Geometria (A–K) 5. Determinanti Roma, 13 aprile 2001.

1. Calcolare

(i)

det ( \begin{matrix}1 & 3 & −1 & 0 \\ 4 & 5 & 0 & 3 \\ −1 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 7 & 2 & 1 \end{matrix} )

(ii)

det ( \begin{matrix}100 & 73 \\ 137 & 100 \end{matrix} )

(iii)

det ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & −1 & −1 & 1 \\ 1 & −1 & 1 & −1 \\ 1 & 1 & −1 & −1 \end{matrix} )

(iv)

det ( \begin{matrix}cos(φ) & −sin(φ) \\ sin(φ) & cos(φ) \end{matrix} ) (φ ∈ R)

2. Siano

A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}1 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & −3 \\ 0 & −5 & 1 \end{matrix} ) .

(i) Calcolare det(A) e det(B).

(ii) Calcolare det(AB), det(BA) e det(A^{−1}).

(iii) Calcolare det(A + B).

3. Siano x = ( \begin{matrix}3 \\ 1 \end{matrix} ), y = ( \begin{matrix}6 \\ 5 \end{matrix} ) e z = ( \begin{matrix}2 \\ 2 \end{matrix} ) tre vettori in R^{2}.

Calcolare l’area del triangolo di vertici x, y e z.

4. Siano x = ( \begin{matrix}1 \\ −2 \\ 3 \end{matrix} ) e y = ( \begin{matrix}2 \\ −1 \\ 3 \end{matrix} ) due vettori in R^{3}.

(i) Calcolare il prodotto vettoriale x × y.

(ii) Calcolare x × (−y).

(iii) Calcolare l’area del triangolo di vertici 0, x e y.

5. Siano x, y e z i vettori

( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ −2 \\ 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}3 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} ) .

(i) Calcolare il volume del parallelepipedo che ha come spigoli i vettori x, y e z. (ii) Calcolare il volume del parallelepipedo che ha come spigoli i vettori 2x, y e z. (iii) Calcolare il volume del parallelepipedo che ha come spigoli i vettori x + y, y e z.

6. Per ogni n ≥ 1 calcolare il determinante della matrice n × n data da

( \begin{matrix}0 & 0 & ⋯ & 0 & 1 \\ 0 & 0 & ⋯ & 1 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 1 & ⋯ & 0 & 0 \\ 1 & 0 & ⋯ & 0 & 0 \end{matrix} ) .

7. Calcolare i polinomi caratteristici delle matrici

\begin{aligned}(i) \\ & ( & \begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} & ) \end{aligned}  \begin{aligned}(ii) \\ & ( & 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 & ) \end{aligned}

8. Calcolare gli autovalori λ ∈ R delle seguenti matrici. Determinare gli autovettori corrispondenti.

\begin{aligned}(i) \\ & ( & \begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} & ) \\ (ii) \\ & ( & \begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} & ) \end{aligned}  \begin{aligned}(iii) \\ ( & \begin{matrix}1 & −1 \\ 5 & −1 \end{matrix} & ) \\ (iv) \\ & ( & \begin{matrix}2 & 1 & −2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & −3 \end{matrix} & ) \end{aligned}

9. Calcolare il polinomio caratteristico della matrice

( \begin{matrix}4 & 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 & 4 \end{matrix} ) .

10. Sia A la matrice 6 × 6

( \begin{matrix}3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 \end{matrix} )

(i) Far vedere che λ = 2 è autovalore di A. Determinare la dimensione dell’autospazio corrispondente.

(ii) Determinare il polinomio caratteristico di A.

11. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita e sia f : V ⟶ V un’applicazione lineare che soddisfa A^{2} = 0.

(i) Determinare gli autovalori di A. (ii) Calcolare Tr(A).

12. Sia W ⊂ R^{3} un sottospazio di dimensione 2. Sia f : R^{3} ⟶ R^{3} la proiezione ortogonale su W. Determinare autovalori ed autospazi di f.

13. Sia W ⊂ R^{3} un sottospazio di dimensione 1. Sia g : R^{3} ⟶ R^{3} la proiezione ortogonale su W. Determinare autovalori ed autospazi di g.