{r} = Z_{p}^{r}/B_{p}^{r},

e le mappe d_{p}^{r} : E_{p}^{r} → E_{p−r}^{r} sono quelle indotte dal differenziale d : A_{p}^{r} → A_{p−r}^{r}. Per dimostrare che d_{p}^{r} è ben definita, notiamo innanzitutto che si ha A_{p}^{r} ∩ F_{p−1} = A_{p−1}^{r−1}. Quindi, sfruttando ripetutamente l’isomorfismo S/(U + (S ∩ T)) ≅ (S + T)/(U + T), si ottiene

E_{p}^{r} = \frac{Z_{p}^{r}}{B_{p}^{r}} = \frac{A_{p}^{r}/(A_{p}^{r} ∩ F_{p−1}C)}{d(A_{p+r−1}^{r−1})/(d(A_{p+r−1}^{r−1}) ∩ F_{p−1}C)} ≅ \frac{(A_{p}^{r} + F_{p−1}C)/F_{p−1}C}{(d(A_{p+r−1}^{r−1}) + F_{p−1}C)/F_{p−1}C} ≅
≅ \frac{A_{p}^{r}}{d(A_{p+r−1}^{r−1}) + A_{p}^{r} ∩ F_{p−1}C} ≅ \frac{A_{p}^{r}}{d(A_{p+r−1}^{r−1}) + A_{p−1}^{r−1}} ,

e quindi E_{p−r}^{r} = A_{p−r}^{r}/(d(A_{p−1}^{r−1}) + A_{p−r−1}^{r−1}). Allora, se a ∈ d(A_{p+r−1}^{r−1}) + A_{p−1}^{r−1}, si ha da ∈ d(A_{p−1}^{r−1}), per cui d_{p−r}^{r} è ben definita. Ora, per mostrare che abbiamo in mano una successione spettrale, dobbiamo solo esibire degli isomorfismi tra E^{r+1} e H(E^{r}).

Lemma 2.2 La mappa d determina degli isomorfismi

\frac{Z_{p}^{r}}{Z_{p}^{r+1}} ≅ \frac{B_{p−r}^{r+1}}{B_{p−r}^{r}}

Dim. Notiamo innanzitutto che d(A_{p}^{r}) ∩ F_{p−r−1}C = d(A_{p}^{r+1}), quindi B_{p−r}^{r+1} = d(A_{p}^{r})/d(A_{p}^{r}) ∩ F_{p−r−1}) = d(A_{p}^{r})/d(A_{p}^{r+1}) e

\frac{B_{p−r}^{r+1}}{B_{p−r}^{r}} = \frac{d(A_{p}^{r})/d(A_{p}^{r+1})}{d(A_{p−1}^{r−1})/d(A_{p−1}^{r})} = \frac{d(A_{p}^{r})}{d(A_{p−1}^{r−1} + A_{p}^{r+1})}

dal momento che A_{p−1}^{r} ⊂ A_{p}^{r+1} implica d(A_{p−1}^{r}) ⊂ d(A_{p}^{r+1}). D’altra parte,

\frac{Z_{p}^{r}}{Z_{p}^{r+1}} = \frac{η_{p}(A_{p}^{r})}{η_{p}(A_{p}^{r+1})} = η_{p}(\frac{A_{p}^{r}}{A_{p}^{r+1}} ) = \frac{A_{p}^{r}}{A_{p}^{r+1} + A_{p}^{r} ∩ F_{p−1}C} = \frac{A_{p}^{r}}{A_{p}^{r+1} + A_{p−1}^{r−1}}

dal momento che A_{p−1}^{r−1} = A_{p}^{r} ∩ F_{p−1}C. Poiché il nucleo di d : A_{r}^{p} → F_{p−r}C è contenuto in A_{p}^{r+1}, la mappa indotta da d

\frac{A_{p}^{r}}{A_{p}^{r+1} + A_{p−1}^{r−1}} ⟶ \frac{d(A_{p}^{r})}{d(A_{p−1}^{r−1} + A_{p}^{r+1})}

è un monomorfismo; ma si riconosce subito che è anche suriettiva, per cui è un isomorfismo. □

Tornando alla nostra situazione, si ha che

Ker(E_{p}^{r} = \frac{A_{p}^{r}}{d(A_{p+r−1}^{r−1}) + A_{p−1}^{r−1}} → E_{p−r}^{r} = \frac{A_{p−r}^{r}}{d(A_{p−1}^{r−1}) + A_{p−r−1}^{r−1}} )

= \frac{\{z ∈ A_{p}^{r} : dz ∈ d(A_{p−1}^{r−1}) + A_{p−r−1}^{r−1}\}}{d(A_{p+r−1}^{r−1}) + A_{p−1}^{r−1}}

=^{(1)} \frac{A_{p−1}^{r−1} + A_{p}^{r+1}}{d(A_{p+r−1}^{r−1}) + A_{p−1}^{r−1}}
= \frac{A_{p−r}^{r}}{d(A_{p+r−1}^{r−1}) + A_{p−1}^{r−1}} ≅^{(2)} \frac{Z_{p}^{r+1}}{B_{p}^{r}}

dove (1) è implicato da da ∈ A_{p−r−1}^{r−1} ⇔ a ∈ A_{p}^{r+1}, e (2) da isomorfismi simili a quelli usati per il lemma 2.2. Inoltre, notiamo che

Im(d_{p}^{r} : E_{p}^{r} → E_{p−r}^{r}) ≅ \frac{E_{p}^{r}}{Kerd_{p}^{r}} = \frac{Z_{p}^{r}/B_{p}^{r}}{Z_{p}^{r+1}/B_{p}^{r}} ≅ \frac{Z_{p}^{r}}{Z_{p}^{r+1}} ≅ \frac{B_{p−r}^{r+1}}{B_{p−r}^{r}} ,

quindi la mappa d_{p}^{r} si fattorizza:

E_{p}^{r} → \frac{E_{p}^{r}}{Kerd_{p}^{r}} ≅ \frac{B_{p−r}^{r+1}}{B_{p−r}^{r}} ↪ \frac{Z_{p−r}^{r}}{B_{p−r}^{r}} = E_{p−r}^{r}.

Dunque l’immagine di d_{p}^{r} è \frac{B_{p−r}^{r+1}}{B_{p−r}^{r}}; rimpiazzando p con p + r, Im(d_{p+r}^{r}) = \frac{B_{p}^{r+1}}{B_{p}^{r}}, per cui si trova un isomorfismo

E_{p}^{r+1} = \frac{Z_{p}^{r+1}}{B_{p}^{r+1}} ≅ \frac{Z_{p}^{r+1}/B_{p}^{r}}{B_{p}^{r+1}/B_{p}^{r}} ≅ \frac{Ker(d_{p}^{r})}{Im(d_{p+r}^{r})} = H_{p}(E^{r})

cosicché abbiamo effettivamente costruito una successione spettrale. □

Una filtrazione di un complesso di catene C induce una filtrazione sull’omologia di C nel seguente modo: definiamo F_{p}H_{n}(C) come l’immagine della mappa H_{n}(F_{p}C) → H_{n}(C). Inoltre, se la filtrazione su C è esaustiva, anche la filtrazione indotta su H_{n}(C) è esaustiva: infatti, preso un elemento c ∈ H_{n}(C), c è rappresentato da qualche elemento in F_{p}C_{n} per qualche p: allora c ∈ F_{p}H_{n}(C), e H_{n}(C) ⊂ ⋃_{p} F_{p}H_{n}(C). Il prossimo teorema (di convergenza) fornisce dei criteri per la convergenza di successioni spettrali che nascono da filtrazioni inferiormente limitate

Teorema 2.3 (di convergenza) 1) Supponiamo che la filtrazione su C sia limitata. Allora la successione spettrale associata è limitata e converge ad H_{∗}(C):

E_{p,q}^{1} = H_{p+q}(F_{p}C/F_{p−1}C) ⇒ H_{p+q}(C).

2) Supponiamo che la filtrazione su C sia limitata inferiormente ed esaustiva. Allora anche la successione spettrale associata è limitata inferiormente e converge ad H_{∗}(C). Inoltre, la convergenza è naturale, nel senso che se f : C → C′ è una mappa di complessi filtrati, allora la mappa indotta H(C) → H(C′) è compatibile con le mappe corrispondenti tra le successioni spettrali associate.

Dim. Dimostreremo direttamente la 2), che è piú forte. Per quanto visto, anche la filtrazione indotta su H_{∗} è esaustiva e inferiormente limitata: ne consegue che ⋃_{p} F_{p}H_{n} = H_{n} e ⋂_{p} F_{p}H_{n} = 0 per ogni n. Inoltre, anche la successione spettrale associata è inferiormente limitata. Per dimostrare il teorema è quindi sufficiente esibire degli isomorfismi β_{p} : E_{p}^{∞} ≅ F_{p}H/F_{p−1}H. Per questo osserviamo che, poiché la filtrazione è limitata inferiormente, fissati p, n e q = n − p, nelle notazioni del teorema precedente

A_{p,q}^{r} = {c ∈ F_{p}C_{n} : dc ∈ F_{p−r}C_{n−1}}

si stabilizza per r grande: denotiamo con A_{p,q}^{∞} tale valore stabile (chiaramente A_{p,q}^{∞} = {c ∈ F_{p}C_{n} : dc = 0}, e Z_{p,q}^{∞} = η_{p,q}(A_{p,q}^{∞})). Ora, A_{p,q}^{∞} = Ker(d : F_{p}C_{n} → F_{p}C_{n−1}), mentre (dC_{n+1}) ∩ F_{p}C_{n} = ⋃_{r} d(A_{p+r,q−r+1}^{r}) (⊃ è ovvia; viceversa, preso c ∈ (dC_{n}) ∩ F_{p}C_{n−1}, c = da con a ∈ F_{p+r}C_{n} per qualche r per l’esaustivitá, per cui a ∈ A_{p+r,q−r+1}^{r}). Infine, A_{p−1,q}^{∞} = {c ∈ F_{p−1}C_{n} : dc = 0}, mentre

Ker(η_{p,q} : A_{p,q}^{∞} → E_{p,q}^{0}) = {c ∈ F_{p}C_{n} : dc = 0 e c ∈ F_{p−1}C_{n}} = A_{p−1,q}^{∞},

quindi

\frac{F_{p}H_{n}(C)}{F_{p−1}H_{n}(C)} = \frac{Ker(d : F_{p}C_{n} → F_{p}C_{n−1})/d(C_{n+1}) ∩ F_{p}C_{n}}{Ker(d : F_{p−1}C_{n} → F_{p−1}C_{n−1})/d(C_{n+1}) ∩ F_{p−1}C_{n}}
= \frac{A_{p,q}^{∞}/d(⋃_{r} A_{p+r,q−r+1}^{r})}{A_{p−1,q+1}^{∞}/d(⋃_{r} A_{p+r+1,q−r}^{r})}
=^{(1)} \frac{A_{p,q}^{∞}}{A_{p−1,q+1}^{∞} + d(⋃_{r} A_{p+r,q−r+1}^{r})}
= \frac{A_{p,q}^{∞}}{A_{p,q}^{∞} ∩ F_{p−1}C_{n} + d(⋃_{r} A_{p+r,q−r+1}^{r})}
= \frac{η_{p,q}A_{p,q}^{∞}}{η_{p,q}(d(⋃_{r} A_{p+r,q−r+1}^{r}))} =^{(2)} \frac{Z_{p,q}^{∞}}{B_{p,q}^{∞}} = E_{p,q}^{∞},

dove (1) è implicato da ⋃_{r} A_{p+r,q−r+1}^{r} ⊂ ⋃_{r} A_{p+r+1,q−r}^{r}, mentre (2) è implicato da B_{p,q}^{∞} = ⋃_{r} B_{p,q}^{r} = ⋃_{r} η_{p,q}(dA_{p+r,q−r+1}^{r}).

□

3 Successione spettrale di un complesso doppio

Un complesso doppio (di omologia) (o bicomplesso) in A è una famiglia {C_{p,q}} di oggetti in A, con delle mappe

d^{h} : C_{p,q} → C_{p−1,q} e d^{v} : C_{p,q} → C_{p,q−1}

tali che d^{h} ∘ d^{h} = d^{v} ∘ d^{v} = d^{h} ∘ d^{v} + d^{v} ∘ d^{h} = 0. È molto utile visualizzare il bicomplesso C_{∗,∗} come un reticolo

↓  ↓  ↓
⟵ C_{p−1,q+1} ⟵^{d^{h}} C_{p,q+1} ⟵^{d^{h}} C_{p+1,q+1} ⟵
↓^{d^{v}}  ↓^{d^{v}}  ↓^{d^{v}}
⟵ C_{p−1,q} ⟵^{d^{h}} C_{p,q} ⟵^{d^{h}} C_{p+1,q} ⟵
↓^{d^{v}}  ↓^{d^{v}}  ↓^{d^{v}}
⟵ C_{p−1,q−1} ⟵^{d^{h}} C_{p,q−1} ⟵^{d^{h}} C_{p+1,q−1} ⟵
↓  ↓  ↓

in cui le mappe d^{h} vanno in orizzontale, le mappe d^{h} vanno in verticale, e ogni quadrato è anticommutativo. Ogni riga C_{∗,q} è un complesso di catene rispetto al differenziale orizzontale d^{h}, e indicheremo con H_{p}^{h}(C_{∗,q}) la sua p-esima omologia. Analogamente, ogni colonna C_{p,∗} è un complesso di catene rispetto al differenziale d^{v}, con omologia H_{q}^{v}(C_{p,∗}).

Diremo che un complesso doppio C è limitato se C ha solo un numero finito di termini lungo ogni antidiagonale p + q = n. Un esempio di complesso doppio limitato è un complesso doppio nel primo quadrante, cioè tale che C_{p,q} ≠ 0 solo per p ≥ 0, q ≥ 0.

Complessi totali. Ad ogni complesso doppio (di omologia) C è associato un complesso di catene T_{∗} = Tot(C)_{∗}, detto complesso totale di C, i cui termini sono definiti da

Tot(C)_{n} = ⨁_{p+q=n} C_{p,q}

e con un differenziale d : Tot(C)_{n} → Tot(C)_{n−1} dato da d = d^{h} + d^{v}. (L’anticommutativitá di d^{h} e d^{v} serve a garantire che d ∘ d = 0.)

Le tecniche sviluppate nei due capitoli precedenti consentono di approssimare l’omologia del complesso totale T_{∗} attraverso i termini di una opportuna successione spettrale ricavata da C_{∗,∗}. Prima di tutto, dobbiamo inventarci un modo utile per filtrare il complesso doppio. Nel seguito, T sará sempre il complesso totale del complesso doppio C.

Filtrazione con colonne. Sia, per ogni h, (^{I}τ_{≤h}C)_{∗,∗} il sottocomplesso di C_{∗,∗} ottenuto ponendo a zero tutte le colonne C_{p,∗} tali che p > h:

(^{I}τ_{≤h}C)_{p,q} = \{ \begin{matrix}C_{p,q} & se p ≤ h \\ 0 & se p > h \end{matrix}  (1)

Il complesso totale associato a questo complesso doppio è chiaramente un sottocomplesso di T_{∗}, e verrá denotato con^{I}F_{h}T_{∗}. In altro modo,

IF_{h}T_{n} = ⨁_{p+q=n,p≤h} C_{p,q}

Abbiamo quindi una filtrazione di T_{n}:

⋯ ⊂^{I} F_{h−1}T_{n} ⊂^{I} F_{h}T_{n} ⊂^{I} F_{h+1}T_{n} ⊂ ⋯

che da’ luogo a una successione spettrale^{I}E_{p,q}^{r}. I termini iniziali di questa successione spettrale sono per definizione

IE_{p,q}^{0} =^{I} F_{p}T_{p+q}/^{I}F_{p−1}T_{p+q} = C_{p,q},

e le mappe d_{p,q}^{0} non sono altro che i differenziali verticali d^{v}, come è immediato verificare, quindi

IE_{p,q}^{1} = H_{q}^{v}(C_{p,∗}).

Le mappe d^{1} : H_{q}^{v}(C_{p,∗}) → H_{q}^{v}(C_{p−1,∗}) sono indotte sull’omologia dai differenziali orizzontali d^{h}, per cui si ha

IE_{p,q}^{2} = H_{p}^{h}(H_{q}^{v}(C_{∗,∗})).

Se C è un complesso doppio nel primo quadrante, la filtrazione è limitata, e abbiamo una successione spettrale convergente:

IE_{p,q}^{2} = H_{p}^{h}H_{q}^{v}(C) ⇒ H_{p+q}(Tot(C)).

Piú in generale, questo risultato vale ogniqualvolta C è nullo nel secondo quadrante: in tal caso, infatti, la filtrazione sará limitata inferiormente, ed è ovvio che questa filtrazione è sempre esaustiva, dunque si può applicare il teorema 2.3.

Filtrazione con righe. In modo del tutto analogo, sia, per ogni h, (^{II}τ_{≤h}C)_{∗,∗} il sottocomplesso di C_{∗,∗} ottenuto ponendo a zero tutte le righe C_{∗,q} tali che q > h:

(^{II}τ_{≤h}C)_{p,q} = \{ \begin{matrix}C_{p,q} & se q ≤ h \\ 0 & se q > h \end{matrix}  (2)

Il complesso totale associato a questo complesso doppio è denotato con ^{II}F_{h}T_{∗}. In altro modo,

IIF_{h}T_{n} = ⨁_{p+q=n,q≤h} C_{p,q}

Abbiamo quindi una filtrazione di T_{n}:

⋯ ⊂^{II} F_{h−1}T_{n} ⊂^{II} F_{h}T_{n} ⊂^{II} F_{h+1}T_{n} ⊂ ⋯

che da’ luogo a una successione spettrale ^{II}E_{p,q}^{r}. Dal momento che F_{p}T (C)/F_{p−1}T (C) è la riga C_{∗,p}, si ha

IIE_{p,q}^{0} = C_{q,p}

(notare lo scambio degli indici!), e le mappe d_{p,q}^{0} sono i differenziali orizzontali d^{h}, quindi

IIE_{p,q}^{1} = H_{q}^{h}(C_{∗,p}).

Le mappe d^{1} : H_{p}^{h}(C_{∗,q}) → H_{p}^{h}(C_{∗,q−1}) sono indotte sull’omologia dai differenziali verticali d^{v}, per cui si ha

IIE_{p,q}^{2} = H_{p}^{v}H_{q}^{h}(C_{∗,∗}).

Notiamo che si si sarebbe potuti arrivare alla stessa conclusione osservando che scambiare i ruoli di p e q equivale a passare dalla filtrazione in righe a quella in colonne, e quindi dalla successione spettrale^{I}E alla^{II}E.

Se C è un complesso doppio nel primo quadrante (o piú in generale C è nullo nel quarto quadrante), la filtrazione è limitata, e abbiamo una successione spettrale convergente:

IIE_{p,q}^{2} = H_{q}^{v}H_{p}^{h}(C) ⇒ H_{p+q}(Tot(C)).

Successione esatta dei termini di grado basso. Sia C un complesso doppio nel primo quadrante, T = Tot(C). Allora è immediato verificare che E_{0,0}^{2} = H_{0}(T). Inoltre, c’è una successione esatta

H_{2}(T) ⟶^{α} ^{I}E_{2,0}^{2} ⟶^{d} ^{I}E_{0,1}^{2} ⟶^{β} H_{1}(T) ⟶^{γ} ^{I}E_{1,0}^{2} ⟶ 0

detta successione esatta dei termini di grado basso, definita nel modo seguente: se \overline{a} ∈ H_{2}(T) è rappresentato da (a_{2,0}, a_{1,1}, a_{0,2}) ∈ C_{2,0} ⊕ C_{1,1} ⊕ C_{0,2}, α(a) è rappresentato da a_{2,0}; se \overline{b} ∈ E_{0,1}^{2} è rappresentato da b ∈ C_{0,1}, β(\overline{b}) è rappresentato da (0, b) ∈ C_{1,0} ⊕ C_{0,1}; infine, γ è il morfismo indotto dalla proiezione sul secondo fattore C_{1,0} ⊕ C_{0,1} → C_{1,0}. L’esattezza si controlla facilmente cacciando sull complesso doppio:

↓  ↓  ↓
C_{0,2} ⟵^{d^{h}} C_{1,2} ⟵^{d^{h}} C_{2,2} ⟵
d^{v}↓  ^{d^{v}}↓  ^{d^{v}}↓
C_{0,1} ⟵^{d^{h}} C_{1,1} ⟵^{d^{h}} C_{2,1} ⟵
d^{v}↓  ^{d^{v}}↓  ^{d^{v}}↓
C_{0,0} ⟵^{d^{h}} C_{1,0} ⟵^{d^{h}} C_{2,0} ⟵

(La successione esatta dei termini di grado basso per ^{II}E^{2} si ottiene scambiando gli indici in basso dei^{I}E^{2}.)

4 Successione spettrale di Grothendieck

Successioni spettrali di coomologia. Tutte le discussioni fatte nelle pagine precedenti si possono dualizzare al caso di una successione spettrale di coomologia, e al caso di un complesso doppio di coomologia. Una successione spettrale di coomologia in A è una famiglia {E_{r}^{p,q}} di oggetti, con r ≥ a, e di mappe

d_{r}^{p,q} : E_{r}^{p,q} ⟶ E_{r}^{p+r,q−r+1}

tali che d_{r} ∘ d_{r} = 0, e tali che E_{r+1} è l’omologia di E_{r}. In pratica, si tratta di una successione spettrale di omologia, solo che cambia l’indiciazione attraverso E_{r}^{p,q} = E_{−p,−q}^{r}, cosicché stavolta d_{r} aumenta il grado totale p + q di E_{p,q}^{r} di una unità. Una successione spettrale di coomologia viene detta limitata se per ogni n ∈ ℤ c’è solo un numero finito di termini non nulli di grado totale n in E_{a}^{∗,∗}. In una successione spettrale di coomologia limitata, denotiamo E_{∞}^{p,q} il valore stabile dei termini E_{r}^{p,q}, e diciamo che la successione converge ad H^{∗} se c’è una filtrzione finita

0 = F^{t}H^{n} ⊂ ⋯ ⊂ F^{p+1}H^{n} ⊂ F^{p}H^{n} ⊂ F^{p−1}H^{n} ⊂ ⋯ ⊂ F^{r}H^{n} = H^{n}

tale che E_{∞}^{p,q} ≅ F^{p}H^{p+q}/F^{p+1}H^{p+q}. (Notare che gli indici crescono).

Come prima, se una successione spettrale di coomologia nel primo quadrante converge ad H^{∗}, allora H^{n} ha una filtrazione finita:

0 = F^{n+1}H^{n} ⊂ F^{n}H^{n} ⊂ ⋯ ⊂ F^{1}H^{n} ⊂ F^{0}H^{n} = H^{n}.

In questo caso, il sottooggetto F^{n}H^{n} ≅ E_{∞}^{n,0} si trova sull’asse x, mentre il quoziente piú piccolo H^{n}/F^{1}H^{n} ≅ E_{∞}^{0,n} è situato sull’asse y. Gli omomorfismi di lato sono le mappe E_{a}^{n,0} → E_{∞}^{n,0} ⊂ H^{n} e H^{n} → E_{∞}^{0,n} ⊂ E_{a}^{0,n}.

Una successione spettrale di coomologia si dice limitata inferiormente se per ogni n i termini di grado totale n si annullano per p molto grande. Ad esempio, una successione spettrale di coomologia nel semipiano sinistro è limitata inferiormente, ma non limitata. La nozione di convergenza di una successione spettrale di coomologia limitata inferiormente è identica al quella per le successioni di omologia.

Le filtrazioni di complessi di cocatene, con relative proprietà (limitatezza inferiore, esaustività) si definiscono in modo del tutto analogo a quelle dei complessi di catene (con la precauzione che stavolta gli indici crescono), e vale il teorema fondamentale:

Teorema 4.1 Una filtrazione F di un complesso di cocatene C determina in modo naturale una successione spettrale di coomologia con termini iniziali

E_{0}^{p,q} = F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}

e con

E_{1}^{p,q} = H^{p+q}(E_{0}^{p,∗}).

Se la filtrazione è limitata (risp. limitata inferiormente ed esaustiva), anche la successione spettrale è limitata (risp, limitata inferiormente), e converge in modo naturale ad H^{∗}(C):

E_{1}^{p,q} = H^{p+q}(F^{p}C/F^{p+1}C) ⇒ H^{p+q}(C).

Un complesso doppio di coomologia (o bicomplesso di coomologia) in A è una famiglia {C^{p,q}} di oggetti di A, con delle mappe

d^{h} : C^{p,q} → C^{p+1,q} e d^{v} : C^{p,q} → C^{p,q+1}

tali che d^{h} ∘ d^{h} = d^{v} ∘ d^{v} = d^{h} ∘ d^{v} + d^{v} ∘ d^{h} = 0. Ad ogni complesso doppio di coomologia C è associato un complesso di cocatene T^{∗} = Tot(C)^{∗}, detto complesso totale di C, i cui termini sono definiti da

Tot(C)^{n} = ⨁_{p+q=n} C^{p,q}

e con un differenziale d : Tot(C)^{n} → Tot(C)^{n+1} dato da d = d^{h} + d^{v}. Come nelle successioni spettrali, non c’è nulla di nuovo: anche qui siamo di fronte a un complesso doppio di omologia, solo che cambia l’indiciazione attraverso C_{r}^{p,q} = C_{−p,−q}, cosicché stavolta d aumenta il grado totale p + q di C^{p,q} di una unità.

Le filtrazioni con righe e con colonne si applicano al contesto dei complessi doppi di coomologia nello stesso modo descritto per i complessi doppi di omologia. Noi saremo interessati in particolare ai complessi nel primo quadrante, per cui ne riassumiamo le proprietà nel seguente teorema:

Teorema 4.2 Sia C un complesso doppio di coomologia nel primo quadrante. Allora ci sono due successioni spettrali di coomologia:

1) Filtrando con colonne, con termini iniziali^{I}E_{0}^{p,q} = C^{p,q} e con

IE_{1}^{p,q} = H_{v}^{q}(C^{p,∗}), ^{I}E_{2}^{p,q} = H_{h}^{p}H_{v}^{q}(C)

che converge in modo naturale alla coomologia del complesso totale:

IE_{2}^{p,q} = H_{h}^{p}H_{v}^{q}(C) ⇒ H^{p+q}(Tot(C)).

Inoltre, si ha^{I}E_{2}^{0,0} = H^{0}(Tot(C)), e c’è una successione esatta

0 ⟶^{I} E_{2}^{1,0} ⟶ H^{1}(Tot(C)) ⟶^{I} E_{2}^{0,1} ⟶^{d}^{I} E_{2}^{2,0} ⟶ H^{2}(Tot(C)),

detta successione esatta dei termini di grado basso.

2) Filtrando con righe,con termini iniziali^{II}E_{0}^{p,q} = C^{q,p} e con

IIE_{1}^{p,q} = H_{h}^{q}(C^{∗,p}), ^{II}E_{2}^{p,q} = H_{v}^{p}H_{h}^{q}(C)

che converge in modo naturale alla coomologia del complesso totale:

IIE_{2}^{p,q} = H_{v}^{p}H_{h}^{q}(C) ⇒ H^{p+q}(Tot(C)).

Infine, la successione esatta dei termini di grado basso è

0 ⟶^{II} E_{2}^{1,0} ⟶ H^{1}(Tot(C)) ⟶^{II} E_{2}^{0,1} ⟶^{d}^{II} E_{2}^{2,0} ⟶^{I} H^{2}(Tot(C)).

Risoluzioni di Cartan-Eilenberg. Sia A una categoria abeliana che possieda sufficienti iniettivi. Una risoluzione di Cartan-Eilenberg (a destra) di un complesso di cocatene (A^{∗}, d) in A è un complesso doppio (di coomologia) nel semipiano superiore (I^{∗,∗}, d^{h}, d^{v}) costituito da oggetti iniettivi in A, con una mappa di aumentazione

A^{∗} ⟶^{ε} I^{∗,0}

che soddisfa le seguenti condizioni:

1) se A^{p} = 0, la colonna I^{p,∗} è zero;

2) definiamo i seguenti oggetti:

• B^{p,∗}(I, d^{h}) = d^{h}(I^{p−1,∗}), B^{p}(A) = d(A^{p−1});

• Z^{p,∗}(I, d^{h}) = Ker(d^{h} : I^{p,∗} → I^{p+1,∗}), Z^{p}(A) = Ker(d : A^{p} → A^{p+1}); • H^{p,∗}(I, d^{h}) = Z^{p}(I, d^{h})/B^{p}(I, d^{h}), H^{p}(A) = Z^{p}(A)/B^{p}(A); si ha allora che le mappe indotte dall’aumentazione

A^{p} ⟶^{ε} I^{p,∗}
Z^{p}(A) ⟶^{ε} Z^{p,∗}(I, d^{h})
B^{p}(A) ⟶^{ε} B^{p,∗}(I, d^{h})
H^{p}(A) ⟶^{ε} H^{p,∗}(I, d^{h})

sono delle risoluzioni iniettive in A.

Lemma 4.3 In una categoria abeliana con sufficienti iniettivi esistono sempre risoluzioni di Cartan-Eilenberg di complessi di cocatene, e due risoluzioni siffatte sono omotopicamente equivalenti.

Una omotopia di catene tra due mappe di complessi doppi di cocatene f, g : D → E consiste di una famiglia di mappe s_{h}^{p,q} : D^{p,q} → E^{p−1,q} e s_{v}^{p,q} : D^{p,q} → E^{p,q−1} tali che

g − f = (d^{h} ∘ s^{h} + s^{h} ∘ d^{h}) + (d^{v} ∘ s^{v} + s^{v} ∘ d^{v}),
s^{v} ∘ d^{h} + d^{h} ∘ s^{v} = s^{h} ∘ d^{v} + d^{v} ∘ s^{h} = 0.

La definizione è data in modo tale che s^{h} + s^{v} : Tot(D)^{n} → Tot(E)^{n−1} formano una omotopia di cocatene tra le mappe indotte Tot(f) e Tot(g) da Tot(D) a Tot(E).

Lemma 4.4 Sia I una risoluzione di Cartan-Eilenberg di un complesso di cocatene A in A. Allora la mappa data dall’aumentazione A → Tot(I) induce degli isomorfismi

H^{n}(A) ≅ H^{n}(Tot(I)).

Dim. I è un complesso doppio di cocatene nel semipiano superiore, quindi si può filtrare con righe e ottenere una successione spettrale convergente

E_{2}^{p,q} = H_{v}^{p}H_{h}^{q}(I) → H^{p+q}(Tot(I)).

Tuttavia, dal momento che I è una risoluzione di Cartan-Eilenberg, ogni colonna H_{h}^{∗}(I^{∗,p}) = H^{p,∗}(I, d^{h}) è esatta fuorché nel punto (p, 0), per cui la successione collassa a E_{2}; la sola riga che sopravvive è l’asse x, i cui termini sono proprio H^{q}(A), da cui l’isomorfismo cercato. □

Successione spettrale di Grothendieck Siano A, B e C categorie abeliane tali che A e B hanno sufficienti iniettivi, e supponiamo di avere dei funtori esatti a sinistra G : A → B e F : B → C. Viene spontaneo chiedersi che relazione ci sia tra i funtori derivati di G e F, e i funtori derivati di F ∘ G: la risposta è che questi questi funtori derivati sono collegati da una successione spettrale, detta successione spettrale di Grothendieck. Dato un funtore esatto a sinistra F : B → C, diremo che un oggetto B di B è F -aciclico se i funtori derivati a destra di F si annullano su B, cioè R^{i}F (B) = 0 per ogni i ≠ 0.

Teorema 4.5 (successione spettrale di Grothendieck) Siano A ⟶^{G} B ⟶^{F} C funtori esatti a sinistra tra categorie abeliane, tali che A e B hanno sufficienti iniettivi, e tali che G manda oggetti iniettivi di A in oggetti F -aciclici di B. Allora, per ogni A in A, esiste una successione spettrale di coomologia nel primo quadrante, con termini iniziali:

IIE_{2}^{p,q} = (R^{p}F)(R^{q}G)(A)

che converge ai funtori derivati di F G:

(R^{p}F)(R^{q}G)(A) ⇒ R^{p+q}(F G)(A).

Gli omomorfismi di lato di questa successione spettrale sono le mappe naturali

(R^{p}F)(GA) → R^{p}(F G)(A) e R^{q}(F G)(A) → F (R^{q}G(A)).

Infine, la successione esatta dei termini di grado basso è

0 → (R^{1}F)(GA) → R^{1}(F G)(A) → F (R^{1}G(A)) → (R^{2}F)(GA) → R^{2}(F G)(A).

Dim. Preso A in A, sia A → I una risoluzione iniettiva di A in A: applicando G, si ottiene un complesso di cocatene GI in B. Sia J una risoluzione di Cartan-Eilenberg di GI: applicando il funtore F, si ottiene un complesso doppio di coomologia F J, e sia ℝ^{n}F (GI) = H^{n}(Tot(F J)) (gli ℝ^{n}F (GI) sono detti anche funtori iperderivati di F, applicati alla cocatena GI). A questo punto applichiamo il teorema 4.2: filtrando F J con colonne, si ottiene una successione spettrale con termini iniziali^{I}E_{0}^{p,q} = F (J^{p,q}) e con

IE_{2}^{p,q} = H_{h}^{p}H_{v}^{q}(F J) ⇒ (ℝ^{p+q}F)(GI).

Ora, dal momento che ogni colonna J^{p,∗} è una risoluzione iniettiva di GI^{p}, H_{v}^{q}(F J) = (R^{q}F)(GI). D’altra parte, per ipotesi ogni GI^{p} è F -aciclico, per cui dev’essere (R^{q}F)(GI^{p}) = 0 per q ≠ 0, mentre per q = 0 si ha R^{0}F = F: quindi la successione spettrale collassa in^{I}E_{2}, e si ottiene

(ℝ^{p}F)(GI) ≅ H^{p}((F G)I) = R^{p}(F G)(A).

Ora applichiamo la seconda parte del teorema: otteniamo una successione spettrale con termini iniziali^{II}E_{0}^{p,q} = F (J^{q,p}) e con

IIE_{2}^{p,q} = H_{v}^{p}H_{h}^{q}(GI) = (R^{p}F)(H^{q}(GI));

dal momento che H^{q}(GI) = R^{p}(GA), si ha ^{II}E_{2}^{p,q} = (R^{p}F)(R^{q}G)(A), e questa successione converge anch’essa a ℝ^{n}F (GI) = H^{n}(Tot(F J)): quindi si ha

IIE_{2}^{p,q} = (R^{p}F)(R^{q}G)(A) ⇒ ℝ^{p+q}F (GI) ≅ R^{p+q}(F G)(A).

Gli omomorfismi di lato sono le mappe E_{2}^{p,0} = (R^{p}F)(GA) → E_{∞}^{n,0} = R^{p}(F G)(A) e E_{∞}^{0,q} = R^{q}(F G)(A) ⊂ E_{2}^{0,q} = F (R^{q}GA). La successione dei termini di grado basso è semplicemente una traduzione:

IE_{2}^{1,0}  ⟶ H^{1}(Tot(F J)) ⟶ ^{I}E_{2}^{0,1} ⟶ ^{I}E_{2}^{2,0} ⟶ H^{2}(Tot(F J))
∥  ∥  ∥  ∥  ∥
0(R^{1}F)(GA) ⟶ R^{1}(F G)A ⟶ F (R^{1}GA) ⟶ (R^{2}F)(GA) ⟶ R^{2}(F G)A

e la dimostrazione è conclusa.

□