CP - Complementi di Probabilita` 

Prof. P. Baldi, 2020-21, primo semestre (8 CFU)

Questo corso e` una introduzione al calcolo delle probabilita` con l’uso della teoria della misura. Quest’ultima e` uno degli argomenti del corso di CAM1, che si svolge in parallelo.

La prima parte del corso consiste in una ripetizione degli argomenti di teoria della misura dal punto di vista della probabilita`. Una seconda parte, molto piu` corposa, riguardera` le nozioni di indipendenza, leggi e leggi congiunte che gia` sono state trattate nel corso di PS al secondo anno della triennale. La teoria della misura permettera` di fare un trattamento piu` rigoroso e di andare molto piu` in profondita`, in particolare per quanto riguarda le convergenze. L’ultima parte del corso,(speranze condizionali e martingale) costituisce un primo approccio ai processi stocastici, che sono l’argomento di corsi di probabilita` piu` avanzati.
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Obettivi 
L’obiettivo del corso e` di impadronirsi dei metodi della teoria della misura e di usarli per affrontare problemi avanzati di probabilita` e per sapersene servire nelle applicazioni.

Prerequisiti 
A parte la conoscenza dei contenuti del corso di PS del secondo anno della magistrale, e` importante la conoscenza della teoria della misura. Chi non avesse gia` seguito un corso su questo argomento dovra` studiarla in parallelo nel corso di CAM1.

Programma 
Elementi di teoria della misura (richiamo).

Variabili aleatorie (v.a.), indipendenza, legge di una v.a., gli esempi fondamentali. Funzioni caratteristiche, trasformata di Laplace.

Convergenza di v.a. e di leggi di probabilita`. Il Lemma di Borel-Cantelli, convergenza quasi certa e leggi dei grandi numeri. Convergenza in legge: il Teorema Limite Centrale e le sue applicazione, il teorema di Pearson, applicazioni alla statistica.  

Speranze condizionali. Martingale: le disuguaglianze fondamentali, teoremi di convergenza, applicazioni.

Textbooks
Verranno distribuiti appunti e liste di esercizi durante il corso. Altri testi di riferimento:

P.Billingsley, Probability and measure, J.Wiley 1995

D.Williams, Probability with martingales, Cambridge University Press, 1991

Organizzazione

Oltre alle lezioni frontali, molta importanza verra` data a esercitazioni e tutorato.

E same 

L’esame consiste in una prova scritta, su base di esercizi, ed una prova orale riguardante anche la teoria. E` previsto un esonero a meta` corso.