Versione preliminare 27 settembre 1999

TOR VERGATA

II Università degli Studi di Roma

Dispense di Geometria. Capitolo 1.

1. Geometria di R^{2}. In questo paragrafo discutiamo le proprietà geometriche elementari del piano. Per avere a disposizione delle coordinate nel piano, fissiamo un punto 0, che chiamiamo l’origine. Scegliamo poi due rette perpendicolari che si incontrano in 0: una retta come asse delle ascisse e l’altra come asse delle ordinate. Fissiamo su di esse un verso ed un’unità di misura. Adesso possiamo introdurre le coordinate nel solito modo: ad un arbitrario punto P del piano associamo un coppia di numeri

reali ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ), ove x_{1} indica la proiezione di P sull’asse delle ascisse e x_{2} la proiezione di P sull’asse

delle ordinate.

Fig.1 Il piano R^{2}.

Le coordinate x_{1} e x_{2} individuano il punto P in modo unico, così possiamo identificare i punti P

del piano con le coppie ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ):

P = ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ).

Per esempio, i punti sull’asse delle ascisse sono quelli che soddisfano l’equazione x_{2} = 0, mentre i punti sull’asse delle ordinate sono quelli che soddisfano l’equazione x_{1} = 0. L’origine 0 è il punto

( \begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix} ) . L’insieme delle coppie ordinate ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) si chiama piano cartesiano e si indica con R^{2}:

R^{2} = \{( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) : x_{1}, x_{2} ∈ R\}.

In seguito, indicheremo con ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) anche il vettore x uscente dall’origine e di estremo il punto ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ). Per vettore si intende un segmento orientato, di cui un estremo rappresenta l’inizio e l’altro la fine. Un vettore può essere raffigurato mediante una freccia. Il vettore 0 = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix} ) , di lunghezza zero, si chiama vettore nullo.

Fig.2 Il vettore x = ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ).

Sarà chiaro dal contesto se ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) andrà visto come un punto del piano o come un vettore uscente da

0 di estremo ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ). Per semplicità di notazione, scriveremo spesso x sottointendendo x = ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ),

e similmente y per ( \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix} ), etc … I numeri reali λ verranno anche chiamati scalari, per distinguerli dagli “oggetti vettoriali”. Definizione. Siano x e y due vettori in R^{2}. Allora la somma x + y di x e y è il vettore dato da

x + y = ( \begin{matrix}x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \end{matrix} ) .

Il vettore opposto del vettore x è il vettore

−x = ( \begin{matrix}−x_{1} \\ −x_{2} \end{matrix} ) .

La differenza x − y dei vettori x e y è il vettore x − y = ( \begin{matrix}x_{1} − y_{1} \\ x_{2} − y_{2} \end{matrix} ) .

Definizione. Per λ ∈ R, il prodotto di x per λ è il vettore dato da

λx = ( \begin{matrix}λx_{1} \\ λx_{2} \end{matrix} ) .

Se λ > 0, il vettore λx ha la stessa direzione e lo stesso verso di x; se λ < 0, il vettore λx ha la stessa direzione ma verso opposto a quello di x. Se infine λ = 0, allora λx è il vettore nullo 0.

La somma di due vettori x e y ha un’interpretazione geometrica: traslando il vettore y = ( \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix} ) fino a farlo uscire dall’estremo ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) di x, si ha che il vettore risultante ha come secondo estremo il punto di coordinate ( \begin{matrix}x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \end{matrix} ).

Fig.3 La somma x + y.

Questo procedimento per trovare la somma di due vettori si chiama regola del parallelogramma: infatti, il vettore somma x + y coincide con la diagonale del parallelogramma costruito sui vettori x e y.

Fig.4 La regola del parallelogramma.

Similmente, la differenza di x e y si trova traslando il vettore −y fino a farlo uscire dall’estremo ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) di x. Nota che il vettore x − y è parallelo al segmento congiungente ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) e ( \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix} ) ed ha la sua stessa lunghezza.

Fig.5 La differenza x − y.

La somma fra vettori e la moltiplicazione dei vettori per gli scalari godono delle seguenti proprietà:

Proposizione 1.1.

(i) (Proprietà associativa della somma) Per ogni x, y, z ∈ R^{2}

(x + y) + z = x + (y + z);

(ii) (Proprietà commutativa) Per ogni x, y ∈ R^{2}

x + y = y + x;

(iii) (Proprietà associativa del prodotto) Per ogni λ, μ ∈ R

λ(μx) = (λμ)x;

(iv) (Proprietà distributiva) Per ogni x, y ∈ R^{2} e λ, μ ∈ R

\begin{aligned}λ(x + y) & = λx + λy, \\ (λ + μ)x & = λx + μx. \end{aligned}

Dimostrazione. Queste proprietà sono semplici conseguenze delle analoghe proprietà dei numeri reali.

Definizione. (Prodotto scalare.) Dati due vettori x e y in R^{2} il prodotto scalare x · y è il numero reale dato da

x · y = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2}.

Il prodotto scalare è molto importante nello studio della geometria del piano R^{2}. Esso gode delle seguenti proprietà Proposizione 1.2.

(i) (Proprietà commutativa) Per ogni x, y ∈ R^{2}

x · y = y · x;

(ii) (Proprietà distributiva) Per ogni x, y, z ∈ R^{2}

x · (y + z) = x · y + x · z;

(iii) (Omogeneità) Per ogni x, y ∈ R^{2} ed ogni λ ∈ R

λ(x · y) = (λx) · y = x · (λy);

(iv) (Positività) Per ogni x ∈ R^{2}

x · x ≥ 0,
x · x = 0 se e soltanto se x = 0.

Dimostrazione. Il punto (i) segue da

x · y = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} = y_{1}x_{1} + y_{2}x_{2} = y · x.

Il punto (ii) segue da

x · (y + z) = x_{1}(y_{1} + z_{1}) + x_{2}(y_{2} + z_{2}) =
= x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + x_{1}z_{1} + x_{2}z_{2} =
= x · y + x · z.

Confrontando le quantità

\begin{aligned}λ(x · y) & = λ(x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2}) = λx_{1}y_{1} + λx_{2}y_{2}, \\ (λx) · y & = (λx_{1})y_{1} + (λx_{2})y_{2} = λx_{1}y_{1} + λx_{2}y_{2}, \\ x · (λy) & = x_{1}(λy_{1}) + x_{2}(λy_{2}) = λx_{1}y_{1} + λx_{2}y_{2}, \end{aligned}

otteniamo (iii). Per dimostrare (iv), osserviamo che

x · x = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}.

Poiché i quadrati di numeri reali sono sempre non negativi, si ha che x·x ≥ 0. Se x = 0, chiaramente x · x = 0 · 0 + 0 · 0 = 0. Viceversa, se per un vettore x ∈ R^{2} vale x · x = 0, allora x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 0. Ciò è possibile solo se x_{1} = x_{2} = 0 e la dimostrazione della proposizione è completa.

Definizione. La norma ||x|| di un vettore x ∈ R^{2} è definita da

||x|| = \sqrt{x · x} = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}.

Per il Teorema di Pitagora, la norma del vettore x è uguale alla lunghezza del segmento congiungente

i suoi estremi ( \begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix} ) e ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ). Equivalentemente, la norma di x è la distanza del punto ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} )

dall’origine ( \begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix} ).

Fig.6 Il Teorema di Pitagora.

Analogamente, dalla Fig.5 vediamo che ||x − y|| è la distanza fra i punti ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) e ( \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix} ). Usando la

norma, diamo un’interpretazione geometrica del prodotto scalare fra vettori (per le definizioni di seno e coseno si veda l’Eserc. 1.B).

Proposizione 1.3. Siano x e y due vettori in R^{2}.

(i) Allora

x · y = ||x|| · ||y|| cos φ,

dove φ è l’angolo fra i vettori x e y. (ii) I vettori x e y sono perpendicolari se e soltanto se x · y = 0.

Dimostrazione. Consideriamo il triangolo di vertici i punti 0, x e y.

Fig.7 La regola del coseno.

Dalla Fig.5, vediamo che i lati del triangolo hanno lunghezze ||x||, ||y|| e ||x − y||. Applicando la regola del coseno (vedi Eserc.1.C), troviamo

||x − y||^{2} = ||x||^{2} + ||y||^{2} − 2||x|| · ||y|| cos φ.

Dalla definizione stessa della norma abbiamo

(x_{1} − y_{1})^{2} + (x_{2} − y_{2})^{2} = x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + x_{2}^{2} + y_{2}^{2} − 2||x|| · ||y|| cos φ

e quindi

−2x_{1}y_{1} − 2x_{2}y_{2} = −2||x|| · ||y|| cos φ

come richiesto. Per la parte (ii), osserviamo che cos φ = 0 se e soltanto se φ = ±π/2, cioè se e soltanto se φ è un angolo retto.

Corollario 1.4. (Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz). Siano x e y vettori in R^{2}. Allora

|x · y| ≤ ||x|| · ||y||.

Dimostrazione. Questo segue dal fatto che | cos φ| ≤ 1. (Vedi l’Eserc.1.B).

Proposizione 1.5. Siano x e y vettori in R^{2}. Allora

(i) (Disugualianza triangolare)

||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||;

(ii) Per ogni λ ∈ R

||λx|| = |λ| · ||x||.

Dimostrazione. Diamo due dimostrazioni del punto (i). La prima è geometrica e la seconda è algebrica. Dalla Fig.3 segue che il triangolo di vertici 0, x e x + y ha lati di lunghezza ||x||, ||y|| e ||x + y|| rispettivamente. È chiaro che la somma delle lunghezze di due qualunque dei lati di un triangolo è maggiore o uguale della lunghezza del terzo lato: se non fosse così, il triangolo non si “chiuderebbe”. In particolare

||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||

come richiesto. La seconda dimostrazione usa la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz del Cor.1.4. Abbiamo

||x + y||^{2} = (x_{1} + y_{1})^{2} + (x_{2} + y_{2})^{2}
= x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + 2(x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2})
= ||x||^{2} + ||y||^{2} + 2x · y
≤ ||x||^{2} + ||y||^{2} + 2||x||||y|| = (||x|| + ||y||)^{2}.

Poiché ||x+y|| e ||x||+||y|| sono numeri non negativi, possiamo estrarne le radici quadrate e ottenere la disuguaglianza triangolare. Per la parte (ii), calcoliamo

||λx||^{2} = (λx_{1})^{2} + (λx_{2})^{2} = λ^{2}(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) = λ^{2}||x||^{2}.

Estraendo la radici quadrate, troviamo

||λx|| = \sqrt{λ^{2}}\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} = |λ| · ||x||

come richiesto.

Come applicazione del prodotto scalare, determiniamo adesso la proiezione ortogonale di un vettore x su una retta l, passante per 0 e per un vettore non nullo y.

Fig.8 La proiezione su l.

Proposizione 1.6. Siano x e y vettori in R^{2}. Supponiamo che y ≠ 0. La proiezione ortogonale π(x) di x sulla retta passante per 0 e y è un multiplo cy di y. Il valore dello scalare c ∈ R è

c = \frac{||x||}{||y||} cos φ = \frac{x · y}{||y||^{2}} .

Dimostrazione. Poiché la proiezione è ortogonale, abbiamo che

(π(x) − x) · y = 0.

Con la sostituzione π(x) = cy, troviamo

0 = (π(x) − x) · y = (cy − x) · y = cy · y − x · y = c||y||^{2} − x · y,

da cui c = (x · y)/||y||^{2} come richiesto. Poiché x · y = ||x||||y|| cos φ, la costante c è anche uguale a c = ||x||||y|| cos φ/||y||^{2} = ||x||/||y|| · cos φ. Questo conclude la dimostrazione della proposizione.

Dati due vettori x e y, calcoliamo infine l’area del triangolo di vertici 0, x, y.

Fig.9. Il triangolo di vertici 0, x, y.

Proposizione 1.7. L’area del triangolo di vertici 0, x, y è data da

\frac{1}{2}|x_{1}y_{2} − x_{2}y_{1}|.

Dimostrazione. Sia A l’area del triangolo. Poiché l’altezza del triangolo è uguale a ||y|| sen φ, l’area è dunque uguale a

A = \frac{1}{2}||x|| · ||y|| sen φ.

Allora

(2A)^{2} = ||x||^{2} · ||y||^{2} sen^{2} φ = ||x||^{2} · ||y||^{2}(1 − cos^{2} φ)
= ||x||^{2} · ||y||^{2} − (||x|| · ||y|| cos φ)^{2}
= (x_{1}^{2} + x_{2}^{2})(y_{1}^{2} + y_{2}^{2}) − (x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2})^{2}
= (x_{1}y_{2} − x_{2}y_{1})^{2}.

Estraendo le radici quadrate troviamo

2A = |x_{1}y_{2} − x_{2}y_{1}|

come richiesto.

Osserviamo che l’espressione 2A = |x_{1}y_{2} − x_{2}y_{1}| è uguale all’area del paralellogramma di vertici 0, x, y e x + y.

Fig.10. Il paralellogramma di vertici 0, x, y e x + y.

Osserviamo infine che l’espressione x_{1}y_{2} − x_{2}y_{1} è uguale al determinante della matrice ( \begin{matrix}x_{1} & y_{1} \\ x_{2} & y_{2} \end{matrix} ) .

Esercizi.

(1.A) Siano x = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ) e y = ( \begin{matrix}−1 \\ −3 \end{matrix} ).

(i) Calcolare e disegnare i vettori x, 2x, −x, 0x.

(ii) Calcolare e disegnare i vettori x + y, x − y, 3y, −x e 3x − y. (iii) Calcolare ||x||, ||y||, ||x + y|| e x − y.

(1.B) (Trigonometria elementare) Sia φ ∈ R un angolo. Il seno ed il coseno di φ sono, per definizione, le coordinate del vettore x di norma ||x|| = 1, che forma un angolo φ con l’asse delle ascisse positive.

x = ( \begin{matrix}cos φ \\ sen φ \end{matrix} ) .

Fig.11 Seno e coseno.

(i) Dimostrare che | sen φ| ≤ 1 e | cos φ| ≤ 1. (ii) Dimostrare che cos^{2} φ + sen^{2} φ = 1.

(1.C) (La regola del coseno) Sia ABC un triangolo con lati di lunghezza a, b c ed angoli α, β e γ. Sia Q la proiezione ortogonale di C sul lato AB.

Fig.12 La regola del coseno.

(i) Far vedere che |CQ| = b sen α e |AQ| = b cos α. (ii) Applicare il Teorema di Pitagora al triangolo CQB e dedurre la relazione

a^{2} = b^{2} + c^{2} − 2bc cos α.

(1.D) Siano x = ( \begin{matrix}1 \\ 4 \end{matrix} ) e y = ( \begin{matrix}4 \\ 1 \end{matrix} ).

(i) Calcolare il coseno dell’angolo φ fra i vettori x e y. (ii) Calcolare il coseno dell’angolo φ fra i vettori x e −y. (iii) Calcolare il coseno dell’angolo φ fra i vettori x e −2y.

(1.E) Sia x = ( \begin{matrix}1 \\ 4 \end{matrix} ). Trovare un vettore y ∈ R^{2} tale che l’angolo fra x e y sia uguale a π/3.

(1.F) Siano x = ( \begin{matrix}1 \\ −1 \end{matrix} ) e y = ( \begin{matrix}4 \\ 3 \end{matrix} ).

(i) Calcolare l’area del triangolo di vertici 0, x e y. (ii) Calcolare l’area del paralellogramma di vertici 0, x, y e x + y. (iii) Calcolare l’area del paralellogramma di vertici 0, x, −y e x − y.

(1.G) Siano x = ( \begin{matrix}3 \\ 1 \end{matrix} ), y = ( \begin{matrix}6 \\ 5 \end{matrix} ) e z = ( \begin{matrix}2 \\ 2 \end{matrix} ). Calcolare l’area del triangolo di vertici x, y e z.

(1.H) Trovare x, y ∈ R^{2} non nulli tali che (i) ||x + y|| = ||x|| + ||y||. (ii) ||x + y|| = 0. (iii) ||x|| = ||y|| = ||x + y||.

(1.I) Siano x, y ∈ R^{2} e sia p il vettore

p = ( \begin{matrix}(x_{1} + y_{1})/2 \\ (x_{2} + y_{2})/2 \end{matrix} ) .

(i) Calcolare la distanza ||x − p|| di p da x e la distanza ||y − p|| di p da y. (ii) Calcolare la distanza ||x − y|| da x a y. Far vedere che

||x − p|| + ||y − p|| = ||x − y||.

(iii) Dedurre che p è il punto medio fra x e y.

(1.J) Sia x = ( \begin{matrix}cos φ \\ sen φ \end{matrix} ) e sia y = ( \begin{matrix}cos ψ \\ sen ψ \end{matrix} ).

(i) Calcolare x · y. (ii) Dimostrare che

cos(φ − ψ) = cos φ cos ψ + sen φ sen ψ.

(1.K) Dimostrare che

cos(φ + ψ) = cos φ cos ψ − sen φ sen ψ,
sen(φ − ψ) = sen φ cos ψ − cos φ sen ψ,
sin(φ + ψ) = sen φ cos ψ + cos φ sen ψ.

(Suggerimento: usare l’Eserc.2.A).

(1.L) Siano x = ( \begin{matrix}55 \\ 89 \end{matrix} ) e y = ( \begin{matrix}89 \\ 144 \end{matrix} ).

(i) Calcolare l’area del triangolo di vertici 0, x e y. (ii) Trovare x, y ∈ R^{2} con x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2} > 1000 tali che il triangolo di vertici 0, x e y abbia area 1.

(1.M) Sia x ∈ R^{2} un vettore non nullo. Dimostrare che x/||x|| è un vettore di norma 1.

2. Rette in R^{2}; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R^{2}. Ci sono due modi per descrivere una retta in R^{2}: mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione parametrica.

Una equazione cartesiana di una retta ha la forma

ax_{1} + bx_{2} + c = 0,

dove a, b, c ∈ R ed a, b non sono entrambi nulli. La retta consiste nei punti x le cui coordinate soddisfano l’equazione suddetta. Per esempio, per a = 2, b = −3 e c = 1 abbiamo la retta

r : 2x_{1} − 3x_{2} + 1 = 0.

Fig.13 La retta r : 2x_{1} − 3x_{2} + 1 = 0.

Per ogni x_{1} ∈ R, c’è un unico punto x sulla retta r con la prima coordinata uguale a x_{1}. L’altra

coordinata di x è data da x_{2} = (2x_{1} + 1)/3. Per esempio, i punti ( \begin{matrix}0 \\ 1/3 \end{matrix} ), ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) e ( \begin{matrix}4 \\ 3 \end{matrix} ) stanno

tutti sulla retta r. Nota bene che due equazioni distinte possono descrivere la stessa retta: per ogni λ ∈ R non nullo, le equazioni

ax_{1} + bx_{2} + c = 0 e λax_{1} + λbx_{2} + λc = 0

descrivono la stessa retta. Sia l’equazione 20x_{1} − 30x_{2} + 10 = 0 che l’equazione 2x_{1} − 3x_{2} + 1 = 0 descrivono la retta r.

Una equazione parametrica di una retta ha la forma

( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}p_{1} \\ p_{2} \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}v_{1} \\ v_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}p_{1} + tv_{1} \\ p_{2} + tv_{2} \end{matrix} ) , t ∈ R,

ove p = ( \begin{matrix}p_{1} \\ p_{2} \end{matrix} ) è un punto sulla retta e v = ( \begin{matrix}v_{1} \\ v_{2} \end{matrix} ) ≠ 0 è un vettore parallelo alla retta.

Al variare del parametro t ∈ R, il punto x = ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) varia fra tutti i punti della retta; il punto p

corrisponde a t = 0. Per p = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) e v = ( \begin{matrix}3 \\ 2 \end{matrix} ) troviamo ad esempio la retta

x = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}3 \\ 2 \end{matrix} ) , t ∈ R,

Fig.14 La retta x = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}3 \\ 2 \end{matrix} ) .

Assegnando al parametro t ∈ R i valori t = 0, t = 1 e t = −1/3 troviamo rispettivamente i punti di coordinate

x = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) , x = ( \begin{matrix}4 \\ 3 \end{matrix} ) , x = ( \begin{matrix}0 \\ 1/3 \end{matrix} ) .

Osserviamo che due equazioni parametriche

x = p + tv, t ∈ R e x = p′ + sv′, s ∈ R

descrivono la stessa retta l, ogni volta che p e p′ sono punti di l ed i vettori v, v′ sono paralleli ad l. Ciò accade precisamente quando v′ = λv per qualche λ ∈ R, non nullo. Per esempio, le equazioni parametriche

x = ( \begin{matrix}4 \\ 3 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}3 \\ 2 \end{matrix} ) ,  t ∈ R,  x = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}6 \\ 4 \end{matrix} ) ,  t ∈ R

descrivono la retta r.

Definizione. Un vettore normale ad una retta è un vettore n ≠ 0 che è perpendicolare alla retta.

Fig.15 La retta r : 2x_{1} − 3x_{2} + 1 = 0; un vettore normale ad r.

Proposizione 2.1. Sia l la retta di equazione cartesiana

ax_{1} + bx_{2} = c.

Allora, il vettore n = ( \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ) è un vettore normale ad l.

Dimostrazione. Notiamo che n = ( \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ) non è zero perchè a, b non sono entrambi nulli. Verifichi-

amo che n è perpendicolare alla retta. Siano x e y due punti distinti della retta. Allora il vettore y − x è parallelo alla retta.

Fig.16 Il vettore y − x è parallelo alla retta.

Calcolando il prodotto scalare (x − y) · n, troviamo

\begin{aligned}(x − y) · n & = ( \begin{matrix}x_{1} − y_{1} \\ x_{2} − y_{2} \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ) = (x_{1} − y_{1})a + (x_{2} − y_{2})b \\ & = (ax_{1} + bx_{2}) − (ay_{1} + by_{2}) = c − c = 0. \end{aligned}

Dunque la retta l ed il vettore n sono perpendicolari, come richiesto.

Dalla proposizione segue in particolare che il vettore v = ( \begin{matrix}−b \\ a \end{matrix} ) è parallelo alla retta l.

Negli esempi che seguono, applichiamo i concetti fin qui esposti alla risoluzione di alcuni problemi geometrici nel piano.

Esempio 2.2. (La retta per due punti distinti) Siano dati due punti distinti q e q′ in R^{2}. Come calcolare un’equazione parametrica e un’equazione cartesiana della retta l passante per q e q′? Per ottenere un’equazione parametrica di l, basta trovare un punto p su l e un vettore v parallelo ad l. Ad esempio, dati i punti

q = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ) , q′ = ( \begin{matrix}−2 \\ 4 \end{matrix} ) ,

prendiamo

p = q = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ) , e v = q − q′ = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}−2 \\ 4 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}3 \\ −2 \end{matrix} ) .

Otteniamo così l’equazione parametrica

x = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}3 \\ −2 \end{matrix} ) , t ∈ R.

Per trovare un’equazione cartesiana della retta l, determinamo a, b, c in modo che l’equazione ax_{1} + bx_{2} = c sia soddisfatta dai punti dati. Nel caso in questione, dobbiamo risolvere il sistema lineare

\{ \begin{matrix}a + 2b = c \\ −2a + 4b = c. \end{matrix}

Troviamo a = c/4 e b = 3c/8, ed un’equazione cartesiana di l è per esempio

2x_{1} + 3x_{2} = 8.

Osservazione. Possiamo anche ricavare un’equazione cartesiana di l a partire da quella parametrica, eliminando t dalle due equazioni

\begin{aligned}x_{1} & = 1 + 3t, \\ y_{1} & = 2 − 2t. \end{aligned}

In questo modo, troviamo t = (x_{1} − 1)/3 = (y_{1} − 2)/(−2) e quindi 2x_{1} + 3y_{1} − 8 = 0.

Osservazione. Per passare da un’equazione cartesiana ad un’equazione parametrica di una data retta, basta scegliere due punti distinti sulla retta e fare il calcolo dell’Esempio 2.2.

Date due rette in R^{2} ci sono tre possibilità: le rette si intersecano in un punto, sono parallele oppure coincidono. Per determinare quale situazione si verifichi, ci si riduce sempre a studiare un sistema di equazioni lineari. Se il sistema non ha soluzioni, le due rette sono parallele; se ha un’unica soluzione, le due rette si intersecano in un unico punto e se il sistema ammette infinite soluzioni, le due rette coincidono.

Esempio 2.3. (Intersezioni fra rette)

1. Siano l e m due rette di equazioni cartesiane

2x_{1} − 3x_{2} + 1 = 0, 4x_{1} − 6x_{2} = 0.

Per trovarne l’intersezione risolviamo il sistema lineare

\{ \begin{matrix}2x_{1} − 3x_{2} & =-1 \\ 4x_{1} − 6x_{2} & =0. \end{matrix}

Vediamo che 2 volte la prima equazione meno la seconda ci da 2(2x_{1} − 3x_{2}) − (4x_{1} − 6x_{2}) = 2 · −1 − 0, cioè 0 = −1. Siccome questo è assurdo, il sistema non ha soluzioni e le due rette sono parallele.

2. Siano l e m due rette di equazioni

x = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) , t ∈ R, e x = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) + s ( \begin{matrix}3 \\ −2 \end{matrix} ) , s ∈ R.

Per calcolarne l’intersezione, imponiamo ad un generico punto x di appartenere sia ad l che a m; cerchiamo dunque t ed s tali che

x = ( \begin{matrix}1 \\ 2 + t \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}3s \\ 1 − 2s \end{matrix} ) .

Questo ci dà un sistema di due equazioni nelle due incognite t ed s

\{ \begin{matrix}3s & =1 \\ t + 2s & =-1. \end{matrix}

Si vede facilmente che l’unica soluzione è data da t = −5/3 ed s = 1/3, corrispondente al

punto in comune ( \begin{matrix}1 \\ 1/3 \end{matrix} ) .

3. Sia l la retta di equazione cartesiana x_{1} −3x_{2} +2 = 0 e sia m la retta di equazione parametrica

x = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}3 \\ 1 \end{matrix} ) , t ∈ R.

Per trovare l’intersezione fra l ed m, sostituiamo il generico punto di m, di coordinate x_{1} = 1+3t e x_{2} = 1 + t nell’equazione di l. Troviamo (1 + 3t) − 3(1 + t) + 2 = 0, cioè 0 = 0. Questa equazione è dunque soddisfatta per ogni valore di t. In altre parole, tutti i punti di m soddisfano l’equazione di l e le due rette coincidono.

Esempio 2.4. (Rette ortogonali) Data una retta l e un punto q, come calcolare un’equazione della retta m perpendicolare a l e passante per q? Per avere un’equazione parametrica x = p + tv di m, abbiamo bisogno di un punto p su m e di un vettore parallelo ad m. Poiché m deve passare per q, possiamo prendere p = q e, poiché m deve essere perpendicolare ad l, il vettore v deve essere perpendicolare ad m.

Ad esempio, sia l la retta di equazione parametrica

x = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}3 \\ 4 \end{matrix} ) , t ∈ R

e sia q = ( \begin{matrix}1 \\ −3 \end{matrix} ). In questo caso, prendiamo p = ( \begin{matrix}1 \\ −3 \end{matrix} ) per v = ( \begin{matrix}4 \\ −3 \end{matrix} ) , che è ortogonale a ( \begin{matrix}3 \\ 4 \end{matrix} )

e ad l. Un’equazione parametrica per la retta m è dunque

x = ( \begin{matrix}1 \\ −3 \end{matrix} ) + s ( \begin{matrix}4 \\ −3 \end{matrix} ) , s ∈ R.

Fig.17 La retta per q perpendicolare ad l.

Osservazione. Se nell’Esempio 2.4 la retta l fosse stata in forma cartesiana ax_{1} + bx_{2} + c = 0, sarebbe stato ancora più facile trovare un vettore v normale ad l: per la Prop.2.1, avremmo potuto

prendere direttamente v = ( \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ).

Esempio 2.5. (Distanza di un punto da una retta) Dati una retta l e un punto q, come calcolare la distanza di q da l? Per trovare la distanza fra q ed l, calcoliamo la proiezione q′ del punto q su l. Il punto q′ non è altro che l’intersezione di l con la retta perpendicolare ad l passante per q. La distanza di q da l è data esattamente da

d(q, l) = d(q, q′).

Se prendiamo, ad esempio, q ed l come nell’Esempio 2.4, il punto q′ è dato dall’intersezione di l con la retta m. Basta dunque calcolare questa intersezione risolvendo il sistema

\{ \begin{matrix}1 + 3t & =1+4s \\ 2 + 4t & =-3-3s. \end{matrix}

La soluzione è data da t = −4/5 e s = −3/5, corrispondente al punto q′ = ( \begin{matrix}−7/5 \\ −6/5 \end{matrix} ); la distanza

fra q ed l è dunque

d(q, l) = d(q, q′) = \sqrt{(1 + 7/5)^{2} + (−3 + 6/5)^{2}} = 3.

Fig.18 La distanza fra q ed l.

Osservazione.(Formula della distanza punto retta) Se la retta l è data in forma cartesiana

ax_{1} + bx_{2} + c = 0,

un’equazione parametrica della retta m, perpendicolare ad l e passante per q, è data da

( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}q_{1} \\ q_{2} \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ) , t ∈ R.

L’intersezione l ∩ m è data dal punto

q′ = ( \begin{matrix}q_{1} − a\frac{aq_{1}+bq_{2}+c}{a^{2}+b^{2}} \\ q_{2} − b\frac{aq_{1}+bq_{2}+c}{a^{2}+b^{2}} \end{matrix} ) ,

corrispondente al valore del parametro

t = −\frac{aq_{1} + bq_{2} + c}{a^{2} + b^{2}}.

Risulta così che la distanza di q da l è data dalla formula

d(q, l) = \frac{|aq_{1} + bq_{2} + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}.

Osservazione. Analogamente, per calcolare la distanza fra due rette parallele, basta scegliere un punto P su una delle due rette e calcolare la distanza di P dall’altra retta.

Definizione. Una circonferenza in R^{2} di centro c e raggio r è l’insieme dei punti che ha distanza uguale ad r da c.

Fig.19 La circonferenza di centro c e raggio r.

Poiché i punti x sulla circonferenza di centro c e raggio r sono esattamente quelli che soddisfano

||x − c|| = r,

e l’equazione della circonferenza risulta

(x_{1} − c_{1})^{2} + (x_{2} − c_{2})^{2} = r^{2}.

Date una retta ed una circonferenza nel piano, ci sono tre possibilità: si intersecano in due punti, si intersecano in un unico punto e la retta è tangente alla circonferenza, oppure non si intersecano affatto. Se la circonferenza ha equazione (x_{1} − c_{1})^{2} + (x_{2} − c_{2})^{2} = r^{2} e la retta ha equazione ax_{1} + bx_{2} = c, si tratta di risolvere il sistema (non lineare)

\{ \begin{matrix}(x_{1} − c_{1})^{2} + (x_{2} − c_{2})^{2} = r^{2} \\ ax_{1} + bx_{2} = c. \end{matrix}

Esempio 2.6. (Intersezione fra una retta e una circonferenza) Consideriamo, ad esempio, la circonferenza C di equazione

(x_{1} − 2)^{2} + (x_{2} − 1)^{2} = 9

e la retta l di equazione x_{1} − x_{2} + 2 = 0. L’intersezione C ∩ l è data dalle soluzioni del sistema

\{ \begin{matrix}(x_{1} − 2)^{2} + (x_{2} − 1)^{2} = 9 \\ x_{1} − x_{2} + 2 = 0. \end{matrix}

Sostituendo nella prima equazione la relazione x_{1} = x_{2} − 2, troviamo x_{2} = 4 e x_{2} = 1. I due punti di intersezione corrispondenti sono quindi

x = ( \begin{matrix}2 \\ 4 \end{matrix} ) e y = ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \end{matrix} ) .

Calcoliamo adesso l’intersezione di C con la retta m di equazione parametrica

x = ( \begin{matrix}0 \\ −10 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \end{matrix} ) , t ∈ R.

Sostituendo il punto generico della retta m nell’equazione della circonferenza, troviamo (−t − 2)^{2} + ((t − 10) − 1)^{2} = 9, ossia l’equazione

t^{2} − 9t + 58 = 0.

Poiché questa equazione non ha soluzioni reali, la circonferenza C e la retta m non si incontrano.

Fig.20. La circonferenza C e le rette l ed m.

Osservazione. (Intersezione di due circonferenze) Per calcolare l’intersezione di due circonferenze C di equazione (x_{1} − c_{1})^{2} + (x_{2} − c_{2})^{2} = r^{2} e C′ di equazione (x_{1} − g_{1})^{2} + (x_{2} − g_{2})^{2} = R^{2}, bisogna risolvere il sistema non lineare

\begin{aligned}(x_{1} − c_{1})^{2} + (x_{2} − c_{2})^{2} & = r^{2} \\ (x_{1} − g_{1})^{2} + (x_{2} − g_{2})^{2} & = R^{2}. \end{aligned}

Osserviamo innanzitutto che, se le circonferenze hanno lo stesso centro, o coincidono o non si incontrano mai. Supponiamo allora che le circonferenze non abbiano lo stesso centro. Sottraendo le due equazioni una dall’altra otteniamo un’equazione di primo grado

2(g_{1} − c_{1})x_{1} + 2(g_{2} − c_{2})x_{2} = r^{2} − R^{2} + (g_{1}^{2} − c_{1}^{2}) + (g_{2}^{2} − c_{2}^{2}).

Geometricamente, questa equazione definisce una retta l, perpendicolare al vettore g − c. I punti di intersezione fra le due circonferenze sono esattamente i punti di intersezione di l con una di esse.

Proposizione 2.7. Sia (x_{1}−c_{1})^{2}+(x_{2}−c_{2})^{2} = r^{2} una circonferenza C in R^{2} di centro c e raggio r. Un’equazione della retta tangente alla circonferenza nel punto q ∈ C è data da

(q_{1} − c_{1})(x_{1} − q_{1}) + (q_{2} − c_{2})(x_{2} − q_{2}) = 0.

Dimostrazione. Sia x un punto arbitrario su detta tangente. Poiché la tangente in q è perpendicolare alla retta passante per q ed il centro della circonferenza c, si ha che

(q − c) · (q − x) = 0

come richiesto.

Fig.21 La retta tangente alla circonferenza nel punto q.

Esempio 2.8. (Rette tangenti ad una circoferenza) Siano dati una circonferenza C e un punto p ∈ R^{2} che non appartiene a C. Come calcolare le tangenti a C uscenti da p? Osserviamo innanzitutto che se p è interno alla circonferenza, di tangenti a C uscenti da p non ne esistono; se invece p è esterno alla circonferenza, esistono esattamente due rette tangenti a C uscenti da p. Siano q e q′ i corrispondenti punti di tangenza. Allora q e q′ devono stare sulla circonferenza C e al tempo stesso sulla circonferenza C′, di centro p e raggio R = \sqrt{d(c, p)^{2} − r^{2}}. In altre parole, q e q′ sono i punti di intersezione di C ∩ C′.

Sia ad esempio C la circonferenza data da

(x_{1} − 2)^{2} + (x_{2} − 1)^{2} = 9

e sia p = ( \begin{matrix}−1 \\ 5 \end{matrix} ), un punto esterno a C. Allora le tangenti a C uscenti da p sono le rette r_{1}, per

p e q, ed r_{2}, per p e q′, ove q e q′ sono dati dall’intersezione delle circonferenze C e C′

\{ \begin{matrix}(x_{1} − 2)^{2} + (x_{2} − 1)^{2} = 9 \\ (x_{1} + 1)^{2} + (x_{2} − 5)^{2} = 16. \end{matrix}

Sottraendo le due equazioni una dall’altra, troviamo l’equazione della retta l

3x_{1} − 4x_{2} + 7 = 0

che incontra C e C′ nei punti q e q′. Per esempio, intersecando l con C, troviamo

q = ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \end{matrix} ) e q′ = ( \begin{matrix}71/25 \\ 97/25 \end{matrix} ) .

Le tangenti cercate sono così

x = ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}0 \\ 4 \end{matrix} ) , t ∈ R x = ( \begin{matrix}−1 \\ 5 \end{matrix} ) + s ( \begin{matrix}96/25 \\ −28/25 \end{matrix} ) , s ∈ R.

Fig.22 Le tangenti alla circonferenza C uscenti da p.

Osservazione. Per la Prop.2.7, la tangente a C in un generico punto q ∈ C è data da

(q_{1} − 2)(x_{1} − q_{1}) + (q_{2} − 1)(x_{2} − q_{2}) = 0.

Poiché le tangenti cercate devono passare per il punto dato p = ( \begin{matrix}−1 \\ 5 \end{matrix} ) , le coordinate di q devono

anche soddisfare la relazione

(q_{1} − 2)(−1 − q_{1}) + (q_{2} − 1)(5 − q_{2}) = 0.

E’ facile verificare che questa non è altro che la condizione q ∈ C′.

Esercizi. (2.A) Sia x il vettore dell’Eserc.1.B: x ha norma ||x|| = 1 e forma un angolo φ con l’asse delle ascisse.

(i) Sia y la riflessione del vettore x rispetto alla retta x_{1} = x_{2}. Far vedere che l’angolo che y forma con l’asse delle ascisse è uguale a π/2 − φ.

(ii) Dimostrare che

cos( \frac{π}{2} − φ) = sen φ,
sen( \frac{π}{2} − φ) = cos φ.

(2.B) Sia x il vettore ( \begin{matrix}1 \\ 4 \end{matrix} ). Trovare altri tre punti sulla retta r che passa per 0 e x.

(2.C) Sia T il triangolo di vertici

( \begin{matrix}−1 \\ 4 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}3 \\ 3 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 2 \end{matrix} ) .

(i) Calcolare le coordinate dei punti medi M_{1}, M_{2} ed M_{3} dei lati di T.

(ii) Calcolare le equazioni delle tre rette l_{1}, l_{2}, l_{3} passanti per un vertice del triangolo e per il punto

medio M_{i} ad esso opposto. (iii) Calcolare i punti di intersezione fra le tre rette l_{1}, l_{2} e l_{3}.

(2.D) Siano l e m le rette in R^{2} date dalle equazioni cartesiane

2x_{1} − 3x_{2} + 1 = 0, 3x_{1} + x_{2} − 2 = 0.

(i) Trovare equazioni parametriche per l ed m. (ii) Calcolare l’intersezione di l ed m.

(2.E) Siano l e m le rette in R^{2} date dalle equazioni parametriche

x = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}3 \\ 1 \end{matrix} ) , t ∈ R, x = ( \begin{matrix}3 \\ 1 \end{matrix} ) + s ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ) , s ∈ R.

(i) Trovare equazioni cartesiane per l ed m. (ii) Calcolare l’intersezione di l ed m.

(2.F) Sia l la retta in R^{2} di equazione x_{1} = 3. (i) Trovare un vettore normale ad l. (ii) Trovare un altro vettore normale ad l. (iii) Calcolare un’equazione parametrica per l. (iv) Calcolare un’altra equazione parametrica per l.

(2.G) Sia l la retta data dall’equazione x_{1} − x_{2} = 7. Sia m la retta di equazione parametrica

x = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}1 \\ −1 \end{matrix} ) , t ∈ R.

(i) Calcolare il punto di intersezione di l ed m.

(2.H) Sia l la retta di equazione 2x_{1} + 2x_{2} + 3 = 0. Sia p = ( \begin{matrix}−1 \\ −2 \end{matrix} ).

(i) Calcolare un’equazione cartesiana per la retta m_{1} che passa per p ed è parallela ad l. (ii) Calcolare un’equazione cartesiana per la retta m_{2} che passa per p ed è ortogonale ad l. (iii) Trovare il punto di intersezione di m_{1} ed m_{2}.

(2.I) Sia q = ( \begin{matrix}0 \\ 3 \end{matrix} ) e sia l la retta di equazione parametrica

x = ( \begin{matrix}3 \\ −1 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}1 \\ −2 \end{matrix} ) , t ∈ R.

(i) Calcolare la proiezone ortogonale del punto q sulla retta l. (ii) Calcolare la distanza fra q ed l.

(2.J) Siano

p_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) , p_{2} = ( \begin{matrix}2 \\ −1 \end{matrix} ) , p_{3} = ( \begin{matrix}−1 \\ 3 \end{matrix} ) .

(i) Calcolare equazioni cartesiane per le tre rette, passanti per due dei tre punti p_{1}, p_{2} e p_{3} . (ii) Trovare vettori normali ad ognuna delle tre rette.

(2.K) Sia C la circonferenza data da x_{1}^{2} +x_{2}^{2} = 8 e siano l_{1}, l_{2} e l_{3} le rette date da x_{1} +x_{2} = 4, da x_{1} +x_{2} = 3 e da x_{1} + x_{2} = 5. Calcolare le intersezioni C ∩ l_{i} per i = 1, 2, 3. Fare un disegno di C e delle tre rette.

(2.L) Sia C_{1} la circonferenza di centro ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) e raggio \sqrt{2} e sia C_{2} la circonferenza di equazione

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} − 5x_{1} + 4x_{2} = 0.

Calcolare l’intersezione C_{1} ∩ C_{2}. Fare un disegno.

(2.M) Sia C_{1} la circonferenza di centro ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) e raggio \sqrt{2} e sia C_{2} la circonferenza di equazione

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 3x_{1} + 3x_{2} = 20.

Calcolare l’intersezione C_{1} ∩ C_{2}. Fare un disegno. (2.N) Sia C la circonferenza data da

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} − 8x_{1} − 8x_{2} + 7 = 0.

Calcolare le tangenti a C uscenti dai punti

( \begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) .

(2.O) Sia C la circonferenza di centro ( \begin{matrix}2 \\ 3 \end{matrix} ) e raggio 37 e sia p = ( \begin{matrix}102 \\ −97 \end{matrix} ).

(i) Calcolare il punto q_{1} ∈ C più vicino a p. (ii) Calcolare il punto q_{2} ∈ C più lontano da p. (iii) Calcolare la distanza fra q_{1} e q_{2}.

(2.P) Dati due punti P e Q in R^{2}, determinare l’insieme dei punti equidistanti da P e Q.

3. Trasformazioni di R^{2}. In questo paragrafo studiamo alcune trasformazioni geometriche del piano R^{2}. Per trasformazioni si intendono sempre delle applicazioni bigettive f : R^{2} ⟶ R^{2}. Le trasformazioni del piano si possono comporre tra loro: se f e g sono due applicazioni bigettive da R^{2} in R^{2}, allora la composizione f ∘ g, definita da

(f ∘ g)(x) = f(g(x)),

è ancora un’applicazione bigettiva da R^{2} in R^{2}. Nota bene che f ∘ g si legge “f composto g”, a indicare che prima si applica g al vettore x e poi si applica f al vettore g(x). In generale, f ∘ g è diversa dall’applicazione g ∘ f.

La composizione fra applicazioni gode della proprietà associativa:

(f ∘ (g ∘ h))(x) = f(g(h(x))) = ((f ∘ g) ∘ h)(x).

Definizione. Sia p un vettore di R^{2}. La traslazione T_{p} di passo p è l’applicazione T_{p} : R^{2} ⟶ R^{2} data da

T_{p}(x) = x + p.

In coordinate,

T_{p}( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x_{1} + p_{1} \\ x_{2} + p_{2} \end{matrix} ) .

Fig.23 La traslazione T_{p}.

Le traslazioni godono delle seguenti proprietà:

Proposizione 3.1.

(i) Siano p, q ∈ R^{2}. Allora T_{p} ∘ T_{q} = T_{p+q} = T_{q+p} = T_{q} ∘ T_{p}. In particolare, la composizione di due traslazioni è ancora una traslazione.

(ii) La traslazione T_{0} è l’applicazione identica. (iii) La traslazione T_{−p} è l’inversa di T_{p}.

Dimostrazione. (i) Per ogni x ∈ R^{2}, vale

T_{p} ∘ T_{q}(x) = (T_{p}(T_{q}(x)) = T_{p}(x + q) = x + p + q = T_{p+q}(x).

D’altra parte, per la commutatività della somma fra vettori, vale anche

x + p + q = x + q + p = T_{q+p}(x) = T_{q} ∘ T_{p}(x).

(ii) Per ogni x ∈ R^{2}, si ha che

T_{0}(x) = x + 0 = x,

ossia T_{0} è proprio l’applicazione identità di R^{2}. (iii) Dal punto (i) segue che

T_{p} ∘ T_{−p}(x) = T_{−p} ∘ T_{p}(x) = T_{0}(x) = x,

cioè T_{p} e T_{−p} sono una l’inversa dell’altra.

Un’altra famiglia di trasformazioni di R^{2} sono le dilatazioni.

Definizione. Siano λ, μ ∈ R, λ, μ > 0. La dilatazione D_{λ,μ} di R^{2} è l’applicazione D_{λ,μ} : R^{2} ⟶ R^{2} definita da

D_{λ,μ}( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}λx_{1} \\ μx_{2} \end{matrix} ) .

In notazione matriciale,

D_{λ,μ}( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}λ & 0 \\ 0 & μ \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ).

Fig.24 La dilatazione D_{2,3}.

Se λ = μ > 0, la dilatazione D_{λ,μ} è semplicemente un “ingrandimento” di fattore λ = μ. Se λ e μ sono numeri positivi distinti, D_{λ,μ} è un ingrandimento di fattore λ nella direzione dell’asse delle ascisse e di fattore μ nella direzione dell’asse delle ordinate.

Introduciamo adesso la famiglia delle rotazioni.

Definizione. Sia φ ∈ R. Indichiamo con R_{φ}: R^{2} ⟶ R^{2} l’applicazione che ad un vettore x ∈ R^{2} associa il vettore ottenuto da x dopo la rotazione di un angolo φ intorno all’origine. Se φ > 0, la rotazione va intesa in senso “antiorario”. Se φ < 0, la rotazione va intesa in senso opposto, cioè in senso “orario”.

Fig.25 La rotazione R_{φ}.

Teorema 3.2. Sia x ∈ R^{2} e sia φ ∈ R. Le coordinate del punto y = R_{φ}(x) sono date da

y_{1} = cos φx_{1} − sen φx_{2},
y_{2} = sen φx_{1} + cos φx_{2}.

In notazione matriciale,

R_{φ}( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}cos φ & − sen φ \\ sen φ & cos φ \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ).

Dimostrazione. Sia α l’angolo fra il vettore x e l’asse delle ascisse. Allora si ha

x_{1} = ||x|| cos α,
x_{2} = ||x|| sen α.

Il vettore y = R_{φ}(x) forma un angolo φ + α con l’asse delle ascisse e quindi

y_{1} = ||x|| cos(φ + α) = ||x|| cos φ cos α − ||x|| sen φ sen α,
y_{2} = ||x|| sen(φ + α) = ||x|| cos φ sen α + ||x|| sen φ cos α.

La sostituzione x_{1} = ||x|| cos α e x_{2} = ||x|| sen α conclude la dimostrazione.

Esempio. Per esempio, la rotazione R_{π/4} di centro 0 e di angolo φ = π/4 è l’applicazione

R_{π/4}( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}\sqrt[\frac{1}{2}]{2} & −\frac{1}{2} \sqrt{2} \\ \sqrt[\frac{1}{2}]{2} & \sqrt[\frac{1}{2}]{2} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}\frac{1}{2} \sqrt{2}x_{1} − \frac{1}{2} \sqrt{2}x_{2} \\ \frac{1}{2} \sqrt{2}x_{1} + \frac{1}{2} \sqrt{2}x_{2} \end{matrix} ) .

Le rotazioni godono delle seguenti proprietà.

Proposizione 3.3.

(i) La composizione di due rotazioni R_{φ} e R_{ψ} intorno all’origine è una rotazione di angolo φ + ψ:

R_{φ} ∘ R_{ψ} = R_{φ+ψ} = R_{ψ} ∘ R_{φ}.

(ii) La rotazione di un angolo φ = 0 è l’applicazione identica, ossia R_{0}(x) = x, per ogni x ∈ R^{2}. (iii) La rotazione inversa di R_{φ} è R_{−φ}.

Dimostrazione. Tutte queste proprietà sono geometricamente evidenti, ma si possono anche ottenere dalle formule del Teorema 3.2.

Osservazione. Come ottenere le formule di una rotazione R_{φ,p} di angolo φ intorno ad un punto p diverso dall’origine? Un modo di procedere è il seguente: prima si fa una traslazione T_{−p} di passo −p, che porti il punto p in 0; poi si fa una rotazione R_{φ} intorno a 0 e poi si fa una traslazione T_{p} che riporti 0 in p:

R_{φ,p} = T_{p} ∘ R_{φ} ∘ T_{−p}.

Esempio 3.4. Calcoliamo, ad esempio, le formule della rotazione R_{φ,p} di un angolo φ attorno al

punto p = ( \begin{matrix}5 \\ 4 \end{matrix} ). Abbiamo

R_{φ,p}(x) = T_{p} ∘ R_{φ} ∘ T_{−p}(x)

= T_{p} ∘ R_{φ} ( \begin{matrix}x_{1} − 5 \\ x_{2} − 4 \end{matrix} )

= T_{p} ( \begin{matrix}cos φ(x_{1} − 5) − sen φ(x_{2} − 4) \\ sen φ(x_{1} − 5) + cos φ(x_{2} − 4) \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}cos φ(x_{1} − 5) − sen φ(x_{2} − 4) + 5 \\ sen φ(x_{1} − 5) + cos φ(x_{2} − 4) + 4 \end{matrix} ) .

Introduciamo infine le riflessioni.

Definizione. Sia φ ∈ R. Indichiamo con S_{φ}: R^{2} ⟶ R^{2} l’applicazione che ad un vettore x ∈ R^{2} associa il vettore ottenuto da x dopo la riflessione rispetto alla retta che passa per 0 e forma un angolo φ con l’asse delle ascisse.

Fig.26 La riflessione S_{φ}.

Teorema 3.5. Sia x ∈ R^{2} e sia φ ∈ R. Le coordinate del punto y = S_{φ}(x) sono date da

y_{1} = cos(2φ)x_{1} + sen(2φ)x_{2},
y_{2} = sen(2φ)x_{1} − cos(2φ)x_{2}.

In notazione matriciale,

S_{φ}( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}cos(2φ) & sen(2φ) \\ sen(2φ) & − cos(2φ) \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ).

Dimostrazione. Sia α l’angolo fra il vettore x e l’asse delle ascisse. Allora si ha

x_{1} = ||x|| cos α,
x_{2} = ||x|| sen α.

Si vede dalla Fig.28 che il vettore y = S_{φ}(x) forma un angolo 2φ−α con l’asse delle ascisse e quindi

y_{1} = ||x|| cos(2φ − α) = ||x|| cos(2φ) cos α + ||x|| sen(2φ) sen α,
y_{2} = ||x|| sen(2φ − α) = −||x|| cos(2φ) sen α + ||x|| sen(2φ) cos α.

La sostituizione x_{1} = ||x|| cos α e x_{2} = ||x|| sen α conclude la dimostrazione.

Esempio. Per esempio, la retta l data da x_{1} = x_{2} forma un angolo di π/4 con l’asse delle ascisse. La riflessione rispetto ad l è l’applicazione S_{π/4} data dalle formule

S_{π/4}( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x_{2} \\ x_{1} \end{matrix} ) .

Proposizione 3.6.

(i) La composizione S_{φ} ∘ S_{φ} è l’applicazione identica. (ii) La composizione S_{φ} ∘ S_{ψ} di due riflessioni rispetto a rette distinte passanti per 0 (con φ ≠ ψ)

è una rotazione di angolo 2(φ − ψ).

Dimostrazione. Calcoliamo

(S_{φ} ∘ S_{ψ})(x) = (( \begin{matrix}cos(2φ) & sen(2φ) \\ sen(2φ) & − cos(2φ) \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}cos(2ψ) & sen(2ψ) \\ sen(2ψ) & − cos(2ψ) \end{matrix} )) (x)

= ( \begin{matrix}cos(2φ) cos(2ψ) + sen(2φ) sen(2ψ) & cos(2φ) sen(2ψ) − sen(2φ) cos(2ψ) \\ sen(2φ) cos(2ψ) − cos(2φ) sen(2ψ) & sen(2φ) sen(2ψ) + cos(2φ) cos(2ψ) \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}cos(2(φ − ψ)) & − sen(2(φ − ψ)) \\ sen(2(φ − ψ)) & cos(2(φ − ψ)) \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} )

= R_{2(φ−ψ)}(x).

In particolare, se φ = ψ + kπ, k ∈ Z otteniamo l’applicazione identità.

Osservazione. Dalle formule del teorema precedente si vede anche che, in generale,

S_{φ} ∘ S_{ψ} ≠ S_{ψ} ∘ S_{φ}.

Osservazione. Se φ = 0, l’applicazione S_{0} è una riflessione rispetto all’asse delle ascisse; se φ = π/2, l’applicazione S_{π/2} è una riflessione rispetto all’asse delle ordinate.

Fig.27 La riflessione rispetto all’asse delle ascisse S_{0}.

La composizione delle riflessioni S_{0} ed S_{π/2} è una rotazione di angolo π, ossia la riflessione rispetto all’origine 0.

Fig.28 La riflessione rispetto all’origine R_{π} = S_{0} ∘ S_{π/2}.

Osservazione. Come calcolare le formule della riflessione S rispetto ad una retta l che non passa per l’origine? Se la retta l non passa per l’origine, non possiamo usare direttamente le formule del Teorema 3.5, ma possiamo procedere nel seguente modo. Fissiamo un punto arbitrario p sulla retta l e applichiamo la traslazione T_{−p}. La trasformata della retta l, tramite T_{−p}, è la retta l′, parallela ad l e passante per 0; applichiamo adesso la riflessione S_{φ} rispetto ad l′, ove φ è l’angolo formato da l′ con l’asse delle ascisse. Applichiamo infine la traslazione inversa T_{p}, che “riporta la retta l al suo posto”. In totale, la riflessione rispetto ad l è data dalla composizione

S = T_{p} ∘ S_{φ} ∘ T_{−p}

e non dipende dalla scelta di p ∈ l.

Esempio 3.7. Calcoliamo ad esempio la riflessione rispetto alla retta l di equazione x_{1} + 1 = 0.

Il punto p = ( \begin{matrix}−1 \\ 0 \end{matrix} ) appartiene ad l e quindi la traslazione T_{−p} di passo −p = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) porta l nella

retta l′, ad essa parallela e passante per l’origine. l′ è data dall’equazione x_{1} = 0 e forma un angolo uguale a π/2 con l’asse delle ascisse. La trasformazione cercata è data dunque dalla composizione

S = T_{−\binom{1}{0}} ∘ S_{π/2} ∘ T\binom{1}{0}.

In coordinate S risulta

S(x) = T_{−\binom{1}{0}} ∘ S_{π/2} ∘ T\binom{1}{0}(x)

= T_{−\binom{1}{0}} ∘ S_{π/2} ( \begin{matrix}x_{1} + 1 \\ x_{2} \end{matrix} )

= T_{−\binom{1}{0}} (( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} + 1 \\ x_{2} \end{matrix} ))

= T_{−\binom{1}{0}} ( \begin{matrix}−x_{1} − 1 \\ x_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−x_{1} − 2 \\ x_{2} \end{matrix} ) .

Concludiamo questo paragrafo introducendo l’orientazione di una coppia di vettori in R^{2}.

Definizione. L’orientazione Or(v, w) di una coppia di vettori v, w ∈ R^{2} è il segno del determinante

det ( \begin{matrix}v_{1} & w_{1} \\ v_{2} & w_{2} \end{matrix} ) = v_{1}w_{2} − v_{2}w_{1}.

In altre parole

Or(v, w) = \{ \begin{matrix}+1 & se v_{1}w_{2} − v_{2}w_{1} > 0; \\ 0 & se v_{1}w_{2} − v_{2}w_{1} = 0; \\ −1 & se v_{1}w_{2} − v_{2}w_{1} < 0. \end{matrix}

Si dice che una coppia di vettori v e w è orientata positivamente se Or(v, w) > 0. Geometricamente, ciò accade se, ruotando il vettore v in senso antiorario fino a sovrapporlo alla retta passante per 0 e w, allora v ha la stesso verso di w (e non quello opposto).

Fig.29 Orientazione.

L’orientazione Or(v, w) cambia se cambia l’ordine dei vettori v e w. Si ha infatti che

Or(v, w) = −Or(w, v).

Siano e_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) ed e_{2} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ). Allora si ha che

Or(( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} )) = +1, Or(( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} )) = −1.

Una qualunque rotazione R_{φ} conserva l’orientazione di ogni coppia di vettori. Si dice anche che le rotazioni conservano l’orientazione del piano. Una riflessione, invece, cambia l’orientazione di ogni coppia di vettori. Una dilatazione D_{λ,μ}, λ, μ > 0 conserva sempre l’orientazione:

Or(D_{λ,μ}(v), D_{λ,μ}(w)) = Or (( \begin{matrix}λv_{1} \\ μv_{2} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}λw_{1} \\ μw_{2} \end{matrix} )) ,
= λv_{1}μw_{2} − λw_{1}μv_{2},
= λμOr(v, w).

In generale, un’applicazione lineare f di R^{2} conserva l’orientazione se e soltanto se det(f) > 0.

Esercizi. (3.A) Siano p = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ) e q = ( \begin{matrix}1 \\ −2 \end{matrix} ).

(i) Trovare le formule per la traslazione T_{p}. (ii) Calcolare T_{p} ( \begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix} ), T_{p} ( \begin{matrix}3 \\ 4 \end{matrix} ). (iii) Calcolare T_{3p} ( \begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix} ), T_{3p} ( \begin{matrix}3 \\ 4 \end{matrix} ). (iv) Calcolare (T_{q} ∘ T_{3p}) ( \begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix} ), (T_{3p} ∘ T_{−q}) ( \begin{matrix}3 \\ 4 \end{matrix} ).

(3.B) Sia Q il trapezio in R^{2} di vertici

( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}6 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 \\ 3 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}3 \\ 3 \end{matrix} ) .

(i) Disegnare l’immagine di Q dopo la traslazione T\binom{0}{−1}. (ii) Disegnare l’immagine di Q dopo la dilatazione D_{2,2} data dalla matrice ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} ). (iii) Disegnare l’immagine di Q dopo la riflessione S_{0} data dalla matrice ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ). (iv) Disegnare l’immagine di Q dopo la rrotazione R_{π} data dalla matrice ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ).

(3.C) Sia D_{2,5} la dilatazione data dalla matrice ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 5 \end{matrix} ). (i) Trovare una dilatazione D_{λ,μ} tale che D_{λ,μ} ∘ D_{2,5} sia l’applicazione identica. (ii) Trovare una dilatazione D_{λ,μ} tale che D_{2,5} ∘ D_{λ,μ} sia l’applicazione identica.

(3.D) Per quali dilatazioni D_{λ,μ} abbiamo che D_{λ,μ} ∘ D_{λ,μ} è l’applicazione identica? (3.E) Sia Q il quadrato in R^{2} di vertici

( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 3 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}3 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}3 \\ 3 \end{matrix} ) .

(i) Disegnare l’immagine di Q dopo la rotazione R_{π/2}. (ii) Disegnare l’immagine di Q dopo la rotazione R_{π}. (iii) Disegnare l’immagine di Q dopo la rotazione R_{3π/2}.

(3.F) Sia Q il quadrato in R^{2} di vertici

( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ −1 \end{matrix} ) .

(i) Disegnare l’immagine di Q dopo la rotazione R_{π/2}. (ii) Per quali angoli φ la rotazione R_{φ} manda il quadrato in se stesso? (iii) Disegnare l’immagine di Q dopo la rotazione R_{π/4}.

(3.G) Siano Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}, Q_{4}, Q_{5}, Q_{6} i punti di R^{2} di coordinate

( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \sqrt[\frac{1}{2}]{3}^{\frac{1}{2}} ) , ( \begin{matrix}− \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \sqrt{3} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}− \frac{1}{2} \\ − \frac{1}{2} \sqrt{3} \end{matrix} ) , ( − \frac{1}{2} \sqrt{3}^{\frac{1}{2}} ) .

(i) Per quali angoli φ la rotazione R_{φ} manda l’esagono di vertici Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}, Q_{4}, Q_{5}, Q_{6} in se stesso?

(3.H) Sia p = ( \begin{matrix}−1 \\ −1 \end{matrix} ).

(i) Trovare le formule per la rotazione R di centro p ed angolo π/2. (ii) Trovare le formule per la rotazione R′ di centro p ed angolo −π/4. (iii) Sia l la retta di equazione parametrica

x = ( \begin{matrix}1 \\ −1 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}2 \\ 1 \end{matrix} ) , t ∈ R.

Calcolare un’equazione parametrica della retta che si ottiene applicando R ad l. (iv) Sia m la retta di equazione cartesiana

x_{1} + x_{2} = 7.

Calcolare un’equazione parametrica della retta che si ottiene applicando R′ ad l.

(3.I) Sia l la retta di equazione x_{1} + x_{2} = 0. (i) Calcolare le formule della riflessione rispetto ad l. (ii) Calcolare le immagini dei punti

( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \end{matrix} ) .

(iii) Calcolare l’immagine della retta di equazione parametrica

( \begin{matrix}5 \\ 0 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}0 \\ −1 \end{matrix} ) , t ∈ R.

(3.J) Sia Q il quadrato dell’Eserc.3.E. Calcolare l’immagine di Q dopo la riflessione rispetto (i) all’asse delle ascisse. (ii) all’asse delle ordinate. (iii) alla retta di equazione x_{1} = x_{2}.

(3.K) Sia Q il quadrato dell’Eserc.3.F. Calcolare l’immagine di Q dopo la riflessione rispetto (i) all’asse delle ascisse. (ii) all’asse delle ordinate. (iii) alla retta di equazione x_{1} = x_{2}. (iv) Trovare tutte le riflessioni S_{φ} che mandano Q in se stesso.

(3.L) Siano Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}, Q_{4}, Q_{5}, Q_{6} i punti dell’Eserc.3.G. Calcolare l’immagine dell’esagono di vertici Q_{i} dopo la riflessione rispetto

(i) all’asse delle ascisse. (ii) all’asse delle ordinate. (iii) la retta di equazione \sqrt{3}x_{1} + x_{2} = 0. (iv) Trovare tutte le riflessioni S_{φ} che mandano l’esagono in se stesso.

(3.M) Sia S la riflessione rispetto alla retta l di equazione cartesiana 3x_{1} + 4x_{2} = 0. (i) Calcolare la tangente dell’angolo φ formato da l con l’asse delle ascisse. (ii) Calcolare le formule per S.

(3.N) Sia S la riflessione rispetto alla retta l di equazione cartesiana 3x_{1} + 4x_{2} = 0. (i) Calcolare le formule della riflessione S_{0} rispetto all’asse delle ascisse. (ii) Far vedere che

S = R_{−φ} ∘ S_{0} ∘ R_{φ}.

(Suggerimento: calcolare le formule per R_{φ} e per S).

(3.O) Sia l la retta di equazione parametrica

x = t ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) , t ∈ R

e sia m la retta di equazione x_{1} = 0.

(i) Trovare le formule della riflessione S rispetto ad l. (ii) Calcolare le formule della riflessione S′ rispetto ad m. (iii) Calcolare le formule della trasformazione composta

S ∘ S′.

(iv) Calcolare le formule per la trasformazione composta

S′ ∘ S.

(v) Geometricamente, che cosa fanno S ∘ S′ e S′ ∘ S? (3.P)) Sia l la retta di equazione x_{1} = 1 e sia m la retta di equazione x_{2} = 2.

(i) Calcolare le formule della riflessione S rispetto ad l. (ii) Calcolare le formule della riflessione S′ rispetto ad m. (iii) Calcolare le formule della trasformazione composta

S ∘ S′.

(iv) Calcolare le formule della trasformazione composta

S′ ∘ S.

(v) Geometricamente, che cosa fanno S ∘ S′ e S′ ∘ S?

(3.Q) Siano v = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ) e w = ( \begin{matrix}−1 \\ −1 \end{matrix} ).

(i) Calcolare l’orientazione di v e w. (ii) Calcolare l’orientazione di w e v. (iii) Sia S_{0} la riflessione rispetto all’asse delle ascisse. Calcolare Or(S_{0}(v), S_{0}(w)). (iv) Sia S_{φ} la riflessione rispetto alla retta passante per 0 e formante un angolo φ con l’asse delle

ascisse. Calcolare Or(S_{φ}(v), S_{φ}(w)).

(3.R) Siano v = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ) e w = ( \begin{matrix}−1 \\ −1 \end{matrix} ).

(i) Sia R_{π/2} la rotazione di centro 0 e angolo π/2. Calcolare Or(R_{π/2}(v), R_{π/2}(w)). (ii) Sia R_{φ} la rotazione di centro 0 e angolo φ. Calcolare Or(R_{φ}(v), R_{φ}(w)).

(3.S) Siano v = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ) e w = ( \begin{matrix}−1 \\ −1 \end{matrix} ). Siano S^{(1)}, S^{(2)}, …, S^{(t)} le riflessioni rispetto a delle rette passanti

per 0. Sia S = S^{(1)} ∘ S^{(2)} ∘ … ∘ S^{(t)}. Calcolare l’orientazione Or(S(v), S(w)).

Versione preliminare 27 settembre 1999

TOR VERGATA

II Università degli Studi di Roma

Dispense di Geometria. Capitolo 2.

4. Geometria di R^{3}.

Questo paragrafo è molto simile al paragrafo 1: tratta infatti delle proprietà geometriche elementari dello spazio R^{3}. Per assegnare delle coordinate nello spazio, fissiamo innanzitutto un punto 0, che chiamiamo l’origine. Scegliamo poi tre rette perpendicolari che si incontrano in 0: due rette “orizzontali” come assi delle x_{1} e delle x_{2}, e la terza “verticale” come asse delle x_{3}. Fissiamo su di esse un verso ed un’unità di misura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una

terna di numeri reali ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ), che indicano rispettivamente le proiezioni di P sugli assi delle x_{1}, x_{2}

e x_{3}.

Fig.1. Lo spazio R^{3}

Le coordinate x_{1}, x_{2} e x_{3} individuano il punto P in modo unico. Si possono identificare quindi i

punti P dello spazio con le terne ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ):

P = ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ).

Ad esempio, i punti sull’asse delle x_{1} sono quelli che soddisfano x_{2} = x_{3} = 0, i punti sull’asse delle x_{2} quelli che soddisfano x_{1} = x_{3} = 0 e i punti sull’asse delle x_{3} quelli che soddisfano x_{1} = x_{2} = 0.

L’origine 0 è il punto ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ). L’insieme delle terne ordinate ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) si chiama “spazio cartesiano”

e si indica con R^{3}:

R^{3} = \{( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) : x_{1}, x_{2}, x_{3} ∈ R\}.

Nello spazio R^{3}, insieme agli assi coordinati, si considerano anche i piani coordinati: sono i tre piani ortogonali che si intersecano nell’origine, ognuno dei quali contiene due dei 3 assi coordinati. Essi sono: il piano (x_{1}, x_{2}) i cui punti soddisfano x_{3} = 0, il piano (x_{2}, x_{3}) i cui punti soddisfano x_{1} = 0 ed il piano (x_{1}, x_{3}) i cui punti soddisfano x_{2} = 0.

Fig.2. I piani coordinati in R^{3}

Come nel caso del piano, indicheremo in seguito con ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) anche il vettore x uscente dall’origine e di estremo il punto ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ).

Fig.3. Il vettore x = ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ).

Il vettore 0 = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) di lunghezza zero, si chiama vettore nullo. Per semplicità di notazione, scriveremo spesso x sottointendendo x = ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ); similmente scriveremo y per ( \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix} ), etc … Definizione. Siano x e y due vettori in R^{3}. Allora la somma x + y di x e y è il vettore dato da

x + y = ( \begin{matrix}x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{matrix} ) .

Il vettore opposto del vettore x è il vettore

−x = ( \begin{matrix}−x_{1} \\ −x_{2} \\ −x_{3} \end{matrix} ) .

La differenza x − y dei vettori x e y è il vettore x − y = ( \begin{matrix}x_{1} − y_{1} \\ x_{2} − y_{2} \\ x_{3} − y_{3} \end{matrix} ) . Definizione. Sia λ ∈ R. Il prodotto di x per λ è il vettore dato da

λx = ( \begin{matrix}λx_{1} \\ λx_{2} \\ λx_{3} \end{matrix} ) .

Come nel piano, anche nello spazio la somma tra vettori ha un’interpretazione geometrica. Osserviamo che due vettori qualunque x e y in R^{3} sono contenuti in un piano π passante per 0, x e y. Il vettore somma x + y si trova applicando la regola del parallelogramma ai vettori x e y sul piano π. Per costruzione, x + y è contenuto nel piano π. Resta solo da verificare che le coordinate di x + y così ottenute sono effettivamente

( \begin{matrix}x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{matrix} ) .

Anche in R^{3}, il vettore differenza x − y è paralello alla retta passante per x e y; la lunghezza di x − y è uguale alla distanza fra x e y.

Fig.4. La somma x + y, la differenza x − y.

Osservazione. La costruzione appena discussa è utile perché riconduce la somma di vettori nello spazio ad una somma di vettori sul piano. Ci permette inoltre di definire l’angolo ϑ fra due vettori x e y dello spazio, come l’angolo da essi formato nel piano π che li contiene. Nel caso in cui x e y sono uno multiplo dell’altro, il piano π non è unico ed i vettori x, y, x + y, x − y stanno tutti sulla stessa retta. In questo caso, l’angolo fra x e y è ϑ = 0.

Fig.5 L’angolo ϑ fra x e y.

La somma fra vettori gode delle seguenti proprietà:

Proposizione 4.1.

(i) (Proprietà associativa della somma) Per ogni x, y, z ∈ R^{3}

(x + y) + z = x + (y + z); (ii) (Proprietà commutativa) Per ogni x, y ∈ R^{3}

x + y = y + x;

(iii) (Proprietà associativa del prodotto) Per ogni x ∈ R^{3} e λ, μ ∈ R

λ(μx) = (λμ)x;

(iv) (Proprietà distributiva) Per ogni x, y ∈ R^{3} e λ, μ ∈ R

\begin{aligned}λ(x + y) & = λx + λy, \\ (λ + μ)x & = λx + μx. \end{aligned}

Dimostrazione. Anche in questo caso, le proprietà (i), (ii), (iii) e (iv) sono semplici conseguenze delle analoghe proprietà dei numeri reali.

Definizione. (Prodotto scalare.) Dati due vettori x e y in R^{3} il prodotto scalare x · y è il numero reale dato da

x · y = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + x_{3}y_{3}.

Il prodotto scalare gode delle seguenti proprietà

Proposizione 4.2.

(i) (Proprietà commutativa) Per ogni x, y ∈ R^{3}

x · y = y · x;

(ii) (Proprietà distributiva) Per ogni x, y, z ∈ R^{3}

x · (y + z) = x · y + x · z;

(iii) (Omogeneità) Per ogni x, y ∈ R^{3} ed ogni λ ∈ R

λ(x · y) = (λx) · y = x · (λy);

(iv) (Positività) Per ogni x ∈ R^{3}

x · x ≥ 0,
x · x = 0 se e soltanto se x = 0.

Dimostrazione. La dimostrazione è molto simile a quella della Prop.1.2 ed è lasciata al lettore.

Definizione. La norma ||x|| di un vettore x ∈ R^{3} è definita da

||x|| = \sqrt{x · x} = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}}.

Per il Teorema di Pitagora, la norma del vettore x è uguale alla lunghezza del segmento congiungente

( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) e ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ). Equivalentemente, la norma di x è la distanza del punto ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) dall’origine ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ).

Fig.6. Il Teorema di Pitagora in R^{3}.

Analogamente, dalla Fig.4 vediamo che ||x − y|| è la distanza fra i punti ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) e ( \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix} ). Usando

la norma, diamo un’interpretazione geometrica del prodotto scalare.

Proposizione 4.3. Siano x e y due vettori in R^{3}.

(i) Allora

x · y = ||x||||y|| cos φ

dove φ è l’angolo fra i vettori x e y. (ii) I vettori x e y sono perpendicolari se e soltanto se x · y = 0.

Dimostrazione. Sia π un piano che passa per 0, x e y. Consideriamo in π il triangolo di vertici i punti 0, x e y. Dalla Fig.4, vediamo che i lati del triangolo hanno lunghezze ||x||, ||y|| e ||x − y||. Applicando la regola del coseno troviamo

||x − y||^{2} = ||x||^{2} + ||y||^{2} − 2||x||||y|| cos φ.

Dalla definizione stessa della norma abbiamo

(x_{1} − y_{1})^{2} + (x_{2} − y_{2})^{2} + (x_{3} − y_{3})^{2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2} − 2||x||||y|| cos φ

e quindi

−2x_{1}y_{1} − 2x_{2}y_{2} − 2x_{3}y_{3} = −2||x||||y|| cos φ

come richiesto. Per la parte (ii), osserviamo che cos φ = 0 se e soltanto se φ = ±π/2, cioè se e soltanto se φ è un angolo retto.

Corollario 4.4. (Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz). Siano x e y vettori in R^{3}. Allora

|x · y| ≤ ||x||||y||.

Dimostrazione. Questo segue dal fatto che | cos φ| ≤ 1. (Vedi l’Eserc.1.B).

Proposizione 4.5. Siano x e y vettori in R^{3}. Allora

(i) (Disugualianza triangolare)

||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||;

(ii) Per ogni λ ∈ R

||λx|| = |λ| · ||x||.

Dimostrazione. (i) Sia π un piano che passa per 0, x e y. In π c’è il triangolo di vertici 0, x e x + y. Poiché i lati hanno lunghezze ||x||, ||y|| e ||x + y||, la disuguaglianza triangolare in R^{3} segue dalla disuguaglianza triangolare nel piano. Una seconda dimostrazione dello stesso fatto si può ottenere anche usando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz del Cor.4.4:

||x + y||^{2} = (x_{1} + y_{1})^{2} + (x_{2} + y_{2})^{2} + (x_{3} + y_{3})^{2}
= x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2} + 2(x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + x_{3}y_{3})
= ||x||^{2} + ||y||^{2} + 2 x · y,
≤ ||x||^{2} + ||y||^{2} + 2||x||||y|| = (||x|| + ||y||)^{2}.

Poiché ||x+y|| e ||x||+||y|| sono numeri non negativi, possiamo estrarne le radici quadrate ottenendo la disuguaglianza cercata. (ii) Direttamente dalla definizione della norma troviamo

||λx||^{2} = (λx_{1})^{2} + (λx_{2})^{2} + (λx_{3})^{2} = λ^{2}(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}) = λ^{2}||x||^{2}.

Estraendo le radici quadrate, otteniamo

||λx|| = |λ|||x||

come richiesto.

Come applicazione del prodotto scalare, calcoliamo le proiezioni ortogonali di un vettore x ∈ R^{3} su una retta l o su un piano β, passanti per l’origine.

Proposizione 4.6. Sia x un vettore in R^{3}.

(i) La proiezione ortogonale π(x) di x sulla retta l passante per l’origine e parallela al vettore

y ≠ 0 è data da

π(x) = cy, ove c = \frac{x · y}{||y||^{2}} ;

(ii) La proiezione ortogonale π(x) di x sul piano β passante per l’origine di equazione n · x = 0 è

data da

π(x) = x − λn, ove λ = \frac{n · x}{n · n}.

Dimostrazione. (i) La dimostrazione è del tutto simile a quella della Proposizione 1.6 ed è lasciata al lettore. (ii) Sia π(x) la proiezione ortogonale di x sul piano β. Allora x − π(x) è un vettore perpendicolare a β e dunque soddisfa

x − π(x) = λn

per un opportuno scalare λ. Poiché π(x) appartiene a β vale n·π(x) = 0, da cui si ricava λn·n = n·x e quindi

λ = \frac{n · x}{n · n}

come richiesto.

Fig.7. La proiezione del vettore x sul piano β.

Introduciamo adesso il prodotto vettoriale in R^{3}: si noti che il prodotto vettoriale non è definito nel piano R^{2}, né in R^{n} per n > 3. È una nozione che esiste solo in R^{3}. Il prodotto vettoriale è un’applicazione che ad una coppia di vettori x, y ∈ R^{3} associa un terzo vettore x × y ∈ R^{3}.

Definizione. Siano x, y ∈ R^{3}. Il prodotto vettoriale x × y di x e y è il vettore di R^{3} definito da

x × y = ( \begin{matrix}x_{2}y_{3} − x_{3}y_{2} \\ x_{3}y_{1} − x_{1}y_{3} \\ x_{1}y_{2} − x_{2}y_{1} \end{matrix} ) .

Proposizione 4.7. Siano x, y ∈ R^{3}. Il prodotto vettoriale x × y gode delle seguenti proprietà: (i)

y × x = −x × y;

(ii) Il vettore x × y è perpendicolare sia ad x che a y:

\begin{aligned}x · (x × y) & = 0, \\ y · (x × y) & = 0; \end{aligned}

(iii) La norma di x × y soddisfa

||x × y|| = ||x||||y||| sen φ|,

dove φ è l’angolo fra x e y.

Dimostrazione. (i) Direttamente dalla definizione, abbiamo

y × x = ( \begin{matrix}y_{2}x_{3} − y_{3}x_{2} \\ y_{3}x_{1} − y_{1}x_{3} \\ y_{1}x_{2} − y_{2}x_{1} \end{matrix} ) = −x × y.

Per dimostrare (ii), calcoliamo

\begin{aligned}x · (x × y) & = ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}x_{2}y_{3} − x_{3}y_{2} \\ x_{3}y_{1} − x_{1}y_{3} \\ x_{1}y_{2} − x_{2}y_{1} \end{matrix} ) \\ & = x_{1}(x_{2}y_{3} − x_{3}y_{2}) + x_{2}(x_{3}y_{1} − x_{1}y_{3}) + x_{3}(x_{1}y_{2} − x_{2}y_{1}) = 0. \end{aligned}

Similmente troviamo y · (x × y) = 0. Per la parte (iii) abbiamo

||x||^{2}||y||^{2} sen^{2} φ = ||x||^{2}||y||^{2}(1 − cos^{2} φ)
= ||x||^{2}||y||^{2} − (x · y)^{2}
= (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2})(y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2}) − (x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + x_{3}y_{3})^{2}

= x_{1}^{2}y_{2}^{2} + x_{1}^{2}y_{3}^{2} + x_{2}^{2}y_{1}^{2} + x_{2}^{2}y_{3}^{2} + x_{3}^{2}y_{1}^{2} + x_{3}^{2}y_{2}^{2} − 2x_{1}x_{2}y_{1}y_{2} − 2x_{1}x_{3}y_{1}y_{3} − 2x_{2}x_{3}y_{2}y_{3}

= (x_{1}y_{2} − x_{2}y_{1})^{2} + (x_{1}y_{3} − x_{3}y_{1})^{2} + (x_{2}y_{3} − x_{3}y_{2})^{2}
= ||x × y||^{2}.

Estraendo le radici quadrate, troviamo l’uguaglianza cercata. Questo conclude la dimostrazione della proposizione.

Proposizione 4.8. Il parallelepipedo di spigoli i vettori x, y e z ha volume V dato da

\begin{aligned}V & = |x_{1}y_{2}z_{3} + y_{1}z_{2}x_{3} + z_{1}x_{2}y_{3} − x_{1}z_{2}y_{3} − y_{1}x_{2}z_{3} − z_{1}y_{2}x_{3}| \\ & = |det ( \begin{matrix}x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \\ x_{3} & y_{3} & z_{3} \end{matrix} )| . \end{aligned}

Dimostrazione. Il volume V del parallelepipedo di spigoli x, y e z è uguale all’area del parallelogramma di vertici 0, x, y e x + y moltiplicata per l’altezza. L’altezza è uguale alla lunghezza della proiezione del vettore z sulla retta che passa per 0 e x × y.

Fig.8. Il parallelepipedo di spigoli x, y e z.

Per la Prop.1.7, l’area del parallelogramma è uguale a ||x||||y||| sen φ|, ove φ è l’angolo fra i vettori x e y, e la lunghezza della proiezione di z sulla retta per 0 e x × y è uguale a ||z||| cos ϑ|, ove ϑ è l’angolo fra i vettori z e x × y. Il volume V è quindi dato da

V = ||x||||y||| sen φ|||z||| cos ϑ|
= ||x × y||||z||| cos ϑ|
= ||z · (x × y)||
= |z_{1}(x_{2}y_{3} − x_{3}y_{2}) + z_{2}(x_{3}y_{1} − x_{1}y_{3}) + z_{3}(x_{1}y_{2} − x_{2}y_{1})|.

Osserviamo infine che l’espressione z_{1}(x_{2}y_{3} − x_{3}y_{2}) + z_{2}(x_{3}y_{1} − x_{1}y_{3}) + z_{3}(x_{1}y_{2} − x_{2}y_{1}) coincide col determinante della matrice

( \begin{matrix}x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \\ x_{3} & y_{3} & z_{3} \end{matrix} ) ,

e ciò completa la dimostrazione della Proposizione.

Definizione. L’orientazione Or(x, y, z) di tre vettori x, y, z ∈ R^{3} è il segno del determinante

det ( \begin{matrix}x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \\ x_{3} & y_{3} & z_{3} \end{matrix} ) .

Si dice che x, y, z sono orientati positivamente se Or(x, y, z) > 0.

Per esempio, i vettori e_{1}, e_{2} e e_{3} sono orientati positivamente perchè

det ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) = 1 + 0 + 0 − 0 − 0 − 0 = 1.

Scambiare due vettori cambia il segno dell’orientazione:

Or(y, x, z) = −Or(x, y, z).

Geometricamente, tre vettori x, y e z sono orientati positivamente se possono essere identificati rispettivamente con il medio, il pollice e l’indice della mano destra. Altrimenti sono orientati negativamente e possono essere identificati rispettivamente con il medio, il pollice e l’indice della mano sinistra.

Mano sinistra; Or(x, y, z) = −1.  Mano destra; Or(x, y, z) = +1.

Fig.9. L’orientazione.

Osservazione. I vettori {x, y e x × y} formano una terna di vettori orientata positivamente.

Esercizi.

(4.A) Siano x = ( \begin{matrix}1 \\ −2 \\ 3 \end{matrix} ) e y = ( \begin{matrix}2 \\ −1 \\ 3 \end{matrix} ) due vettori in R^{3}.

(i) Calcolare x − y, x + 3y e −2x + y. (ii) Calcolare le lunghezze di questi vettori.

(4.B) Siano x e y i vettori dell’Eserc.4.A. (i) Calcolare i prodotti scalari x · y, x · x e anche x · (5x + 7y). (ii) Calcolare il coseno dell’angolo fra x e y. (iii) Calcolare il coseno dell’angolo fra x e x + y.

(4.C) Sia x il vettore dell’Eserc.4.A. (i) Trovare un vettore v ≠ 0 tale che v · x = 0. (ii) Trovare un vettore w ≠ 0 tale che

\{ \begin{matrix}x · w & =0, \\ v · w & =0. \end{matrix}

(4.D) Sia v ∈ R^{3} un vettore non nullo. Sia λ = ||v||. (i) Calcolare la lunghezza di \frac{1}{λ} v. (ii) Trovare un vettore parallelo a v che abbia lunghezza 1/λ.

(4.E) Siano x e y due vettori in R^{3}. Sia

v = ( \begin{matrix}(x_{1} + y_{1})/2 \\ (x_{2} + y_{2})/2 \\ (x_{3} + y_{3})/2 \end{matrix} ) .

(i) Calcolare le distanze ||x − y||, ||x − v|| e ||y − v||. (ii) Far vedere che v è il punto medio fra x e y.

(4.F) Siano x e y i due vettori dell’Eserc.4.A. (i) Calcolare x × y. (ii) Calcolare x × (−y). (iii) Calcolare l’area del triangolo di vertici 0, x e y.

(4.G) Siano x = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) e y = ( \begin{matrix}0 \\ 2 \\ −1 \end{matrix} ).

(i) Trovare un vettore v perpendicolare sia a x che a y. (ii) Trovare un vettore come nella parte (i), di lunghezza 1.

(4.H) Siano x, y e z i vettori

( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ −2 \\ 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}3 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} ) .

(i) Calcolare il volume del parallelepipedo che ha come spigoli i vettori x, y e z. (ii) Calcolare il volume del parallelepipedo che ha come spigoli i vettori 2x, y e z. (iii) Calcolare il volume del parallelepipedo che ha come spigoli i vettori x + y, y e z. (iv) Calcolare il volume del parallelepipedo che ha come spigoli i vettori x + 5y + 7z, y e z.

(4.I) Siano x, y e z i vettori in R^{3} dati da

( \begin{matrix}6 \\ −2 \\ 3 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−2 \\ 3 \\ 6 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}3 \\ 6 \\ −2 \end{matrix} ) .

(i) Calcolare le lunghezze di x, y e z e gli angoli fra x, y e z. (ii) Calcolare il volume del parallelepipedo che ha come spigoli i vettori x + 5y + 7z, y e z.

(4.J) Siano x = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ −2 \end{matrix} ) e y = ( \begin{matrix}0 \\ −1 \\ 3 \end{matrix} ) e z = ( \begin{matrix}−1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ).

(i) Calcolare i vettori (x × y) × z ed x × (y × z). (ii) Calcolare (x × y) · z ed x · (y × z).

(4.K) Siano x, y e z i vettori dell’Eserc.4.H. (i) Calcolare l’orientazione Or(x, y, z). (ii) Calcolare l’orientazione Or(y, z, x). (iii) Calcolare l’orientazione Or(x, y, x + y).

(4.L) Siano x_{1}, x_{2}, …, x_{8} ∈ R^{3} gli otto punti in R^{3} dati da

x_{1} = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , x_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , x_{3} = ( \begin{matrix}−2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , x_{4} = ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )

x_{5} = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 5 \end{matrix} ) , x_{6} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 5 \end{matrix} ) , x_{7} = ( \begin{matrix}−2 \\ 1 \\ 5 \end{matrix} ) , x_{8} = ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 5 \end{matrix} ) .

(i) Far vedere che x_{1}, x_{2}, x_{3} e x_{4} sono i vertici di un parallelogramma. (ii) Far vedere che x_{i} + x_{5} = x_{i+4} per ogni i, 1 ≤ i ≤ 4. (iii) Far vedere che x_{1}, …, x_{8} formano i vertici di un parallelepipedo. Calcolarne il volume.

(4.M) Siano x, y, z ∈ R^{3} e supponiamo che Or(x, y, z) = +1.

(i) Far vedere che i vettori x, y e z si possono mettere in ordine in sei modi diversi: x, z, y oppure z, x, y ecc.

(ii) Per tutti i sei modi calcolare l’orientazione: Or(x, z, y), Or(z, x, y) … ecc.

(4.N) Siano α, β, γ ∈ R numeri non nulli che soddisfano α + β + γ = 0. Consideriamo i seguenti vettori in R^{3}:

p = ( \begin{matrix}αβ \\ βγ \\ γα \end{matrix} ) , q = ( \begin{matrix}βγ \\ γα \\ αβ \end{matrix} ) , r = ( \begin{matrix}γα \\ αβ \\ βγ \end{matrix} ) .

(i) Calcolare gli angoli fra i vettori p, q e r. (ii) Calcolare il volume del parallelepipedo che ha come spigoli i vettori p, q e r.

5. Rette e piani in R^{3}; sfere.

In questo paragrafo studiamo le rette, i piani e le sfere in R^{3}. Ci sono due modi per descrivere piani e rette in R^{3}: mediante equazioni cartesiane oppure mediante equazioni parametriche. Cominciamo con le equazioni parametriche delle rette. La situazione è molto simile a quella in R^{2}. Un’equazione parametrica di una retta in R^{3} ha la forma

( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}p_{1} + tv_{1} \\ p_{2} + tv_{2} \\ p_{3} + tv_{3} \end{matrix} ) , t ∈ R,

ossia

x = p + tv, t ∈ R,

ponendo come al solito x = ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ), p = ( \begin{matrix}p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix} ) e v = ( \begin{matrix}v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix} ) . Il vettore v ≠ 0 è un vettore

parallelo alla retta e il punto p è un punto sulla retta. Al variare del parametro t ∈ R vengono

descritti tutti i punti della retta: il punto p corrisponde a t = 0. Ad esempio, al punto p = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )

ed al vettore v = ( \begin{matrix}3 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} ) corrisponde la retta

x = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}3 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} ) , t ∈ R.

Fig.10. La retta x = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}3 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} ).

Per t = 0, t = 1 e t = −1/3 troviamo rispettivamente i punti della retta

x = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , x = ( \begin{matrix}4 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} ) , x = ( \begin{matrix}0 \\ 1/3 \\ 0 \end{matrix} ) .

Come nel caso di R^{2} due equazioni parametriche distinte possono descrivere la stessa retta: se p′ è un altro punto sulla retta e v′ è un vettore parallelo a v, le equazioni

x = p + tv, t ∈ R x = p′ + sv′, s ∈ R

descrivono la stessa retta.

Similmente si hanno equazioni parametriche per i piani in R^{3}. Un’equazione parametrica di un piano in R^{3} ha la forma

( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix} ) + s ( \begin{matrix}w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}p_{1} + tv_{1} + sw_{1} \\ p_{2} + tv_{2} + sw_{2} \\ p_{3} + tv_{3} + sw_{3} \end{matrix} ) , t, s ∈ R,

ossia

x = p + tv + sw, t, s ∈ R,

ponendo come al solito x = ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ), p = ( \begin{matrix}p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix} ), v = ( \begin{matrix}v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix} ), w = ( \begin{matrix}w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{matrix} ) . Il punto p è un

punto del piano, i vettori v ≠ 0 e w ≠ 0 sono vettori paralleli al piano. Per ottenere effettivamente un piano è necessario che v e w, oltre ad essere non nulli, non siano uno multiplo dell’altro, cioè v ≠ λw. Al variare dei parametri t ed s ∈ R vengono descritti tutti i punti del piano: il punto p

corrisponde a t = s = 0. Ad esempio, per p = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ), v = ( \begin{matrix}3 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} ) e w = ( \begin{matrix}−1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) troviamo il piano

x = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}3 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} ) + s ( \begin{matrix}−1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , t, s ∈ R.

Fig.11. Il piano x = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}3 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} ) + s ( \begin{matrix}−1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ).

Assegnando ai parametri i valori t = s = 0, oppure t = 1, s = 0, oppure t = −1/3, s = −2 si trovano rispettivamente i punti del piano

x = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , x = ( \begin{matrix}4 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} ) , x = ( \begin{matrix}2 \\ 1/3 \\ −1 \end{matrix} ) .

Anche in questo caso, due equazioni parametriche distinte possono descrivere lo stesso piano: se p′ è un altro punto del piano e v′, w′ sono vettori tali che span{v′, w′} = span{v, w}, allora

x = p′ + t′v′ + s′w′, t′, s′ ∈ R

è un’altra equazione dello stesso piano.

Le rette ed i piani nello spazio si possono anche rappresentare mediante equazioni cartesiane. I punti x ∈ R^{3} che soddisfano un’equazione lineare

ax_{1} + bx_{2} + cx_{3} = d,  (∗)

dove a, b, c, d ∈ R ed a, b, c non sono tutti nulli, formano un piano. Questo si vede facilmente “risolvendo il sistema lineare” di una sola equazione in tre incognite (*). Le soluzioni dipendono da due parametri liberi. Per esempio, risolvendo l’equazione x_{2} + 2x_{3} = 4 possiamo scegliere come parametri liberi x_{1} e x_{3}. Se chiamiamo x_{1} = s ed x_{3} = t, allora x_{2} = 4 − 2x_{3} = 4 − 2t e troviamo il piano di equazione parametrica

( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}s \\ 4 − 2t \\ t \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 4 \\ 0 \end{matrix} ) + s ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}0 \\ −2 \\ 1 \end{matrix} ) .

L’equazione cartesiana di un piano non è unica. Se λ è un numero reale non nullo, le equazioni

ax_{1} + bx_{2} + cx_{3} = d e λax_{1} + λbx_{2} + λcx_{3} = λd

definiscono lo stesso piano.

Definizione. Un vettore normale ad un piano è un vettore n ≠ 0 che è perpendicolare al piano.

Proposizione 5.1. Sia π il piano di equazione cartesiana

ax_{1} + bx_{2} + cx_{3} = d.

Allora, il vettore n = ( \begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix} ) è un vettore normale a π.

Dimostrazione. Notiamo che n = ( \begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix} ) non è zero perchè a, b, c non sono tutti nulli. Controlliamo

che n è perpendicolare al piano. Dati due punti distinti x e y del piano, il vettore x − y è parallelo al piano. Calcolando

\begin{aligned}(x − y) · n & = ( \begin{matrix}x_{1} − y_{1} \\ x_{2} − y_{2} \\ x_{3} − y_{3} \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix} ) = (x_{1} − y_{1})a + (x_{2} − y_{2})b + (x_{3} − y_{3})c \\ & = (ax_{1} + bx_{2} + cx_{3}) − (ay_{1} + by_{2} + cy_{3}) = d − d = 0 \end{aligned}

troviamo che, per ogni x, y ∈ π, il prodotto scalare (x − y) · n è zero. Poiché tutti i vettori paralleli al piano π sono di questa forma, si ha che n è perpendicolare a π, come richiesto.

Fig.12. x − y è parallelo al piano.

Osservazione. Se

ax + by + cz = d e x = p + tv + sw, t, s ∈ R

sono rispettivamente un’equazione cartesiana ed un’equazione parametrica dello stesso piano, allora

il vettore normale n = ( \begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix} ) è perpendicolare ai vettori v e w.

I punti di R^{3} che soddisfano un sistema lineare di due equazioni in tre incognite

\{ \begin{matrix}ax_{1} & + & bx_{2} & + & cx_{3} & = & d \\ a′x_{1} & + & b′x_{2} & + & c′x_{3} & = & d′, \end{matrix}  (∗∗)

ove le terne a, b, c e a′, b′, c′ sono entrambe non nulle, sono precisamente i punti contenuti sia nel piano di equazione ax_{1} + bx_{2} + cx_{3} = d che nel piano di equazione a′x_{1} + b′x_{2} + c′x_{3} = d′.

Quando l’intersezione dei due piani è una retta, si dice che le equazioni del sistema sono equazioni cartesiane per la retta. Per esempio, i punti x ∈ R^{3} tali che

\{ \begin{matrix}x_{1} & − & 2x_{2} & + & 3x_{3} & = & 1 \\ & & 2x_{2} & + & x_{3} & = & 4 \end{matrix}

formano una retta in R^{3}. Poiché il sistema è già “a scala”, ponendo x_{3} = s come parametro libero, ricaviamo x_{2} = (4 − x_{3})/2 = 2 − s/2 ed x_{1} = 1 − 3s + 2(2 − s/2) = 5 − 4s. Troviamo così la retta

x = ( \begin{matrix}5 − 4s \\ 2 − s/2 \\ s \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}5 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} ) + s ( \begin{matrix}−4 \\ −1/2 \\ 1 \end{matrix} ) , t ∈ R.

Come si intuisce facilmente, le equazioni cartesiane di una retta non sono uniche: ci sono infatti infinite coppie di piani che si incontrano in una data retta.

Proposizione 5.2. Siano

\{ \begin{matrix}ax_{1} & + & bx_{2} & + & cx_{3} & = & d \\ a′x_{1} & + & b′x_{2} & + & c′x_{3} & = & d′, \end{matrix}

equazioni cartesiane di una retta r in R^{3}. Allora i vettori n = ( \begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix} ) ed n′ = ( \begin{matrix}a′ \\ b′ \\ c′ \end{matrix} ) generano un

piano ν perpendicolare ad r.

Dimostrazione. Poiché la retta r è contenuta sia nel piano di equazione ax_{1} + bx_{2} + cx_{3} = d che in quello di equazione a′x_{1} + b′x_{2} + c′x_{3} = d′, essa è ortogonale sia ad n che a n′. Sia x un generico punto di r. Poiché

x · (tn + sn′) = tx · n + sx · n′ = 0, per ogni s, t ∈ R

si ha che la retta r è perpendicolare a ν come richiesto.

Osservazione. Come conseguenza della Proposizione 5.2, il prodotto vettoriale n × n′ definisce un vettore parallelo ad r.

Abbiamo visto i due modi per descrivere rette e piani in R^{3}. Abbiamo spiegato come passare da equazioni cartesiane ad equazioni parametriche. Vediamo adesso, mediante esempi espliciti, come passare da equazioni parametriche ad equazioni cartesiane.

Esempio 5.3. Sia l la retta data da

x = ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} ) + s ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ −2 \end{matrix} ) , s ∈ R.

Per trovare delle equazioni cartesiane di l, eliminiamo il parametro s dal sistema

\{ \begin{matrix}x_{1} = & 1 & + & 2s \\ x_{2} = & −1 & + & s \\ x_{3} = & & − & 2s. \end{matrix}

Il parametro s si può eliminare in diversi modi. Ricavando ad esempio s dalla seconda equazione, troviamo s = x_{2} + 1, che sostituito nelle altre due equazioni, ci dà:

\{ \begin{matrix}x_{1} & = & 1 & + & 2(x_{2} + 1) & = & 2x_{2} + 3 \\ x_{3} & = & & − & 2(x_{2} + 1) & = & −2x_{2} − 2. \end{matrix}

Queste sono delle equazioni cartesiane della retta l.

Esempio 5.4. Sia π il piano di equazione parametrica

x = ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} ) + s ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ −2 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} ) , s, t ∈ R.

Per scrivere un’equazione cartesiana

ax_{1} + bx_{2} + cx_{3} = d

di π abbiamo bisogno innanzitutto di un vettore n = ( \begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix} ) ortogonale a π ed, in particolare,

ortogonale a v = ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ −2 \end{matrix} ) e w = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} ). Le coordinate di n devono dunque soddisfare le condizioni

\begin{aligned}n · v & = ( \begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix} ) . ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ −2 \end{matrix} ) = 2a + b − 2c = 0, \\ n · w & = ( \begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix} ) . ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} ) = b + 2c = 0, \end{aligned}

ossia il sistema lineare

\{ \begin{matrix}2a & + & b & − & 2c & = & 0 \\ & & b & + & 2c & = & 0. \end{matrix}

Poiché il sistema è a scala, possiamo ricavare b = −2c ed a = (2c − b)/2 = (2c + 2c)/2 = 2c in funzione del parametro libero c, cosicché

( \begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2c \\ −2c \\ c \end{matrix} ) = c ( \begin{matrix}2 \\ −2 \\ 1 \end{matrix} ) , c ∈ R.

Ponendo ad esempio c = 1, troviamo n = ( \begin{matrix}2 \\ −2 \\ 1 \end{matrix} ). Determiniamo infine il termine noto d sos-

tituendo nell’equazione un punto del piano. Usando per esempio il punto p = ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} ) dell’equazione

parametrica, troviamo 2 · 1 − 2 · (−1) + 0 = d e quindi d = 4. L’equazione cercata è

2x_{1} − 2x_{2} + x_{3} = 4.

Osservazione. Un altro modo per ottenere il vettore n è quello di calcolare il prodotto vettoriale dei vettori v e w

n = v × w = ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ −2 \end{matrix} ) × ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}4 \\ −4 \\ 2 \end{matrix} ) .

Esempio 5.5. (piano per 3 punti) Come determinare il piano π passante per tre punti dati in R^{3}? C’è da osservare che il piano è unico se e solo se i tre punti non stanno sulla stessa retta. Siano dati, per esempio,

p = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) ,  q = ( \begin{matrix}0 \\ 2 \\ −2 \end{matrix} ) ,  r = ( \begin{matrix}−2 \\ 0 \\ 3 \end{matrix} ) .

Allora i vettori v = p − q e w = p − r dati da

v = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}0 \\ 2 \\ −2 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} ) , w = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}−2 \\ 0 \\ 3 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}3 \\ 1 \\ −4 \end{matrix} )

sono lineramente indipendenti e paralleli al piano π cercato. Un’equazione parametrica di π è data dunque da x = p + tv + sw, per s, t ∈ R, ossia

x = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) + s ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}3 \\ 1 \\ −4 \end{matrix} ) , s, t ∈ R.

Esempio 5.6 (Intersezioni)

1. Siano dati due piani π_{1} e π_{2}. Come calcolare l’intersezione π_{1} ∩ π_{2}? Se π_{1} e π_{2} sono dati mediante equazioni cartesiane, c’è da risolvere un sistema lineare di due equazioni nelle tre incognite x_{1}, x_{2}, x_{3}. Se l’intersezione di due piani non è una retta, ci sono due possibilità:

– i due piani sono paralleli. Questo corrisponde al caso in cui il sistema corrispondente non ha soluzioni. Ad esempio, il sistema

\{ \begin{matrix}x_{1} & − & 2x_{2} & + & x_{3} & = & 1 \\ 2x_{1} & − & 4x_{2} & + & 2x_{3} & = & 3 \end{matrix}

è incompatibile e i due piani x_{1} − 2x_{2} + x_{3} = 1 e 2x_{1} − 4x_{2} + 2x_{3} = 3 sono paralleli.

– I due piani coincidono. Questo corrisponde al caso in cui le equazioni del sistema corrispondente hanno esattamente le stesse soluzioni, dipendenti da due parametri liberi. Per esempio, il sistema

\{ \begin{matrix}x_{1} & − & 2x_{2} & + & x_{3} & = & 1 \\ 2x_{1} & − & 4x_{2} & + & 2x_{3} & = & 2 \end{matrix}

è equivalente al sistema “a scala”

\{ \begin{matrix}x_{1} & − & 2x_{2} & + & x_{3} & = & 1 \\ & & & & 0 & = & 0 \end{matrix}

le cui soluzioni hanno x_{2} ed x_{3} come parametri liberi. Se uno dei due piani è dato in forma parametrica, ci si può ricondurre al caso di due equazioni cartesiane con i metodi sopra esposti. Per esempio, sia π_{1} il piano di equazione

x_{1} + 2x_{3} = 2

e sia π_{2} il piano dato da

x = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) + s ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , s, t ∈ R.

Allora un vettore normale a π_{2} è dato da ( \begin{matrix}−2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} ) , per cui un’equazione cartesiana di π_{2} è

−2x_{1} + 2x_{2} + x_{3} = −1.

Per calcolare l’intersezione dei due piani, risolviamo il sistema lineare

\{ \begin{matrix}x_{1} & + & & + & 2x_{3} & = & 2 \\ −2x_{1} & + & 2x_{2} & + & x_{3} & = & −1. \end{matrix}

Sommando due volte la prima equazione alla seconda, troviamo il sistema “a scala”

\{ \begin{matrix}x_{1} & + & & + & 2x_{3} & = & 2 \\ & & 2x_{2} & + & 5x_{3} & = & 3. \end{matrix}

Ponendo x_{3} = s come parametro libero, ricaviamo x_{2} = (3−5s)/2 = 3/2−5s/2 ed x_{1} = 2−2s. In conclusione, l’intersezione è una retta di equazione parametrica

x = ( \begin{matrix}2 − 2s \\ 3/2 − 5/2 · s \\ s \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2 \\ 3/2 \\ 0 \end{matrix} ) + s ( \begin{matrix}−2 \\ −5/2 \\ 1 \end{matrix} ) , s ∈ R.

2. Sia π un piano in R^{3} dato in forma cartesiana e sia l una retta in forma parametrica. La loro intersezione consiste nei punti della retta l che soddisfano l’equazione di π. Per esempio, sia π il piano di equazione 2x_{1} − 3x_{3} = 1 e sia l la retta data da

x = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) + s ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , s ∈ R.

Allora un punto x della retta l è contenuto in π se e soltanto se

2(1 + 2s) + 0(1 + 5) − 3(−1 + s) = 1,

cioè se e solo se s = −4. Questo valore di s corrisponde all’unico punto di intersezione ( \begin{matrix}−7 \\ −3 \\ −5 \end{matrix} ).

Può succedere che la retta sia paralella a π oppure contenuta in π. Nel primo caso nessun punto della retta soddisfa l’equazione del piano, nel secondo la soddisfano tutti.

3. Siano l ed m due rette in R^{3}. Ci sono tre possibilità: le rette si intersecano in un punto, le rette coincidono, le rette sono parallele oppure sono “sghembe”. Due rette sono sghembe se non hanno punti in comune e non sono parallele.

Fig.13. Due rette sghembe.

Consideriamo, ad esempio, le rette l ed m di equazioni parametriche

x = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) + s ( \begin{matrix}0 \\ −1 \\ 2 \end{matrix} ) , s ∈ R, x = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , t ∈ R.

Le rette l ed m non sono parallele. Per trovare l’intersezione di l ed m poniamo

x = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) + s ( \begin{matrix}0 \\ −1 \\ 2 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )

e risolviamo il sistema lineare di tre equazioni nelle incognite s e t. Si verifica facilmente che il sistema non ha soluzioni e le due rette sono sghembe.

Lasciamo al lettore il compito di trovare metodi per calcolare l’intersezione di due rette l ed m quando non sono date entrambe in forma parametrica. Il principio è sempre quello di trovare i punti che soddisfano sia le equazioni di l che quelle di m. Alla fine ci si riconduce sempre a risolvere un sistema lineare.

Teorema 5.7. Sia p un punto in R^{3} e sia π il piano di equazione

ax_{1} + bx_{2} + cx_{3} + d = 0.

Allora, la distanza di p dal piano π è data da

\frac{|ap_{1} + bp_{2} + cp_{3} + d|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}.

Dimostrazione. Poiché n = ( \begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix} ) è un vettore normale a π, la retta l perpendicolare a π e

passante per p ha equazione parametrica

x = ( \begin{matrix}p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix} ) + s ( \begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix} ) , s ∈ R.

Per calcolare il punto di intersezione q fra l e π, sostituiamo il punto generico di l nell’equazione del piano

a(p_{1} + sa) + b(p_{2} + sb) + c(p_{3} + sc) + d = 0

e ricaviamo s

s = −\frac{ap_{1} + bp_{2} + cp_{3} + d}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.

Il punto q corrispondente è:

q = ( \begin{matrix}p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix} ) − \frac{ap_{1} + bp_{2} + cp_{3} + d}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} ( \begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix} ) .

La distanza fra p e il piano π è uguale alla distanza fra p e q

d(p, π) = d(p, q) = ||\frac{ap_{1} + bp_{2} + cp_{3} + d}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} ( \begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix} ) || = \frac{|ap_{1} + bp_{2} + cp_{3} + d|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}

come richiesto.

Esempio 5.8. (distanza fra due rette sghembe) Come calcolare la distanza fra due rette sghembe l ed m in R^{3}? Un metodo è quello di calcolare un’equazione cartesiana di un piano π che passa per una delle due rette ed è parallelo all’altra. Dopodiché la distanza d(l, m) è uguale alla distanza fra π e un qualsiasi punto dell’altra retta. Per esempio, siano l ed m le rette date da

l : \{ \begin{matrix}x_{1} & − & 2x_{2} & & & = & 1 \\ 2x_{1} & + & x_{2} & − & x_{3} & = & 0 \end{matrix}  m : x = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) + s ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) ,  s ∈ R.

Per trovare un’equazione parametrica del piano π contenente m e parallelo ad l, calcoliamo prima un’equazione parametrica di l:

l : x = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 5 \end{matrix} ) , t ∈ R.

Il piano π ha vettore normale n = ( \begin{matrix}−1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} ) e contiene il punto ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ); dunque un’equazione carte-

siana di π è data da −x_{1} + 2x_{2} = 2. Prendiamo infine il punto p = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} ) sulla retta l. Allora la

distanza d(l, m) è uguale alla distanza fra π e p, cioè

d(l, m) = d(p, π) = \frac{| − 1 · 1 + 2 · 0 + 0 · 2 − 2|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{5}}.

Fig.14. La distanza fra l ed m.

Definizione. Una sfera in R^{3} di centro c e raggio r è l’insieme dei punti che ha distanza uguale ad r da c.

Siccome i punti x sulla sfera di centro c e raggio r sono i punti che soddisfano

||x − c|| = r,

l’equazione della sfera è data da

(x_{1} − c_{1})^{2} + (x_{2} − c_{2})^{2} + (x_{3} − c_{3})^{2} = r^{2}.

Proposizione 5.9. Sia (x_{1} − c_{1})^{2} + (x_{2} − c_{2})^{2} + (x_{3} − c_{3})^{2} = r^{2} una sfera S in R^{3} di centro c e raggio r. Un’equazione del piano tangente alla sfera nel punto q ∈ S è data da

(q_{1} − c_{1})(x_{1} − q_{1}) + (q_{2} − c_{2})(x_{2} − q_{2}) + (q_{3} − c_{3})(x_{3} − q_{3}) = 0.

Dimostrazione. Sia x un punto arbitrario su detta tangente. Poiché il piano tangente in q è perpendicolare alla retta passante per q ed il centro della sfera c, si ha che:

(q − c) · (x − q) = 0

come richiesto.

Fig.15. Il piano tangente alla sfera nel punto q.

Esempio 5.10. (Intersezione fra una retta e una sfera) Consideriamo ora il problema di calcolare l’intersezione fra una retta ed una sfera tramite un esempio esplicito. Sia S la sfera di equazione

(x_{1} − 2)^{2} + (x_{2} − 1)^{2} + (x_{3} − 1)^{2} = 9

e sia l la retta di equazione parametrica

x = ( \begin{matrix}1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} ) , t ∈ R.

Per calcolare l’intersezione S ∩ l sostituiamo il punto generico della retta l nell’equazione della sfera S:

((1 + t) − 2)^{2} + ((3 + t) − 1)^{2} + ((1 + 2t) − 1)^{2} = 9.

L’equazione diventa 6t^{2} + 2t − 4 = 0. Risolvendo troviamo t = −1 oppure t = 2/3, corrispondenti ai punti di intersezione

x = ( \begin{matrix}0 \\ 2 \\ −1 \end{matrix} ) e y = ( \begin{matrix}5/3 \\ 11/3 \\ 7/3 \end{matrix} ) .

In generale, a seconda che l’equazione quadratica in t ammetta due, una o nessuna soluzione reale, si ha rispettivamente che la retta interseca la sfera in due punti, un punto (in questo caso la retta è tangente alla sfera) o nessun punto.

Analogamente, l’intersezione di una sfera con un piano può essere una circonferenza in R^{3}, un punto (caso di un piano tangente), o può essere vuota. Osserviamo che è impossibile descrivere una circonferenza in R^{3} tramite una sola equazione di grado 2.

Esempio 5.11. Dati un piano π ed una sfera S in R^{3}, come calcolare il raggio della circonferenza π ∩ S? Basterà calcolare la distanza d fra il centro c della sfera ed il piano π e poi applicare il Teorema di Pitagora come nella Figura 16.

Fig.16. Il raggio della circonferenza π ∩ S.

Per esempio, consideriamo π il piano di equazione x_{1} − x_{2} + x_{3} = 1 e la sfera S di equazione x_{1}^{2} + (x_{2} − 1)^{2} + x_{3}^{2} = 5. La distanza d fra il centro della sfera c ed il piano π è

d = \frac{|1 · 0 − 1 · 1 + 1 · 0 − 1|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{3}}.

Il raggio della sfera è uguala a \sqrt{5}. Il raggio r della circonferenza π ∩ S soddisfa

r^{2} + (\frac{2}{\sqrt{3}})^{2} = (\sqrt{5})^{2},

da cui si ricava r = \sqrt{11/3}.

Esercizi.

(5.A) Sia x il vettore ( \begin{matrix}1 \\ 4 \\ −1 \end{matrix} ). Trovare altri tre punti sulla retta r passante per 0 ed x.

(5.B) Siano x = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} ) e y = ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) due vettori in R^{3}.

(i) Calcolare il punto medio fra x e y.

(ii) Trovare altri tre punti sul piano che passa per 0, x e y.

(iii) Trovare un’equazione parametrica della retta passante per x ed y. (5.C) Siano π e π′ due piani in R^{3} di equazioni cartesiane

2x_{1} − 3x_{2} + 1 = 0, 3x_{1} + x_{3} − 2 = 0.

(i) Trovare equazioni parametriche per π e π′.

(ii) Calcolare un’equazione parametrica per la retta intersezione π ∩ π′. (5.D) Siano π_{1} e π_{2} due piani in R^{3} di equazioni parametriche

x = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) + s ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ −1 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , s, t ∈ R

e

x = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) + u ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} ) + v ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , u, v ∈ R.

(i) Calcolare un’equazione cartesiana dell’intersezione π_{1} ∩ π_{2}. (ii) Calcolare un’equazione parametrica dell’intersezione π_{1} ∩ π_{2}.

(5.E) Siano l e m le rette in R^{3} di equazioni parametriche

x = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}3 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , t ∈ R, x = ( \begin{matrix}3 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) + s ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} ) , s ∈ R.

(i) Calcolare l’intersezione l ∩ m. (ii) Trovare una retta che incontra sia l che m.

(5.F) Sia π il piano in R^{3} di equazione x_{1} − 2x_{3} = 3. (i) Trovare un vettore normale a π. (ii) Trovare un altro vettore normale a π. (iii) Calcolare un’equazione parametrica per π. (iv) Calcolare un’altra equazione parametrica per π.

(5.G) Sia l la retta di equazioni cartesiane

\{ \begin{matrix}x_{1} & + & 2x_{2} & = & −1 \\ x_{2} & + & x_{3} & = & 0 \end{matrix}

Sia m la retta di equazione parametrica

x = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} ) , t ∈ R.

(i) Calcolare l’intersezione di l ed m. (ii) Calcolare l’angolo fra l ed m.

(5.H) Sia π il piano di equazione 2x_{1} + x_{2} − x_{3} + 3 = 0. Sia p = ( \begin{matrix}−1 \\ −2 \\ 1 \end{matrix} ).

(i) Calcolare un’equazione cartesiana per il piano π_{1} che passa per p ed è parallelo a π. (ii) Calcolare un’equazione parametrica per la retta l che passa per p ed è ortogonale a π. (iii) Trovare i punti di intersezione π ∩ l e π_{1} ∩ l. (iv) Calcolare la distanza fra i due punti nella parte (iii).

(5.I) Sia q = ( \begin{matrix}0 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} ) e sia π il piano di equazione parametrica

x = ( \begin{matrix}3 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}1 \\ −2 \\ 0 \end{matrix} ) + s ( \begin{matrix}1 \\ −2 \\ −1 \end{matrix} ) , t, s ∈ R.

(i) Calcolare la proiezione ortogonale del punto q sul piano π (ii) Calcolare la distanza fra q e π.

(5.J) Sia p ∈ R^{3} il punto di coordinate ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) e sia π il piano di equazione parametrica

x = ( \begin{matrix}0 \\ −2 \\ 1 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}1 \\ −2 \\ −1 \end{matrix} ) + s ( \begin{matrix}0 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} ) , t, s ∈ R.

(i) Calcolare la distanza fra p e π.

(ii) Calcolare la proiezione ortogonale di p su π.

(iii) Calcolare le coordinate del punto q simmetrico di p rispetto a π. (5.K) Sia S la sfera di equazione (x_{1} + 1)^{2} + x_{2}^{2} + (x_{3} + 2)^{2} = 4.

(i) Far vedere che p = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ −2 \end{matrix} ) sta sulla sfera S. Trovare un altro punto sulla sfera.

(ii) Calcolare il piano π tangente ad S nel punto p. (iii) Calcolare il piano π′ tangente ad S nel punto q.

(5.L) Sia S la sfera di equazione (x_{1}−1)^{2}+(x_{2}−2)^{2}+(x_{3}+2)^{2} = 4. Sia π il piano di equazione x_{1}+x_{2}+x_{3} = 2. (i) Calcolare la distanza fra π e il centro di S. (ii) Far vedere che l’intersezione S ∩ π è una circonferenza. Calcolarne il raggio.

(5.M) Sia p ∈ R^{3} il punto di coordinate ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) e sia m la retta di equazione parametrica

x = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} ) + s ( \begin{matrix}2 \\ 0 \\ −1 \end{matrix} ) , s ∈ R.

(i) Calcolare un’equazione cartesiana del piano che passa per m e p.

(ii) Calcolare un’equazione parametrica della retta l passante per p e perpendicolare ad m. (iii) Calcolare il punto di intersezione l ∩ m. (iv) Calcolare la distanza fra p e la retta m.

6. Trasformazioni in R^{3}. In questo paragrafo studiamo alcune trasformazioni geometriche dello spazio R^{3}. Per trasformazioni si intendono sempre delle applicazioni bigettive f : R^{3} ⟶ R^{3}.

Definizione. Sia p un vettore di R^{3}. La traslazione T_{p} di passo p è l’applicazione T_{p} : R^{3} ⟶ R^{3} data da

T_{p}(x) = x + p.

In coordinate,

T_{p}( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x_{1} + p_{1} \\ x_{2} + p_{2} \\ x_{3} + p_{3} \end{matrix} ) .

Le traslazioni godono delle seguenti proprietà:

Proposizione 6.1.

(i) Siano p, q ∈ R^{3}. Allora T_{p} ∘ T_{q} = T_{p+q} = T_{q+p} = T_{q} ∘ T_{p}. In particolare, la composizione di due traslazioni è una traslazione.

(ii) La traslazione T_{0} è l’applicazione identica. (iii) La traslazione T_{−p} è l’inversa di T_{p}, ossia T_{p} ∘T_{−p} = (T_{−p} ∘T_{p}) = T_{0} è l’applicazione identica.

Dimostrazione. La dimostrazione è simile a quella della Prop.3.1 ed è lasciata al lettore.

Un’altra famiglia di trasformazioni di R^{3} sono le dilatazioni.

Definizione. Siano λ, μ, ρ ∈ R, λ, μ, ρ > 0. La dilatazione D_{λ,μ,ρ} di R^{3} è l’applicazione D_{λ,μ,ρ} : R^{3} ⟶ R^{3} definita da

D_{λ,μ,ρ}( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}λx_{1} \\ μx_{2} \\ ρx_{3} \end{matrix} ) .

In notazione matriciale,

D_{λ,μ,ρ}( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}λ & 0 & 0 \\ 0 & μ & 0 \\ 0 & 0 & ρ \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ).

Se λ = μ = ρ > 0, la dilatazione D_{λ,μ,ρ} è semplicemente un “ingrandimento” di fattore λ = μ = ρ. In generale, D_{λ,μ,ρ} è un ingrandimento di fattore λ nella direzione dell’asse delle x_{1}, di fattore μ nella direzione dell’asse delle x_{2} e di fattore ρ nella direzione dell’asse delle x_{3}.

Introduciamo adesso le rotazioni e le riflessioni in R^{3}. La teoria è un po’ più complicata di quella in R^{2}. Cominciamo con le rotazioni e le riflessioni in forma standard e poi trattiamo il caso generale. Definizione. Sia φ ∈ R. Indichiamo con R_{φ}: R^{3} ⟶ R^{3} l’applicazione che ad un vettore x ∈ R^{3}

associa il vettore x ruotato di un angolo φ intorno al vettore e_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ). Se φ > 0, la rotazione

indotta sul piano (x_{2}, x_{3}) va intesa in senso antiorario (vedi Cap. 3). Se φ < 0, la rotazione va intesa in senso opposto, cioè in senso “orario”.

Fig.17. La rotazione R_{φ}.

Teorema 6.2. Sia x ∈ R^{3} e sia φ ∈ R. Le coordinate del punto y = R_{φ}(x) sono date da

y_{1} = x_{1},
y_{2} = cos(φ)x_{2} − sen(φ)x_{3},
y_{3} = sen(φ)x_{2} + cos(φ)x_{3}.

In notazione matriciale

R_{φ}( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & cos(φ) & − sen(φ) \\ 0 & sen(φ) & cos(φ) \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ).

Dimostrazione. Questa formula segue dalla formula del Teorema 3.2 per la rotazione R_{φ} in R^{2} di centro 0 ∈ R^{2} e angolo φ.

Per esempio, la rotazione R_{π/4} in R^{3} è data da

R_{π/4}( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt[\frac{1}{2}]{2} & −\frac{1}{2} \sqrt{2} \\ 0 & \sqrt[\frac{1}{2}]{2} & \sqrt[\frac{1}{2}]{2} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x_{1} \\ \frac{1}{2} \sqrt{2}x_{2} − \frac{1}{2} \sqrt{2}x_{3} \\ \frac{1}{2} \sqrt{2}x_{2} + \frac{1}{2} \sqrt{2}x_{3} \end{matrix} ) .

Osservazione. Come ottenere le formule della rotazione di un angolo φ intorno ad una retta arbitraria che passa per 0? Inanzitutto, notiamo che il problema non è ben posto se la retta non è orientata: non è chiaro infatti in quale direzione si deve fare la rotazione. Se la retta è orientata, per fissare il senso della rotazione parleremo di rotazione di un angolo φ intorno ad un vettore v con direzione e verso uguali a quelli della retta. Un metodo naturale per ottenere le formule di una rotazione R_{φ,v} di angolo φ intorno ad una vettore v diverso da e_{1}, è il seguente.

Sia e′_{1} un vettore parallelo a v e di lunghezza 1. Scegliamo poi due vettori e′_{2}, e′_{3} ∈ R^{3} di lunghezza 1, in modo che e′_{1}, e′_{2}, e′_{3} siano ortogonali fra loro ed orientati positivamente. I vettori e′_{1}, e′_{2}, e′_{3} formano in particolare una base ortonormale di R^{3}. I vettori e′_{2} e e′_{3} con queste proprietà

possono essere scelti in infiniti modi. Siano ( \begin{matrix}x′_{1} \\ x′_{2} \\ x′_{3} \end{matrix} ) le coordinate di un generico vettore x ∈ R^{3},

rispetto a questa base. Per il teorema 6.2, rispetto a questa base, la rotazione è data da

R_{φ,v} ( \begin{matrix}x′_{1} \\ x′_{2} \\ x′_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x′_{1} \\ cos(φ)x′_{2} − sen(φ)x′_{3} \\ sen(φ)x′_{2} + cos(φ)x′_{3} \end{matrix} ) = A′_{φ} ( \begin{matrix}x′_{1} \\ x′_{2} \\ x′_{3} \end{matrix} ) ,

dove

A′_{φ} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & cos(φ) & − sen(φ) \\ 0 & sen(φ) & cos(φ) \end{matrix} )

è la matrice rappresentativa corrispondente. Sia M la matrice del cambiamento di base dalla base {e′_{1}, e′_{2}, e′_{3}} alla base canonica {e_{1}, e_{2}, e_{3}}; le colonne di M sono i vettori della base {e′_{1}, e′_{2}, e′_{3}} espressi nella base canonica {e_{1}, e_{2}, e_{3}}. La matrice rappresentativa A_{φ,v} di R_{φ,v} rispetto alla base canonica è data dunque da

A_{φ,v} = MA′_{φ,v}M^{−1}.

Esempio 6.3. Calcoliamo le formule della rotazione di un angolo π/4 intorno al vettore

v = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) .

I vettori

e′_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) ,  e′_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} ) ,  e′_{3} = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ −1 \end{matrix} )

formano una base ortonormale per R^{3}, orientata positivamente. La matrice rappresentativa della rotazione R_{π/4} rispetto alla base {e′_{1}, e′_{2}, e′_{3}} è data da

A′_{π/4} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt[\frac{1}{2}]{2} & −\frac{1}{2} \sqrt{2} \\ 0 & \sqrt[\frac{1}{2}]{2} & \sqrt[\frac{1}{2}]{2} \end{matrix} ) .

La matrice M del cambiamento di base {e′_{1}, e′_{2}, e′_{3}} → {e_{1}, e_{2}, e_{3}} è data da

M = ( \begin{matrix}\sqrt[\frac{1}{2}]{2} & \sqrt[\frac{1}{2}]{2} & 0 \\ \sqrt[\frac{1}{2}]{2} & −\frac{1}{2} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} )

e la matrice rappresentativa A_{π/4} della rotazione rispetto alla base canonica è quindi data da

A_{π/4} = M ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt[\frac{1}{2}]{2} & −\frac{1}{2} \sqrt{2} \\ 0 & \sqrt[\frac{1}{2}]{2} & \sqrt[\frac{1}{2}]{2} \end{matrix} ) M^{−1} = ( \begin{matrix}\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} & \frac{1}{2} − \frac{1}{4} \sqrt{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} − \frac{1}{4} \sqrt{2} & \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} & −\frac{1}{2} \\ −\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \sqrt[\frac{1}{2}]{2} \end{matrix} )

Osservazione. Come calcolare le formule della rotazione R di un angolo φ rispetto ad una retta orientata l che non passa per l’origine? La strategia è di traslare la retta l nell’origine, di ruotare di un angolo φ intorno ad un vettore v con direzione e verso uguali ad l, e di ritraslare infine la retta “dov’era”. Esempio 6.7. Calcoliamo ad esempio la rotazione di un angolo π/3 rispetto alla retta l di equazione parametrica

x = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , t ∈ R.

Cominciamo con una traslazione che porta l in una retta per l’origine 0. Per esempio la traslazione

T_{\binom{−1}{{−1 \atop 0}}} di passo ( \begin{matrix}−1 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} ) porta l nella retta m, parallela ad l e passante per l’origine. La retta m

ha equazione parametrica

x = t ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , t ∈ R,

e coincide con l’asse delle x_{2}. Fissiamo il vettore v = e_{2} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) paralello ad m. Rispetto alla

base B′ = {e_{2}, e_{3}, e_{1}}, orientata positivamente, la matrice rappresentativa della rotazione R_{π/3} è data da

R_{π/3} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & −\frac{1}{2} \sqrt{3} \\ 0 & \sqrt[\frac{1}{2}]{3} & 1/2 \end{matrix} ) .

La matrice del cambiamento di base da B′ = {e_{2}, e_{3}, e_{1}} alla base canonica {e_{1}, e_{2}, e_{3}} è

M = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} )

e quindi, rispetto alla base canonica, la matrice rappresentativa della rotazione intorno a v risulta

R_{π/3,v} = MR_{π/3}M^{−1} = ( \begin{matrix}1/2 & 0 & \sqrt[\frac{1}{2}]{3} \\ 0 & 1 & 0 \\ −\frac{1}{2} \sqrt{3} & 0 & 1/2 \end{matrix} ) .

In totale, le formule della rotazione intorno ad l sono quindi

R = T_{\binom{1}{{1 \atop 0}}}R_{π/3,v}T_{\binom{−1}{{−1 \atop 0}}}

ossia

R ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}1/2 & 0 & \sqrt[\frac{1}{2}]{3} \\ 0 & 1 & 0 \\ −\frac{1}{2} \sqrt{3} & 0 & 1/2 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} − 1 \\ x_{2} − 1 \\ x_{3} \end{matrix} ) .

Supponiamo adesso che la retta l, e quindi la retta m, abbia l’orientazione opposta. Il vettore v′ = −e_{2} = ( \begin{matrix}0 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} ) ha la direzione e il verso di m. In questo caso, la base B′′ = \{−e_{2}, e_{1}, e_{3}\} è ortonormale ed orientata positivamente ed il cambiamento di base da B′′ alla base canonica è dato dalla matrice

N = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) .

Rispetto alla base B′′ la matrice rappresentativa della rotazione è ancora R_{π/3}, ma rispetto alla base canonica troviamo adesso la matrice

R_{π/3,v′} = NR_{π/3}N^{−1} = ( \begin{matrix}1/2 & 0 & −\frac{1}{2} \sqrt{3} \\ 0 & 1 & 0 \\ \sqrt[\frac{1}{2}]{3} & 0 & 1/2 \end{matrix} ) .

In totale, le formule della rotazione intorno ad l risultano quindi

R′ ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}1/2 & 0 & −\frac{1}{2} \sqrt{3} \\ 0 & 1 & 0 \\ \sqrt[\frac{1}{2}]{3} & 0 & 1/2 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} − 1 \\ x_{2} − 1 \\ x_{3} \end{matrix} ) .

Definizione. Sia S : R^{3} ⟶ R^{3} la riflessione rispetto al piano di equazione x_{3} = 0. Abbiamo

S( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ −x_{3} \end{matrix} ) ,

ed in forma matriciale,

S( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ).

Fig.18. La riflessione S rispetto al piano x_{3} = 0.

La riflessione rispetto ad una retta l è un particolare tipo di rotazione, precisamente la rotazione di un angolo di 180 gradi intorno alla retta stessa. In questo caso, il risultato non dipende dall’orientazione di l. Definizione. La riflessione U rispetto all’origine 0 ∈ R^{3} è data dalla formula

U( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−x_{1} \\ −x_{2} \\ −x_{3} \end{matrix} ) ,

oppure, in notazione matriciale, da

U( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ).

Fig.19. La riflessione U rispetto all’origine 0.

Esempio. (riflessione rispetto ad un piano arbitrario) Spieghiamo adesso come ottenere la formula per la riflessione S_{π} rispetto ad un arbitrario piano π mediante un esempio esplicito. Sia π il piano di equazione x_{1} − 2x_{2} + 2x_{3} = 4. Sia p ∈ R^{3} un punto arbitrario. La retta l che passa per p ed è perpendicolare a π è data da

( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}1 \\ −2 \\ 2 \end{matrix} ) , t ∈ R.

L’intersezione l ∩ π è un punto q che corrisponde al valore del parametro

t = t_{0} = \frac{4 − p_{1} + 2p_{2} − 2p_{3}}{9} .

Siccome p corrisponde a t = 0, il punto S_{π}(p), simmetrico di p rispetto a π, corrisponde a t = 2t_{0}. Si ha quindi

S_{π} ( \begin{matrix}p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix} ) + 2t_{0} ( \begin{matrix}1 \\ −2 \\ 2 \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix} ) + 2\frac{4 − p_{1} + 2p_{2} − 2p_{3}}{9} ( \begin{matrix}1 \\ −2 \\ 2 \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}8/9 \\ −16/9 \\ 16/9 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}7/9 & 4/9 & −4/9 \\ 4/9 & 1/9 & 8/9 \\ −4/9 & 8/9 & 1/9 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix} ) .

Fig.20. La riflessione S_{π} rispetto al piano π.

Osservazione In generale, la riflessione S_{π} rispetto ad un piano π non è un’applicazione lineare, ma è una applicazione lineare seguita da una traslazione. La riflessione S_{π} è lineare se e soltanto se π passa per l’origine 0. Esempio. (riflessione rispetto ad un punto arbitrario) Spieghiamo adesso come ottenere la formula

della riflessione rispetto ad un punto arbitrario, tramite un esempio esplicito. Sia q = ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 2 \end{matrix} ) ∈ R^{3}

un punto fissato e sia p ∈ R^{3} un punto arbitrario. Sia U_{q}(p) il punto simmetrico di p rispetto a q. Poiché il centro di riflessione q è il punto medio fra p e U_{q}(p) si ha che q = 1/2(p + U_{q}(p). Di conseguenza

U_{q}(p) = 2q − p = ( \begin{matrix}2 − p_{1} \\ −2 − p_{2} \\ 4 − p_{3} \end{matrix} ) .

Osservazione. Tutte le trasformazioni lineari di R^{3} mandano rette in rette e piani in piani. Lo stesso vale per le traslazioni e dunque per la composizione di trasformazioni lineari e traslazioni. Se M è la matrice rappresentativa di una trasformazione lineare di R^{3} ed r è una retta di equazione parametrica

x = p + tv, t ∈ R,

la retta immagine di R tramite M ha equazione parametrica

x = Mp + tMv, t ∈ R.

Analogamente, se π è un piano di equazione parametrica

x = p + tv + sw, t, s ∈ R,

il piano immagine di π tramite M ha equazione parametrica

x = Mp + tMv + sMw, t, s ∈ R.

Analogamente, se T_{q} è luna traslazione di passo q in R^{3}, l’immagine di r tramite T_{q} ha equazione parametrica

x = (p + q) + tv, t ∈ R;

l’immagine di π tramite T_{q} ha equazione parametrica

x = (p + q) + tv + sw, t, s ∈ R.

Osservazione. Per concludere osserviamo che, in generale, una trasformazione lineare f di R^{3} preserva l’orientazione se e soltanto se det(f) > 0. Le rotazioni R_{φ,v} preservano l’orientazione della base canonica di R^{3} e le loro matrici rappresentative hanno sempre determinante uguale a 1. Le riflessioni S ed U invece cambiano l’orientazione della base canonica di R^{3} e le loro matrici rappresentative hanno determinante uguale a −1. Le dilatazioni D_{λ,μ,ρ} preservano l’orientazione in quanto

Or(D_{λ,μ,ρ}(v), D_{λ,μ,ρ}(w), D_{λ,μ,ρ}(u)) = Or (( \begin{matrix}λv_{1} \\ μv_{2} \\ ρv_{3} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}λw_{1} \\ μw_{2} \\ ρw_{3} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}λu_{1} \\ μu_{2} \\ ρu_{3} \end{matrix} )) ,
= λμρOr(v, w, u).

Esercizi.

(6.A) Siano p = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ) e q = ( \begin{matrix}1 \\ −2 \\ −1 \end{matrix} ).

(i) Trovare le formule per la traslazione T_{p}.

(ii) Calcolare T_{p} ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ), T_{p} ( \begin{matrix}3 \\ 4 \\ 5 \end{matrix} ).

(iii) Calcolare T_{3p} ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ), T_{3p} ( \begin{matrix}3 \\ 4 \\ 5 \end{matrix} ).

(iv) Calcolare (T_{q} ∘ T_{3p}) ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ), (T_{3p} ∘ T_{−q}) ( \begin{matrix}3 \\ 4 \\ 5 \end{matrix} ).

(6.B) Sia D_{2,5,3} la dilatazione data dalla matrice ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} ).

(i) Trovare una dilatazione D_{λ,μ,ρ} tale che D_{λ,μ,ρ} ∘ D_{2,5,3} sia l’applicazione identica. (ii) Trovare una dilatazione D_{λ,μ,ρ} tale che D_{2,5,3} ∘ D_{λ,μ,ρ} sia l’applicazione identica.

(6.C) Sia C il cubo in R^{3} di vertici

\begin{matrix}( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}3 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}3 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} ) , \\ ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 3 \\ 3 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}3 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}3 \\ 3 \\ 3 \end{matrix} ) . \end{matrix}

(i) Quali sono i vertici di C dopo la rotazione R_{π/2} intorno al vettore e_{3}? (ii) Quali sono i vertici di C dopo la rotazione R_{π} intorno al vettore e_{3}? (iii) Quali sono i vertici di C dopo la rotazione R_{3π/2} intorno al vettore e_{3}?

(6.D) Sia C il cubo in R^{3} di vertici

\begin{matrix}( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} ) , \\ ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ −1 \\ −1 \end{matrix} ) . \end{matrix}

(i) Disegnare l’immagine di C dopo la rotazione R_{π/2} intorno a e_{3}. (ii) Disegnare l’immagine di C dopo la rotazione R_{π/2} intorno a e_{1}. (iii) Disegnare l’immagine di C dopo la rotazione R_{π/2} intorno a −e_{1}. (iv) Quali rotazioni mandano il cubo in se stesso?

(6.E) Sia v = ( \begin{matrix}−1 \\ −1 \\ −1 \end{matrix} ) ∈ R^{3}.

(i) Trovare le formule per la rotazione R_{π/2,v} di un angolo π/2 intorno a v . (ii) Trovare le formule per la rotazione R_{−π/4,v} di un angolo −π/4 intorno a v. (iii) Sia l la retta di equazione parametrica

x = ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , t ∈ R.

Calcolare un’equazione parametrica della retta che si ottiene applicando R_{π/2,v} a l. (iv) Sia π il piano di equazione cartesiana

x_{1} + x_{2} = 7.

Calcolare un’equazione parametrica del piano che si ottiene applicando R_{−π/4,v} a π.

(6.F) Sia π il piano di equazione x_{1} + 2x_{2} = 0. (i) Calcolare le formule della riflessione rispetto a π. (ii) Calcolare le immagini dei punti

( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) .

(iii) Calcolare l’immagine della retta di equazione parametrica

( \begin{matrix}5 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) + t ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ −1 \end{matrix} ) , t ∈ R.

(6.G) Sia C il cubo dell’Eserc.6.C. Calcolare l’immagine di Q dopo la riflessione rispetto (i) al piano (x_{1}, x_{2}). (ii) al piano (x_{2}, x_{3}). (iii) al piano di equazione x_{1} = x_{2}.

(6.H) Sia C il cubo dell’Eserc.6.D. Calcolare l’immagine di C dopo la riflessione rispetto (i) al piano (x_{1}, x_{2}). (ii) al piano (x_{2}, x_{3}). (iii) al piano di equazione x_{1} = x_{2}. (iv) Trovare tutte le riflessioni S_{π} che mandano C in se stesso.

(6.I) Siano p = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) e q = ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ −1 \end{matrix} ).

(i) Calcolare la formula per la riflessione U_{p} rispetto al punto p. (ii) Calcolare la formula per la riflessione U_{q} rispetto al punto q. (iii) Calcolare le formule per la trasformazione U_{p} ∘ U_{q} e per U_{q} ∘ U_{p}. (iv) Geometricamente, che cosa fanno le trasformazioni U_{p} ∘ U_{q} e U_{q} ∘ U_{p}?

(6.J) Sia π il piano di equazione parametrica

x = t ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) + s ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ −2 \end{matrix} ) , t, s ∈ R

e sia π′ il piano di equazione x_{3} = 0.

(i) Trovare le formule della riflessione S_{π} rispetto a π. (ii) Calcolare le formule della riflessione S_{π′} rispetto a π′. (iii) Calcolare le formule della trasformazione composta

S_{π} ∘ S_{π′}.

(iv) Calcolare le formule per la trasformazione composta

S_{π′} ∘ S_{π}.

(6.K) Dimostrare che una dilatazione D_{λ,μ,ρ} conserva le direzioni delle rette e dei piani se e solo se λ = μ = ρ.