Geometria (A–K) 3. Dimensione. Roma, 23 marzo 2001.

1. Siano V, W ⊂ R^{4} due sottospazi dati da

V = Span\{( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 2 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} )\}, W = \{( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} ) : x_{2} + x_{3} = 0, x_{2} + 2x_{3} = 0\}.

(i) Calcolare l’intersezione V ∩ W. (ii) Calcolare le dimensioni di V, W e V ∩ W. (iii) Calcolare la dimensione dim(V + W).

2. Siano

v_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} ) , v_{2} = ( \begin{matrix}0 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ) ∈ R^{3};

(i) Far vedere che {v_{1}, v_{2}} sono vettori indipendenti. (ii) Completarli ad una base di R^{3}. (iii) Esibire un complemento di Span{v_{1}} e di Span{v_{1}, v_{2}}

3. Siano dati i sottospazi U = Span\{( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )\} e V = \{( \begin{matrix}x \\ y \\ z \\ w \end{matrix} ) : x − y + z − w = 0\}

di R^{4}.

(i) Determinare una base per U + V e una base per U ∩ V;

(ii) Determinare se il vettore v_{0} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) appartiene a U ∩ V.

4. Siano V = Span\{(\begin{matrix}1 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , (\begin{matrix}1 \\ −1 \\ 2 \end{matrix} )\} e W = \{( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) : x_{1} +2x_{2} −x_{3} = 0\} sottospazi di R^{3}.

(i) Esibire una base di V e una base di W. Calcolare la dimensione di V e di W. (ii) Calcolare dim(V ∩ W) e dim(V + W).

5. Sia V lo spazio dei polinomi f(X) = a_{0} + a_{1}X + a_{2}X^{2} + a_{3}X^{3} ∈ R[X] che hanno le proprietà deg(f) ≤ 3, f(1) = 0, a_{0} + a_{3} = 0 e a_{1} + a_{2} = 0. Calcolare la dimensione di V come spazio vettoriale su R e esibire una base di V.

6. Si consideri R^{3} col prodotto scalare canonico (i) Determinare il complemento ortogonale del sottospazio V = \{ \begin{matrix}x_{1} − x_{2} = 0 \\ x_{2} − x_{3} = 0 \end{matrix}

(ii) Determinare la distanza fra i punti P = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) e Q = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) .

7. Sia V = R^{4} con il prodotto scalare canonico.

(i) Sia v = ( \begin{matrix}1 \\ 3 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} ). Calcolare la norma di v.

(ii) Siano v = ( \begin{matrix}1 \\ 3 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} ) e w = ( \begin{matrix}2 \\ 2 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} ). Calcolare il coseno dell’angolo formato da v e w.

(iii) Calcolare la distanza tra v e w.

8. Sia V = R^{3} con il prodotto scalare canonico. Siano v_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ), v_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ), v_{3} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ −1 \end{matrix} ). (i) Far vedere che v_{1}, v_{2}, v_{3} formano una base per R^{3}. (ii) “Trasformare” la base v_{1}, v_{2}, v_{3} tramite il procedimento di Gram-Schmidt in una base

ortonormale di R^{3}. (iii) Calcolare le coordinate del vettore w = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ −1 \end{matrix} ) nella base ortonormale trovata in (ii).

9. Calcolare la distanza del punto P = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) di R^{5} dal sottospazio

V = \{( \begin{matrix}x \\ y \\ z \\ u \\ v \end{matrix} ) ∈ R^{5} : \{ \begin{matrix}x + y = 0 \\ y + z = 0 \\ z + u = 0 \\ u + v = 0 \end{matrix} \}.

10. Determinare il piano in R^{3} contenente la retta \{ \begin{matrix}x = 1 \\ y + z = 0 \end{matrix} e ortogonale al piano di equazione x + y + 3z = 1.

11. Sia dato R^{4} col prodotto scalare canonico. Determinare una base del complemento ortogonale

V^{⊥} del sottospazio V = \{( \begin{matrix}x \\ y \\ z \\ w \end{matrix} ) ∈ R^{4} | \{ \begin{matrix}x + y = 0 \\ z + w = 0 \\ 2x + 2y + z + w = 0 \end{matrix} \}.

12. Siano l : ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ −1 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ), (t ∈ R) e m : ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} ) + s ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} ), (s ∈ R) due

rette in R^{3}. Calcolare la distanza fra l ed m.