Geometria 2. 1. Rette proiettive. Roma, 2 giugno 2001.

1. (i) Siano (1 : 2 : 3), (1 : 0 : −1) e (2 : 1 : 0) tre punti in P^{2}. Decidere se stanno su una retta

o meno. (ii) Siano 2x_{0} − x_{1} + 2x2 = 0, −x_{0} + 2x_{1} − x_{2} = 0 e x_{1} = 0 tre rette in P^{2}. Decidere se

passano per un punto.

2. Sia r la rette passante per P = (1 : 0 : −1) e Q = (2 : 1 : 0).

(i) Far vedere che R = (−1 : −1 : −1) sta su r. (ii) Determinare λ, μ ∈ R tali che R = λP + μQ. (iii) Determinare λ′, μ′ ∈ R tali che Q = λ′P + μ′R.

3. Sia l la rette passante per i punti (0 : 1 : −1) e (2 : 1 : 0) e sia m la rette passante per i punti (0 : −1 : 1) e (2 : 1 : 0). Determinare l ∩ m.

4. Sia l la retta di equazione x_{0}+x_{1}−2x_{2} = 0 in P^{2}. Trovare tre punti P, Q e R su l e determinare λ, μ ∈ R tali che R = λP + μQ.

5. Siano l e l′ le due rette di equazioni x_{0} + x_{1} + x_{2} = 0 e 2x_{0} − x_{1} − x_{2} = 0. Trovare il punti di intersezione P. Trovare altre due rette del fascio delle rette passanti per P.

6. Siano P = (2 : −1 : 0) e Q = (1 : 3 : 0) due punti in P^{2} e sia m la retta di equazione x_{1} − 3x_{2} = 0. Trovare il punto di intersezione di m e la retta P Q (cioè, la retta che passa per P e Q.

7. Sia T ⊂ P^{2} un triangolo di vertici A_{1}, A_{2} e A_{3}. Siano a_{1}, a_{2} e a_{3} i lati di T correspondenti: A_{i} ∉ a_{i}. Sia P un punto e siano Q_{i} per i = 1, 2, 3 i punti di intersezione P A_{i} ∩ a_{i}. Dimostrare che i tre punti Q_{i}Q_{j} ∩ A_{i}A_{j} stanno su una retta.

8. Sia O un punto di P^{2} e siano l, m e n tre rette passanti per O. Siano P e Q due punti e sia f : l :⟶ n la proiezione da P di l su m seguita dalla proiezione da Q di m su n. Dimostrare che f è una proiezione da un punto R che sta sulla retta P Q.

9. Far vedere che i punti (1 : 0 : 1), B = (0 : 1 : 1) , C = (2 : 1 : 3) e D = (3 : −1 : 2) stanno su una retta. Determinare i birapporti (ABCD) e (BACD).

10. Far vedere che i punti P = (1 : 1 : 1), Q = (2 : 1 : 3) e R = (0 : 1 : −1) stanno su una retta l. Trovare il punto S ∈ l tale che il birapporto (P QRS) è uguale a 3.

11. Sia r una retta in P^{2}. Esibire una mappa proiettiva f : r ⟶ r che manda quattro punti distinti A, B, C e D in C, D, A e B (in questa ordine).

12. Sia l la retta di equazione x_{0} +x_{1} = 0. Siano P = (0 : 1 : −1), Q = (1 : 0 : 0) e R = (1 : −1 : 1) tre punti di P^{2}.

(i) Far vedere che i punti A = (1 : −1 : 0), B = (0 : 0 : 1) e C = (−1 : 1 : 1) stanno su l. (ii) Far vedere che i punti P, Q e R stanno su una retta m. (iii) Dimostrare che esiste una mappa proiettiva f : l ⟶ m tale che f(A) = P, f(B) = Q e

f(C) = R. (iv) Determinare f(1 : −1 : 1).