Geometria (A–K) 6. Trasformazioni Roma, 20 aprile 2001.

1. Sia Q il quadrato in R^{2} di vertici

( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ −1 \end{matrix} ) .

(i) Disegnare l’immagine di Q dopo la rotazione R_{π/2}.

(ii) Per quali angoli φ la rotazione R_{φ} manda il quadrato in se stesso? (iii) Disegnare l’immagine di Q dopo la rotazione R_{π/4}.

2. Sia l la retta di equazione x_{1} + x_{2} = 0. (i) Calcolare le formule della riflessione rispetto ad l. (ii) Calcolare le immagini dei punti

( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \end{matrix} ) .

(iii) Calcolare l’immagine della retta di equazione parametrica

( \begin{matrix}5 \\ 0 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}0 \\ −1 \end{matrix} ) , t ∈ R.

3. Sia l la retta di equazione parametrica

x = t ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) , t ∈ R

e sia m la retta di equazione x_{1} = 0.

(i) Trovare le formule della riflessione S rispetto ad l.

(ii) Calcolare le formule della riflessione S′ rispetto ad m.

(iii) Calcolare le formule della trasformazione composta

S ∘ S′.

(iv) Calcolare le formule per la trasformazione composta

S′ ∘ S.

(v) Geometricamente, che cosa fanno S ∘ S′ e S′ ∘ S?

4. Sia π il piano di equazione x_{1} + 2x_{2} = 0. (i) Calcolare le formule della riflessione rispetto a π. (ii) Calcolare le immagini dei punti

( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) .

(iii) Calcolare l’immagine della retta di equazione parametrica

( \begin{matrix}5 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ −1 \end{matrix} ) , t ∈ R.

5. Siano p = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) e q = ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ −1 \end{matrix} ).

(i) Calcolare la formula per la riflessione U_{p} rispetto al punto p. (ii) Calcolare la formula per la riflessione U_{q} rispetto al punto q. (iii) Calcolare le formule per la trasformazione U_{p} ∘ U_{q} e per U_{q} ∘ U_{p}. (iv) Geometricamente, che cosa fanno le trasformazioni U_{p} ∘ U_{q} e U_{q} ∘ U_{p}?

6. Per le seguenti matrici decidere se sono invertibili o meno e, in caso, calcolarne la matrice inversa:

(i) ; ( \begin{matrix}8 & 15 \\ 7 & 13 \end{matrix} ); ; (ii) ; ( \begin{matrix}1 & −1 & −1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & −1 & 0 \end{matrix} );  (iii) ; ( \begin{matrix}1 & 0 & 2 \\ −1 & 2 & −3 \\ 1 & 3 & 1 \end{matrix} ); ; (iv) ; ( \begin{matrix}1 & 1 & −1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & −1 & −1 \end{matrix} ) .

7. Sia

V = \{( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) ∈ R^{3} : x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0\}

e sia f : R^{3} ⟶ R^{3} la mappa data da f ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x_{3} \\ x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ).

(i) Dimostrare che f(x) ∈ V per ogni x ∈ V. Sia f̃: V ⟶ V l’applicazione data da f̃(x) = f(x). (ii) Trovare una base per V. (iii) Calcolare la matrice rappresentativa della applicazione f̃ rispetto a questa base.

8. Sia V uno spazio vettoriale e sia f : V ⟶ V un’applicazione lineare. Supponiamo che f^{2} = 0, cioè f(f(x)) = 0 per ogni x ∈ V.

(i) Dimostrare che im(f) ⊂ ker(f). (ii) Sia n = dim(V). Dimostrare che dim ker(f) ≥ n/2. (iii) Dare un esempio di un’applicazione f ≠ 0 da R^{2} in R^{2} che soddisfa f^{2} = 0.