Geometria (A–K) 1. Sistemi lineari, spazi vettoriali Roma, 9 marzo 2001.

1. Risolvere il seguente sistema di quattro equazioni in tre incognite x_{1}, x_{2}, x_{3} ∈ R:

\{ \begin{matrix}x_{1} & −2x_{2} & +8x_{3} & = 0, \\ −x_{1} & + x_{2} & −5x_{3} & = 0, \\ 3x_{1} & & +6x_{3} & = 0, \\ 2x_{1} & + x_{2} & + x_{3} & = 0. \end{matrix}

2. Risolvere il seguente sistema di tre equazioni in quattro incognite x, y, z, u ∈ R:

\{ \begin{matrix}x & + y & +z & = 1, \\ 2x & +y & −3z & = 0, \\ 3x & +2y & −5z & = 1. \end{matrix}

3. Trovare le soluzioni y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}, y_{5} ∈ R del sistema di equazioni lineari che corrisponde alla matrice completa

( \begin{matrix}1 & −2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 0 & 7 & 2 \\ 0 & 2 & −1 & 1 & −1 \\ 2 & 2 & 3 & 11 & 7 \\ 3 & 6 & 3 & 18 & 9 \end{matrix} | \begin{matrix}7 \\ −8 \\ −5 \\ −1 \\ −9 \end{matrix} )

4. Risolvere il sistema di equazioni omogenee associato alla matrice

( \begin{matrix}1 & 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & −1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 & −2 \\ 1 & 1 & 3 & 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )

5. per ogni λ ∈ R risolvere il sistema lineare associato alla matrice

( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & λ & 1 \\ 1 & 1 & λ \end{matrix} | \begin{matrix}2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )

6. Siano x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5} ∈ R una soluzione del sistema associato alla matrice completa

( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & −2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & −3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & −1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & −1 \end{matrix} | \begin{matrix}−88\frac{1}{2} \\ 1 \\ 2 \\ −2 \\ −1 \end{matrix} ) .

Calcolare la somma x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5}.

7. Disegnare i seguenti sottoinsiemi di R^{2} e controllare se sono sottospazi lineari reali:

{(i) \{( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) ∈ R^{2} : x_{1} = 2x_{2}\} ⊂ R^{2}; \atop (ii) \{( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) ∈ R^{2} : x_{1} = 2\} ⊂ R^{2};}

(iii) \{( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) ∈ R^{2} : x_{1} > 0\} ⊂ R^{2};

(iv) Span\{( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix} )\} ⊂ R^{2}.

8. Decidere se sono sottospazi o meno i seguenti sottoinsiemi W di R^{3}:

(i) W = \{( \begin{matrix}t \\ t \\ t \end{matrix} ) : 0 < t < 1\};

(ii) W = {(0, 0, 0)};

(iii) W = \{( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ) : x − 2y + z = 1\}.

9. Scrivere i seguenti sottospazi W come Span{v_{1}, v_{2}, …, v_{r}} per dei vettori v_{1}, v_{2}, …, v_{r}.

(i) W = \{( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{matrix} ) ∈ R^{5} : \{ \begin{matrix}x_{1} & +x_{2} & −x_{3} & = 0 \\ & 2x_{2} & +x_{3} & = 0 \end{matrix} \} ⊂ R^{5};

(ii) W = \{( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} ) ∈ R^{4} : x_{1} + 2x_{3} = 0\} ⊂ R^{4};

(iii) W = \{( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) ∈ R^{3} : \{ \begin{matrix}x_{1} & −x_{2} & −x_{3} & = 0 \\ & x_{2} & −x_{3} & = 0 \\ x_{1} & +x_{2} & −x_{3} & = 0 \end{matrix} \} ⊂ R^{3}.

10. Trovere equazioni cartesiane per i sottospazi W:

(i) W = Span\{( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )\} ⊂ R^{3};

(ii) W = Span\{( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} )\} ⊂ R^{3};

(iii) W = Span\{( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \end{matrix} )\} ⊂ R^{2}.

11. Sia V = R[X] lo spazio dei polinomi a coefficienti reali. Siano W_{1} = {f ∈ V : deg(f) ≤ 2}, W_{2} = Span{X^{2} − X, X + 2}.

(i) Decidere se W_{1}, W_{2} sono sottospazi o meno.

(ii) Decidere se W_{1} ⊂ W_{2} oppure W_{2} ⊂ W_{1}.