Geometria (A–K) 4. Applicazioni lineari. Roma, 6 aprile 2001.

1. Calcolare le seguenti prodotti di matrici

(i) ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} ). ; (ii) ( 1 2 3 4 ) · ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} ). ; (iii) ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{matrix} ).  (i) ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}1 \\ 3 \\ 0 \end{matrix} ). ; (ii) ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} ) · ( 1 2 3 4 ). ; (iii) ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 3 \\ 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} ).

2. Quali applicazioni A sono mappe lineari?

(i) A : R ⟶ R data da A(x) = |x|.

(ii) A : R[X] ⟶ R[X] data da A(f(X)) = (f(X) − f(0))/X.

(iii) A : R^{n} ⟶ R^{n} data da

A(( x_{1} ; x_{2} ; ⋮ ; x_{n−1} ; x_{n} )) = ( x_{2} ; x_{3} ; ⋮ ; x_{n} ; x_{1} ) .

3. Calcolare le dimensioni di ker(A) ed im(A) per le applicazioni lineari: (i) A : R^{4} ⟶ R^{3} data, rispetto alla base standard, dalla matrice

( \begin{matrix}1 & 3 & −1 & 4 \\ 0 & −1 & 0 & −1 \\ −1 & 2 & −4 & 1 \\ 2 & −1 & 5 & 1 \end{matrix} ) ,

(ii) A : V ⟶ R^{2} dove V = \{f ∈ R[X] : deg(f) ≤ 2\} e A(f(X)) = ( \begin{matrix}f(2) \\ f(−2) \end{matrix} ).

4. Tutte le applicazioni lineari sono date rispetto alle basi standard di R^{n}. (i) Calcolare la mappa AB dove B : R^{4} ⟶ R^{3} e A : R^{3} :⟶ R^{2} sono date da

B = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & −1 & 0 & 1 \\ 0 & −1 & 2 & 1 \end{matrix} ) A = ( \begin{matrix}0 & −1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{matrix} ) .

(ii) Calcolare i prodotti AB e BA dove B : R ⟶ R^{4} e A : R^{4} ⟶ R sono date da

B = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 2 \\ −1 \end{matrix} ) A = ( 1 0 −3 2 ) .

(iii) Calcolare i prodotti AB e BA dove

A = ( \begin{matrix}1 & −1 & 2 \\ 1 & 0 & −1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ) B = ( \begin{matrix}0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & −1 \\ 1 & 0 & −2 \end{matrix} ) .

5. Calcolare il rango dei seguenti matrici

{(i) \atop ( \begin{matrix}1 & −2 & −3 \\ 3 & 0 & 3 \\ 7 & −3 & 1 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & −2 & −3 \end{matrix} ) ,}  {(ii) \atop ( \begin{matrix}1 & 3 & 7 & 2 & 1 \\ −2 & 0 & −3 & 1 & −2 \\ −3 & 3 & 1 & 4 & −3 \end{matrix} ) ,}

6. Quali applicazioni A : V ⟶ V sono iniettive, suriettive o biettive? Per le applicazioni che sono biettive, calcolarne la mappa inverse A^{−1}.

(i) V = R[X] e A(f(X)) = Xf(X). (ii) V = R[X] e A(f(X)) = (f(X) − f(0))/X. (iii) V = R^{3} e

A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & −1 \\ 2 & 3 & 4 \end{matrix} )

7. Sia A la matrice n per n data da

A = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ & 0 \end{matrix} )

(i) Sia e_{1}, e_{2}, …, e_{n} la base standard di R^{n}. Far vedere che

\begin{aligned}A(e_{1}) & = 0. \\ A(e_{i}) & = e_{i−1}; per ogni i > 1, \end{aligned}

(ii) Calcolare A^{2}. (iii) Per ogni n > 0 calcolare A^{n} e determinarne il nucleo e l’immagine.