Sia x un valore fissato della variabile spaziale (in altre parole, x rappresenta un pixel se il segnale è l’intensità di colore in una riga di pixel di un’immagine fotografica, oppure un tempo se il segnale è un segnale musicale). Denotiamo con d_x la distribuzione impulsiva (delta di Dirac) centrata al punto x. Rammentiamo che se si moltiplica la distribuzione d_x per la funzione f, il risultato è il multiplo di d_x dato dalla moltiplicazione per il numero f(x): cioè f d_x = f(x) d_x (per maggiori dettagli si veda il corso di Analisi Armonica, capitolo 8). Da questo fatto segue immediatamente che campionare un segnale equivale a moltiplicarlo nel dominio dello spazio con una distribuzione treno di impulsi (comb): la distribuzione treno di impulsi è la serie delle delta di Dirac centrate ai punti del campionamento. In altre parole, questa distribuzione differisce dalla funzione zero solo ai punti del campionamento, e la si può approssimare con una serie di funzioni impulsive -in inglese spike- (cioé di funzioni non negative, di integrale 1 e col grafico “alto e stretto”). I termini della serie approssimante sono traslati equispaziati (di passo dato dal passo di campionamento 1/(2w_c) di una funzione spike h^t, maggiore o uguale a zero, infinitamente derivabile, di integrale 1 e tale che, per ogni intervallo arbitrariamente piccolo centrato ad uno dei punti del campionamento e per ogni e positivo arbitrario, esiste un intervallo di ampiezza t tale che l’integrale della corrispondente funzione spike h^t vale su quell’intervallo più di 1 – e purché t sia sufficientemente piccolo. La serie approssima il treno di impulsi al tendere di t a 0.

Rammentiamo qui alcuni risultati dimostrati nel corso di Analisi Armonica. La trasformata discreta di Fourier di una distribuzione treno di impulsi con i “denti” (cioé le delta di Dirac che la compongono) spaziati di passo t è un altro treno di impulsi con i denti spaziati di 1/t. Questo segue da due risultati preliminari: il fatto che il treno di impulsi di passo 1 coincide con la sua trasformata di Fourier nel senso delle distribuzioni (formula di somma di Poisson, corso di Analisi Armonica, capitoli 7 e 9), e la regola di dilatazione per la trasformata di Fourier (corso di Analisi Armonica, capitolo 5). Poiché la moltiplicazione nel dominio del tempo corrisponde a una convoluzione nel dominio della frequenza, la trasformata di Fourier del segnale campionato è la convoluzione della trasformata di Fourier della distribuzione treno di impulsi con il segnale originale. Il risultato è la replica iterata dello spettro di Fourier originale, cioè una successione di copie replicate e traslate dello spettro originale. Infatti, come visto sopra, ciascun campione corrisponde a moltiplicare il segnale originario per una delta di Dirac centrata al’istante di campionamento: quindi la successione dei campioni corrisponde alla moltiplicazione del segnale originale per una serie di delta di Dirac equispaziate (un treno di impulsi nel dominio dello spazio). Ma abbiamo detto che la trasformata di Fourier di questo treno di impulsi spaziali è un altro treno di impulsi nel dominio della frequenza, via via più radi quanto più fitti sono quelli originali nel dominio dello spazio, quindi una serie di traslati di delta di Dirac. La moltiplicazione col treno di impulsi nel dominio dello spazio corrisponde alla convoluzione con questo nuovo treno di impulsi nel dominio della frequenza, cioè con questa successione di delta equispaziate. Ma grazie ad un altro risultato del corso di Analisi Armonica (capitolo 8), la convoluzione con una delta di Dirac centrata ad una frequenza, diciamo, w₀ è una traslazione di passo w₀. Pertanto la trasformata di Fourier della successione dei campioni di passo t è una somma di traslati di passo 1/ t della trasformata di Fourier del segnale originale. Se questa trasformata aveva supporto da - w_c a w_c ed il passo di campionamento è minore o uguale di 1/ w_s = 1/(2 w_c), allora queste copie replicate sono separate fra loro di almeno 2 w_c, cioè la lunghezza del loro supporto, e quindi non si sovrappongono. In tal caso la serie che ci dà la trasformata di Fourier della successione dei campioni non è altro che una successione di repliche a supporto disgiunto dello spettro originario.