Geometria 2. 4. Coniche Roma, 15 giugno 2001.

1. Dimostrare che per cinque punti in P^{2} passa sempre una conica. Fa vedere che la conica è unica e non degenere quando non ci sono terne di punti allineati. (Sugg. Scegliere coordinate in cui i punti sono (0 : 0 : 1), (0 : 1 : 0), …)

2. (Lezione del 21 Giugno) Sia X la conica di equazione z^{2} − xy = 0 e siano P = (1 : 0 : 0) e Q = (0 : 1 : 0) due punti su X.

(i) Far vedere che il fascio F_{P} delle rette che passano per P è dato da {λy+μz = 0: λ, μ ∈ R}. Similmente il fascio F_{Q} delle rette che passano per Q è dato da {ρx + σz = 0: λ, μ ∈ R}.

(ii) Far vedere che la mappa proiettiva φ : F_{P} ⟶ F_{Q} che manda una retta a ∈ F_{P} di equazione λy + μz = 0 nella retta φ(a) ∈ F_{Q} di equazione μx + λz = 0 ha la proprietà che i punti di intersezione a ∩ φ(a) sono esattamente i punti della conica X .

(iii) Sia t_{P} ∈ F_{P} la retta tangente di X al punto P e sia t_{Q} ∈ F_{Q} la retta tangente di X al punto Q. Dimostrare che la mappa φ della parte (ii) soddisfa φ(t_{P}) = P Q e φ(P Q) = t_{Q}.

3. Dati cinque punti distinti A, B, C, D e E in P^{2} e data una retta l che passa per A, costruire l’altro punto di intersezione della retta l con la conica X che passa per i punti A, B, C, D e E (senza mai disegnare la conica).

3. (Teorema di Pascal per cinque punti) Siano A, B, C, D, E cinque punti su una conica X non degenere in P^{2}. Sia t la retta tangente di X nel punto A. Far vedere che i punti di intersezione P = t ∩ CD, Q = AB ∩ DE e R = BC ∩ EA stanno su una retta (Sugg. Considerare l’esagono “degenere” AABCDE; nella dimostrazione del Teorema di Pascal usuale, usare la tangente di X in A al posto della lato “AA”; usare l’Eserc. 2)

4. Dati cinque punti distinti A, B, C, D e E in P^{2}, costruire la tangente nel punto A alla conica X che passa per i punti A, B, C, D e E (senza mai disegnare la conica). (Sugg. Usare l’Eserc.2)

5. (Teorema di Pascal per quattro punti) Siano A, B, C, D quattro punti su una conica X non degenere in P^{2}. Sia t la retta tangente ad X nel punto A.

(i) Sia s la retta tangente ad X nel punto B. Dimostrare che i punti di intersezione P = t∩BC, Q = AB ∩ CD e R = s ∩ AD stanno su una retta. (Sugg. Considerare l’esagono degenere AABBCD; nella dimostrazione del Teorema di Pascal usuale, usare le tangenti ad X in A e B al posto delle rette “AA” e “BB”; usare l’Eserc. 2)

(ii) Sia s la retta tangente di X nel punto C. Dimostrare che i punti di intersezione P = t ∩ s, Q = AB ∩ CD, R = BC ∩ AD. stanno su una retta. (Sugg. Considerare l’esagono degenerato AABCCD; nella dimostrazione del Teorema di Pascal usuale usare i tangenti di X in A e C nel posto delle rette “AA” e “CC”; usare l’Eserc. 2)

6. (Teorema di Pascal per tre punti) Sia ABC un triangolo con i vertici su una conica X non degenere in P^{2}. Siano t_{A}, t_{B} e t_{C} le rette tangenti ad X nei punti A, B e C.

(i) Far vedere che per una scelta opportuna di coordinate abbiamo che A = (0 : 0 : 1), B = (0 : 1 : 0) e t_{A} ∩ t_{B} = (1 : 0 : 0) e C = (1 : 1 : 1).

(ii) Far vedere che in termini delle coordinate della parte (i), la conica ha equazione x^{2}−yz = 0. (iii) Dimostrare che i punti di intersezione P = t_{A} ∩ BC, Q = t_{B} ∩ AC e t_{C} ∩ AB stanno su

una retta.

7. Dati quattro punti distinti A, B, C, D ad una conica X in P^{2} e data la retta tangente di X nel punto A, costruire le rette tangenti ad X nei punti B, C e D (senza mai disegnare la conica).