Geometria 2. 1. Coniche e quadriche. Roma, 25 maggio 2001.

1. Disegnare le seguenti coniche:

(i) X^{2} + Y^{2} + XY + X + Y = 1; (ii) 5X^{2} − 26XY + 5Y^{2} + 72 = 0; (iii) X^{2} + Y^{2} − 2XY − 2Y = 0; (iv) 3X^{2} − 8XY − 3Y^{2} + 10 = 0;

(v) 2Y^{2} + 2\sqrt{3}XY − 2\sqrt{3}X + 2Y = 5; (vi) 9X^{2} + 16Y^{2} + 24XY − 40X + 30Y = 0; (vii) 3X^{2} + 2XY + 3Y^{2} + 2\sqrt{2}X − 2\sqrt{2}Y = 0; (viii) 2X^{2} + 4XY + 5Y^{2} − 12 = 0.

2. Portare le seguenti quadriche in forma “canonica metrica” mediante una isometria. (i) 4Z^{2} + 2X + 3Y + 8Z = 0; (ii) 3X^{2} + 6Y^{2} + 2Z^{2} + 12X + 12Y + 12Z + 42 = 0; (iii) −3X^{2} + 3Y^{2} − 12XZ + 12Y Z + 4X + 4Y − 2Z = 0; (iv) 7X^{2} + 4Y^{2} − 2Z^{2} − 20XY + 4XZ − 16Y Z + 6X + 3Y − 6Z = 0;

(v) 40X^{2} + 13Y^{2} + 45Z^{2} + 36XY − 12XZ + 24Y Z + 15X − 30Y + 10Z + 7 = 0.

3. Sia C la conica data dall’equazione Y^{2} = X.

(i) Determinare l’equazione della conica dopo la traslazione di passo ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ). Sia C′ la conica

traslata. Far vedere che il punto P = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ) appartiene a C′.

(ii) Determinare l’equazione della conica C′ dopo una rotazione di 60 gradi intorne all’origine.

Far vedere che l’immagine del punto P è ( \begin{matrix}1/2 − \sqrt{3} \\ 1/2\sqrt{3} + 1 \end{matrix} ).

4. Per ogni t ∈ R determinare il tipo della quadrica:

(i) X^{2} + tXY + Y^{2} + Z^{2} + 2X − 2Y = 0; (ii) X^{2} + tXY + Y^{2} − 4Y Z + Z^{2} + 2X − 4Z = 0; (iii) X^{2} + Y^{2} − Z^{2} − 2X − 2Y − 2Z = tXY.

5. Sia a ∈ R_{>0} e sia C la parabola data da Y = aX^{2} e sia F = ( 0_{\frac{1}{2a}} ) il “fuoco” di C.

(i) Calcolare l’equazione della retta passante per F e un punto P = (x, ax^{2}) su C. (ii) Adesso vediamo la retta come “un raggio di luce” uscente da F. Calcolare l’equazione del

“raggio riflesso” sulla parabola. Far vedere che per ogni punto P il “raggio riflesso” è una retta verticale.

6. (i) Far vedere che i punti ( \begin{matrix}0 \\ ±1 \end{matrix} ) appartengono all’iperbole data da Y^{2} − 7X^{2} = 1. Trovare

altri punti sull’iperbole con coordinate intere.

(ii) Trovare punti ( \begin{matrix}X \\ Y \end{matrix} ) con coordinate intere e positive sull’iperbole

Y^{2} − 19X^{2} = 1.