Geometria (A–K) 2. Geometria in R^{2} e R^{3}. Roma, 16 marzo 2001.

1. Siano l e m le rette in R^{2} date dalle equazioni cartesiane

3x_{1} − 2x_{2} + 1 = 0, 2x_{1} + x_{2} − 3 = 0.

(i) Trovare equazioni parametriche per l ed m.

(ii) Calcolare l’intersezione di l ed m.

2. Sia l la retta data dall’equazione x_{1} + x_{2} = 5. Sia m la retta di equazione parametrica

( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}1 \\ −2 \end{matrix} ) , t ∈ R.

(i) Calcolare il punto di intersezione q di l ed m.

(ii) Trovare un’equazione cartesiana della retta che passa per q e il punto ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ).

3. Sia l la retta di equazione 2x_{1} + 2x_{2} + 3 = 0. Sia p = ( \begin{matrix}−2 \\ −1 \end{matrix} ).

(i) Calcolare un’equazione cartesiana per la retta m_{1} che passa per p ed è parallela ad l. (ii) Calcolare un’equazione cartesiana per la retta m_{2} che passa per p ed è ortogonale ad l. (iii) Trovare il punto di intersezione di m_{1} ed m_{2}.

4. Sia l la retta in R^{2} di equazione x_{2} = −3.

(i) Trovare un vettore normale ad l.

(ii) Trovare un altro vettore normale ad l.

(iii) Calcolare un’equazione parametrica per l.

(iv) Calcolare un’altra equazione parametrica per l.

5. Siano π e π′ due piani in R^{3} di equazioni cartesiane

3x_{1} − 2x_{2} + 1 = 0, x_{1} − 3x_{3} − 2 = 0.

(i) Trovare equazioni parametriche per π e π′.

(ii) Calcolare un’equazione parametrica per la retta intersezione π ∩ π′.

6. Siano π_{1} e π_{2} due piani in R^{3} di equazioni parametriche

( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) + λ ( \begin{matrix}−1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) + μ ( \begin{matrix}2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , λ, μ ∈ R

e

( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) + ρ ( \begin{matrix}0 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} ) + σ ( \begin{matrix}0 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} ) , ρ, σ ∈ R.

(i) Calcolare un’equazione cartesiana dell’intersezione π_{1} ∩ π_{2}.

(ii) Calcolare un’equazione parametrica dell’intersezione π_{1} ∩ π_{2}.

7. Siano l e m le rette in R^{3} di equazioni parametriche

( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}3 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} ) , t ∈ R,  ( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}3 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) + s ( \begin{matrix}−1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} ) , s ∈ R.

(i) Calcolare l’intersezione l ∩ m. (ii) Trovare una retta che incontra sia l che m.

8. Sia π il piano in R^{3} di equazione 2x_{1} + x_{3} = 3.

(i) Trovare un vettore normale a π. (ii) Trovare un altro vettore normale a π. (iii) Calcolare un’equazione parametrica per π. (iv) Calcolare un’altra equazione parametrica per π.

9. Sia π il piano di equazione x_{1} + 2x_{2} − x_{3} + 3 = 0. Sia p = ( \begin{matrix}−1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} ).

(i) Calcolare un’equazione cartesiana per il piano π_{1} che passa per p ed è parallelo a π. (ii) Calcolare un’equazione parametrica per la retta l che passa per p ed è ortogonale a π. (iii) Trovare i punti di intersezione π ∩ l e π_{1} ∩ l. (iv) Calcolare la distanza fra i due punti nella parte (iii).

10. Sia p ∈ R^{3} il punto di coordinate ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) e sia m la retta di equazione parametrica

( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} ) + s ( \begin{matrix}2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , s ∈ R.

(i) Calcolare un’equazione cartesiana del piano π che passa per m e p. (ii) Calcolare un’equazione parametrica della retta l contenuta in π, passante per p e per-

pendicolare a m. (iii) Calcolare il punto di intersezione l ∩ m.