Fondamenti di Analisi Matematica e Analisi Matematica 6
Corsi di Laurea Collegati: Fisica e Matematica
Anno Accademico 2021 - 2022

Docente: Giuseppe Ruzzi
Studio: 0118 Dipartimento di Matematica (Sogene)
Valore del Corso in crediti: 6 CFU

Orario e modalità delle lezioni
Il corso inizierà il 9 Marzo 2022, terminerà il 15 Giugno 2022 e srà svolto nei seguenti giorni

• Mercoledì , 9:00 - 11:00, aula 2
• Giovedì , 14:00 - 16:00, aula 1

Per comportamenti da seguire ed altre informazioni sul COVID-19 si rimanda al sito di ateneo.

• Testi consultabili
• Note del corso tenuto dal professor Morsella A.A. 2017-18 e A.A. 2020-21
• Note scritte a mano del Prof. Morsella 2020-21
• Note del Prof. Pinamonti 2020-21
• Diario delle lezioni.

Argomenti per l'esame. L'esame consiste in un orale su argomenti a scelta dello studente tra quelli che sono stati svolti a lezione o che lo studente potrà chiedere di sviluppare. Di seguito un elenco di possibili argomenti.

• Possibili tesine su argomenti svolti a lezione
• Spazi di Hilbert. Spazi pre-Hilbertiani: Identità di polarizzazione e di parallelogramma e dissuguaglianza di Cauchy-Schwartz.
Completezza e completamento di uno spazio pre-Hilbertiano. Teorema di Proiezione e teorema di Rappresentazione di Riesz per funzionali lineari continui. Teorema di Riesz per forme sesquilineari continue e aggiunto di un operatore. Proiettori ortogonali e teorema di proiezione. Operatori autoaggiunti, normali e positivi. Isometrie, isometrie parziali e operatori unitari. Sistemi ortonormali e disuguaglianza di Bessel; sistemi ortornormali completi(basi) ed uguaglianza di Parseval. Basi numerabili e spazi di Hilbert seprabili. Esistenza di Basi ortonormali.
• Teorema spettrale per operatori autoaggiunti. Spettro e risolvente di un operatore. Raggio spettrale e formula di Gelfand. Spettro di un operatore autoaggiunto. Calcolo funzionale continuo per operatori autoaggiunti. Estensione del calcolo funzionale continuo e funzioni reali differenza di due funzioni semicontinue superiormente positive. Famiglia spettrale associata ad un operatore autoaggiunto. Teorema spettrale.
• Formulazione algebrica della MQ. Motivazioni (cenni). Gli assiomi della formualzione C*-algebrica della Meccani quantistica. Equivalenza tra spettro fisico e spettro di un operatore autoaggiunto (ossia caratterizzazione dello spettro di un operatore autoggiunto in termini degli stati puri della C*-algebra. Meccanica classica come richiesta che le osservabili abbiano dispersione nulla sugli stati puri. Non commutatività e principio di indeterminazione di Heisenberg (generalizzato). Principio di sovrapposizione e regole di superselezione. Impossibilita` di implementare le relazioni di commutazioni di Heisenberg in una C*-algebra. Relazioni di commutazione canoniche nella forma di Weyl e rappresentazione di Schroedinger.


• Possibili tesine che prendono spunto da argomenti svolti a lezione
• Teorema di Riesz-Markov e teorema spettrale. Si può arrivare al teorema spettrale per un operatore autoaggiunto non limitato utilizzando il teorema di Riesz-Markov che dimostra che ad ogni funzionale lineare positivo sulla C*-algebra delle funzioni continue su un compatto si può associare una misura finita regolare. Utilizzando questa misura ed il teorema di Riesz sulle forme sesquilineari continue Il calcolo funzionale continuo di un operatore autoggiunto si estende al calcolo funzionale Boreliano. Si definiscono quindi i proiettori spettrali e si dimsotra il teorema spettrale. Una esposizione chiara di questi argomenti si trova sul libro di Hall.
• Unicità della rappresentazione di Schroedinger. Le relazioni di commutazioni canoniche (finito dimensionali) nella forma di Weyl ammettono una rappresentazione su uno spazio L^2 detta detta di Schroedinger (accennata l'ultimo giorno di lezione). Tale rappresentazione è irriducibile e unica (ossia che ogni altra rappresentazione irriducibile delle relazioni di Weyl è equivalente a quella di Schroedinger). Per questo argomento si possono consultare le note del Prof. Morsella o le note del Prof. Pinamonti.
• Teorema di Stone ed equazione di evoluzione nella forma di Heisenberg. Il generatore di un gruppo ad un parametro continuo di operatori unitari è un operatore autoaggiunto (non limitato in generale). Nel caso in cui l'evoluzione temporale delle osservabili, rappresentate su uno spazio di Hilbert, sia implementata da un gruppo ad un parametro continuo di operatori unitari il generatore del gruppo fornisce l'Hamiltoniana quantistica e l'evoluzione temporale delle osserabili segue l'equazione di Heisenberg. (Questa tesina richiede una parte preliminare di operatori non limitati. La dimostrazione del Teorema di Stone si trova nel Libro di Hall o sulle note scritte a mano del Prof. Morsella. L'equazione di Heisenberg si trova sempre nelle note del prof Morsella o in quelle di Pinamonti).

Ricevimento Studenti

• Il ricevimento sarà fatto esclusivamente in presenza, previa prenotazione via email, tutti i giovedi dalle 11:00 alle 12:00 nello studio del docente (Sogene, Dipartimento di Matematica, studio n.118).

Avvisi

• Sono state aggiunte le note scritte a mano del Prof. Morsella e le note del Prof. Pinamonti.