Geometria 2. 5. Varie Roma, 22 giugno 2001.

1. (coppie di punti armonici) Sia l una retta e siano A, B, C e D quattro punti su l. Supponiamo che il birapporto (ABCD) sia uguale a −1. Dimostrare che i birapporti (ABDC), (BACD), (BADC), (CDAB), (CDBA), (DCAB) e (DCBA) sono tutti uguali a −1. Concludere che la proprietà “avere birapporto −1” dipende solo dalle due coppie A, B e C, D e non dall’ordine dei punti. Due coppie di punti A, B e C, D si dicono armonici se (ABCD) = −1.

2. Siano A, B, C, D i vertici di un quadranoglo in P^{2}. Sia Q il punto di intersezione delle due diagonali, sia P il punto di intersezione dei lati AB e CD e sia R il punto di intersezione dei lati AD e BC. Sia S il punto di intereszione di P Q e AD. Calcolare il birapporto (ADSR) (Sugg. Scegliere coordinate tali che A = (0 : 0 : 1), B = (0 : 1 : 0), C = (1 : 0 : 0) e D = (1 : 1 : 1)).

3. Siano A_{1}A_{2}A_{3}, B_{1}B_{2}B_{3} e C_{1}C_{2}C_{3} tre triangoli in P^{2} tali che i vertici A_{1}, B_{1}, C_{1} stanno su una retta , i vertici A_{2}, B_{2}, C_{2} stanno su una retta e i vertici A_{3}, B_{3}, C_{3} stanno su una retta. Applicando il Teorema di Desargues ai triangoli A_{1}A_{2}A_{3} e B_{1}B_{2}B_{3} vediamo che i punti di intersezione dei lati corrispondenti (A_{1}A_{2} ∩ B_{1}B_{2}, A_{1}A_{3} ∩ B_{1}B_{3} e A_{2}A_{3} ∩ B_{2}B_{3}) stanno su una retta l_{AB}. Similmente c’è una retta l_{BC} per i triangoli B_{1}B_{2}B_{3} e C_{1}C_{2}C_{3} e c’è una retta per i triangoli A_{1}A_{2}A_{3} e C_{1}C_{2}C_{3}. Dimostrare che le tre rette l_{AB}, l_{BC} e l_{AC} passano per un stesso punto.

4. (Dimostrazione alternativa del Teorema di Desargues) Siano ABC e A′B′C′ due triangoli in P^{2} con la proprietà che le rette AA′, BB′ e CC′ passano per un punto P. Scegliamo coordinate tali che A = (1 : 0 : 0), B = (0 : 1 : 0), C = (0 : 0 : 1) e P = (1 : 1 : 1).

(i) Calcolare equazioni per le rette AA′, BB′ e CC′. (ii) Far vedere che A′ = (a : 1 : 1), B′ = (1 : b : 1) e C′ = (1 : 1 : c) per certi a, b, c ∈ R. (iii) Far vedere che i punti di intersezione P = AB ∩ A′B′, Q = BC ∩ B′C′ e R = AC ∩ A′C′

sono rispettivamente (a − 1 : 1 − b : 0), (1 − a : 0 : c − 1) e (0 : b − 1 : 1 − c). (iv) Calcolare un’equazione della retta che passa per P, Q ed R.