| Data una curva singolare ridotta X esistono diverse maniere di compattificare la Jacobiana generalizzata di X, J(X), in maniera modulare. Usando un lavoro di Esteves possiamo anche trovare delle compattificazioni fini, ossia, che ammettono un fibrato di Poincaré, una per ogni polarizzazione della curva. In questo seminario racconterò di un lavoro in collaborazione con Antonio Rapagnetta e Filippo Viviani in cui studiamo la relazione tra J(X) e le Jacobiane compattificate fini di X. Iniziamo per dimostrare che la trasformata di Fourier-Mukai dalla categoria derivata di J(X) alla categoria derivata di qualsiasi Jacobiana compattificata fine di X, indotta dal fibrato di Poincaré, è pienamente fedele. Come conseguenza, dimostriamo che in ogni Jacobiana compattificata fine l'equivalenza algebrica coincide con quella numerica e che esiste un'isomorfismo naturale (denominato "autodualità") tra J(X) e la componente connessa dello schema di Picard di qualsiasi Jacobiana compattificata fine di X. Questi risultati generalizzano dei lavori di Arinkin e Esteves-Gagné-Kleiman. Tempo permetendo spiegherò anche come questi risultati si possono interpretare alla luce della dualità di Langlands per la fibrazione di Hitchin. |