Geometria 2. 3. Trasformazioni proiettive Roma, 8 giugno 2001.

1. Sia l una retta in P^{2} e sia φ : l ⟶ l una mappa proiettiva. Far vedere (i) se φ fissa tre punti distinti, allora φ(P) = P per ogni P ∈ l. (ii) Dare esempi di mappe proiettive φ : l ⟶ l che fissano 0,1, oppure 2 punti (basta dare le

matrici corrispondenti).

2. Sia l una retta a siano P, Q e R tre punti distiniti su l.

(i) Far vedere che esiste esattamente una mappa proiettiva φ con φ(Q) = R e tale che P è il suo unico punto fisso.

(ii) Decrivere un procedimento per costruire φ(R).

3. Sia l una retta e sia φ : l ⟶ l una mappa proiettiva. Supponiamo che per un punto P ∈ l abbiamo che φ(P) ≠ P mentre φ^{2}(P) = P. Dimostrare che φ è una involuzione, cioè che φ^{2}(Q) = Q per ogni Q ∈ l.

4. Sia l una retta in P^{2}. Far vedere che nessuna involuzione φ : l ⟶ l ha esattamente 1 punto fisso.

5. Sia l una retta e sia φ : l ⟶ l una mappa proiettiva. Siano dati: un punto P fisso di φ e punti A, A′, B e B′ tali che φ(A) = A′ e φ(B) = B′. Costruire Q il secondo punto fisso di φ.

6. Siano P e Q due punti distinti su una retta l. Dimostrare che ogni due involuzioni φ_{1}, φ_{2} di l che fissano P e Q, soddisfano φ_{1}φ_{2} = φ_{2}φ_{1}.

7. Sia A una matrice 3 per 3 invertibile.

(i) Far vedere che A induce una mappa biettiva P^{2} ⟶ P^{2} che porta rette in rette. (ii) Supponiamo che il nucleo di A abbia dimensione 1. Sia P ∈ P^{2} il punto corrispondente

al nucleo e sia l la retta in P^{2} che corrisponde all’imagine di A. Far vedere che A induce una mappa φ : P^{2} − {P } ⟶ l. Far vedere che per ogni Q ∈ P^{2} − {P }, l’immagine della retta P Q è un punto su l.

(iii) Dimostrare che la proiezione dal punto P sulla retta l è un esempio di una mappa con la

proprietà della parte (ii). (iv) Supponiamo che il nucleo di A abbia dimensione 2. Sia l la retta in P^{2} che corrisponde al

nucleo di A. Descrivere la mappa che A induce su P^{2} − {l}.

8. (Collineazioni centrali) Sia ψ : P^{2} ⟶ P^{2} una mappa proiettiva. Supponiamo che esista un punto C ∈ P^{2} tale che ψ preserva ogni retta che passa per C. Dimostrare che esiste una retta l ⊂ P^{2} tale che ψ(P) = P per ogni P ∈ l. Dare esempi di un tale mappa ψ con C ∈ l e con C ∉ l (dare le matrici corrispondenti).

9. Sia l una retta e siano A e B due punti distinti su l. Far vedere che la mappa che manda P ∈ l nell’unico punto Q ∈ l tale che (ABP Q) = −1 è una mappa proiettiva. (Sugg. Siano n e m due rette che passano per A e sia r una retta che passa per B. Sia U = n ∩ r e sia V = m ∩ r. Dato P, sia P′ l’intersezione P U ∩ m e sia P′′ l’intersezione P′B ∩ n. Adesso prendere Q = l ∩ P′′V.)