Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, Università degli Studi di Roma “Tor Vergata”, facoltà di Ingegneria

Analisi II per Ingegneria Elettronica e Telecomunicazioni 28–02–2012 A.A. 2011/2012, Quarto scritto, compito A

Allegare tutti i conti ritenuti necessari. Risultati senza giustificazione non verranno presi in considerazione

Nome(Stampatello)  Cognome(Stampatello)  Matricola

1) punti (7.5) Sia data la funzione

f(\underline{x}) = \{ \begin{matrix}\frac{−1 + e^{xy^{2}}}{y^{2}} y > 0 \\ x y ≤ 0 \end{matrix}

i) Si trovi l’insieme dei punti in cui è continua. Si badi di non trascurare nessun punto e si evitino affermazioni non giustificate

ii) Si calcolino le derivate parziali badando di eseguire il calcolo in ogni punto del piano e non solo nei punti dove è lecito applicare le note formule sulla derivazione

iii) si trovi l’insieme dei punti in cui la funzione è differenziabile

Sbagliare una delle derivate richieste al punto ii), comporta l’annullamento del compito

2) punti (6.5) Data la funzione f(x, y) = xy − \frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{4}}{4} − \frac{2}{3}y^{3} − y^{2} + 2y si trovino i punti critici e se ne stabilisca la natura.

3) punti (5.5) Si calcoli il volume, detto V, definito dalle relazioni (x^{2} + y^{2})^{3} − 4y^{2}x^{2} ≤ 0, 0 ≤ z ≤ 4 − \sqrt{x^{2} + y^{2}}

4) punti (7.5) Sia data l’equazione F (x, y) = (x^{2} + y^{2})^{3} − 4y^{2}x^{2} = 1. Si dimostri che tale equazione definisce implicitamente una funzione f nell’intorno del punto (0, 1). Si dimostri che tale punto è critico e se ne stabilisca la natura.

5) punti (4,5) Si assuma Sapendo che ∫_{−∞}^{+∞} e^{−x^{2}}dx = \sqrt{π}. Sia data la successione di fun-

zioni f_{n}(x) = \frac{x}{n}e^{−(x−n)^{2}} per x ≥ 0 e che vale zero per x < 0. i) Si dica se è vero che

lim_{n→+∞} ∫_{0}^{1} f_{n}(x)dx = 0. Se è vero evidenziarne la motivazione. Se non è vero dire perché e

dare il valore del limite ii) Si dica se è vero che lim_{n→+∞} ∫_{0}^{+∞} f_{n}(x)dx = 0. Se è vero eviden-

ziarne la motivazione. Se non è vero dire perché e dare il valore del limite

6) punti (4,5) Si calcoli l’integrale ∫_{γ^{+}} e^{\frac{1}{z}} (1 + z + z^{2})dz dove γ è la circonferenza di raggio 5 e

centro l’origine.

soluzioni

1) Se y ≠ 0, la funzione è chiaramente differenziabile tutte le volte che si vuole.

Sia y_{0} = 0. f(x_{0}, y_{0}) = x_{0}. y = y_{0} + t = t, t > 0 e x = x_{0} + s, Abbiamo

f(x, y) − f(x_{0}, 0) = f(x_{0} + s, t) − x_{0} = \frac{−1 + e^{(x_{0}+s)t^{2}}}{t^{2}} − x_{0} = \frac{−1 + 1 + (x_{0} + s)t^{2} + o(t^{2})}{t^{2}} − x_{0}

e quindi f(x_{0} + s, t) − x_{0}⟶_{s,t→0}0

Sia y_{0} = 0, x_{0} ≠ 0. f(x_{0}, y_{0}) = x_{0}. y = y_{0} + t = t, t < 0 e x = x_{0} + s,

f(x, y) − f(x_{0}, 0) = f(x_{0} + s, t) − x_{0} = x_{0} + s − x_{0}⟶_{s→0}0

Quindi è continua. Il risultato è la funzione è continua ovunque.

Derivabilità . Se y ≠ 0 è chiaramente derivabile.

Sia y_{0} = 0. \frac{∂f}{∂x} (x_{0}, 0) = lim_{t→0} \frac{f(x_{0} + t, 0) − f(x_{0}, 0)}{t} = lim_{t→0} \frac{x_{0} + t − x_{0}}{t} = 1

\frac{∂f}{∂y} (x_{0}^{+}, 0) = lim_{t→0^{+}} \frac{f(x_{0}, t) − f(x_{0}, 0)}{t} = lim_{t→0} \frac{1}{t} (\frac{−1 + e^{x_{0}t^{2}}}{t^{2}} − x_{0}) =

= lim_{t→0} (\frac{−1 + e^{x_{0}t^{2}} − t^{2}x_{0}}{t^{3}} ) = 0

\frac{∂f}{∂y} (x_{0}^{−}, 0) = lim_{t→0^{−}} \frac{f(x_{0}, t) − f(x_{0}, 0)}{t} = lim_{t→0^{−}} \frac{x_{0} − x_{0}}{t} = 0

La funzione è quindi derivabile ovunque.

f_{x} = \{ \begin{matrix}e^{xy^{2}} y > 0 \\ 1  y ≤ 0 \end{matrix}  f_{y} = \{ \begin{matrix}2\frac{xy^{2}e^{xy^{2}} − e^{xy^{2}} + 1}{y^{3}} y > 0 \\ 0  y ≤ 0 \end{matrix}

Differenziabilità . È sufficiente far vedere che le derivate parziali sono continue nel punto in esame. Fuori dall’asse delle ascisse sono certamente continue. Sia (x, y) = (x_{0}, 0). Dobbiamo studiare

lim_{(t,s)→(0,0)} \frac{(x_{0} + t)s^{2}e^{(x_{0}+t)s^{2}} − e^{(x_{0}+t)s^{2}} + 1}{s^{3}} =

= lim_{(t,s)→(0,0)}(\frac{(x_{0} + t)s^{2}(1 + (x_{0} + t)s^{2} + \frac{1}{2}(x_{0} + t)^{2}s^{4} + O(s^{6}))}{s^{3}}+

+ \frac{−1 + (x_{0} + t)s^{2} + \frac{1}{2}(x_{0} + t)^{2}s^{4} + O(s^{6}) + 1}{s^{3}}) = 0

2). È il più standard degli esercizi d’esame. Dimostrazione omessa.

3) In coordinate polari la figura definita da (x^{2} + y^{2})^{3} ≤ 4x^{2}y^{2} è r^{6} ≤ 4r^{2}C^{2}S^{2} ossia r ≤ |2 sin(2t)| Il volume è

∫_{0}^{2π} dt ∫_{0}^{2| sin(2t)|} rdr(4 − r) = 4 ∫_{0}^{2π} dt ∫_{0}^{2| sin(2t)|} rdr − ∫_{0}^{2π} dt ∫_{0}^{2| sin(2t)|} r^{2}dr =

= 8 ∫_{0}^{2π}(sin(2t))^{2}dt − \frac{8}{3} ∫_{0}^{2π} | sin(2t)|^{3}dt = 8 ∫_{0}^{2π}(sin t)^{2}dt − \frac{4}{3} ∫_{0}^{4π} | sin t|^{3}dt =

= 8π − \frac{32}{3} ∫0^{\frac{π}{2}} (sin t)^{3}dt = 8π − \frac{32}{3} ∫0^{\frac{π}{2}} sin t(1 − cos^{2} t) = 8π − \frac{64}{9}

4) Detta F (x, y) = (x^{2}+y^{2})^{3}−4x^{2}y^{2}−1 si ha F_{y}(x, y)|_{(0,1)}= (3(x^{2}+y^{2})^{2}2y−8x^{2}y)|_{(0,1)}= 6 ≠ 0.

Per il Teorema delle funzioni implicite, F (x, y) = 0 definisce implicitamente la funzione y = f(x) tale che F (x, f(x)) ≡ 0 in un intorno di x = 0 e f(0) = 1. Inoltre f′(x) = \frac{−F_{x}(x, f)}{F_{y}(x, f)} per cui

f′(0) = \frac{3(x^{2} + y^{2})^{2}2x − 8y^{2}x}{3(x^{2} + y^{2})^{2}2y − 8x^{2}y} = 0. La derivata seconda di f(x) si desume dalla formula

f′′(x) = −\frac{F_{xx}}{F_{y}} − \frac{F_{xy}f′}{F_{y}} + \frac{F_{x}(F_{xy} + F_{yy}f′)}{(F_{y})^{2}}

F_{xy} = 24xy(x^{2} + y^{2}) − 16xy, F_{xx} = 6(x^{2} + y^{2})^{2} + 24(x^{2} + y^{2})x^{2} − 8y^{2} da cui f′′(0) = 2/6 = 1/3 ed è un minimo.

5) i) R.:0, ii) R.:\sqrt{π}.

i) La successione converge puntualmente a zero per ogni x ∈ R dal momento che

lim_{n→+∞} \frac{x}{n}e^{−(x−n)^{2}} = 0. Basta osservare \frac{|x|}{n}e^{−(x−n)^{2}} ≤ \frac{x}{n}.

La convergenza è uniforme in ogni intervallo finito. Ad esempio nell’intervallo [0, 1] si ha

sup_{0≤x≤1} \frac{|x|}{n}e^{−(x−n)^{2}} ≤ \frac{1}{n} e quindi lim_{n→+∞} ∫_{0}^{1} f_{n}(x)dx = ∫_{0}^{1} lim_{n→+∞} f_{n}(x)dx = 0.

ii) Per il limite lim_{n→+∞} ∫_{0}^{+∞} f_{n}(x)dx non possiamo fare lo stesso ragionamento in quanto la successione non converge uniformemente in [0, +∞) e non lo potremmo fare neppure se convergesse uniformemente. Sia [A, +∞). Nel caso infatti convergesse uniformemente, dovrebbe sussistere ∀ ε > 0 ∃ n_{ε}: n > n_{ε} ⟹ sup_{x≥A}|\frac{x}{n}e^{−(x−n)^{2}} | < ε. Dato un qualsiasi n, prendiamo x = n ed otteniamo |\frac{n}{n}e^{−(n−n)^{2}} | = 1 dunque non converge uniformemente in [A, +∞). Dobbiamo eseguire il calcolo.

∫_{0}^{+∞} \frac{x}{n}e^{−x^{2}+2nx}dx \underbrace{=}_{x−n=t} ∫_{−n}^{+∞} \frac{t + n}{n}e^{−t^{2}}dt = ∫_{−n}^{+∞} \frac{t}{n}e^{−t^{2}}dt + ∫_{−n}^{+∞} e^{−t^{2}}dt

|∫_{−n}^{+∞} \frac{t}{n}e^{−t^{2}}dt| ≤ ∫_{−∞}^{+∞} \frac{|t|}{n}e^{−t^{2}}dt = \frac{1}{n}

∫_{−n}^{+∞} e^{−t^{2}}dt → ∫_{−∞}^{+∞} e^{−t^{2}}dt = \sqrt{π}

Quindi il limite è \sqrt{π}.

Domanda supplementare: Analizzare la convergenza della serie ∑_{n=1}^{+∞} \frac{x}{n}e^{−(x−n)^{2}}

Svolgimento La serie converge puntualmente dal momento che, ad x fissato la serie numerica

∑_{n=1}^{+∞} \frac{x}{n}e^{−(x−n)^{2}} converge.

Converge uniformemente in ogni intervallo [0, A]. Per questo dobbiamo far vedere che

∀ ε > 0 ∃ n_{ε}: n > n_{ε} ⟹ sup_{x≥A}|∑_{k=n}^{+∞} \frac{x}{k}e^{−(x−k)^{2}} | < ε

∑_{k=n}^{+∞} \frac{x}{k}e^{−(x−k)^{2}} = xe^{−x^{2}} ∑_{k=n}^{+∞} \frac{1}{k} e^{2xk−k^{2}} ≤ \frac{1}{2}e^{−1/4} ∑_{k=n}^{+∞} \frac{1}{k} e^{2Ak−k^{2}} < ε

essendo il resto di una serie numerica convergente. NON converge uniformemente in [0, +∞) in quanto, fissato n > n_{ε} qualunque sia n_{ε}, se pren-

diamo x = n otteniamo ∑_{k=n}^{+∞} \frac{x}{k}e^{−(x−k)^{2}} = 1 + ∑_{k=n+1}^{+∞} \frac{x}{k}e^{−(x−k)^{2}} > 1

6) Lo sviluppo di Laurent della funzione e^{\frac{1}{z}} = ∑_{k=0}^{+∞} \frac{1}{z^{k}k!} da cui

e^{\frac{1}{z}} (1 + z + z^{2}) = 1 + \frac{1}{z} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6}) + ∑_{k=2}^{+∞} \frac{1}{z^{2}} (1 + \frac{1}{(k + 1)!} + \frac{1}{(k + 2)!})

e l’integrale è 2πi\frac{5}{3} Analisi II per Ingegneria Elettronica e Telecomunicazioni 28–02–2012 A.A. 2011/2012, Quarto scritto, compito B

Allegare tutti i conti ritenuti necessari. Risultati senza giustificazione non verranno presi in considerazione

Nome(Stampatello)  Cognome(Stampatello)  Matricola

1) punti (7.5) Sia data la funzione

f(\underline{x}) = \{ \begin{matrix}\frac{−1 + e^{yx^{2}}}{x^{2}} x > 0 \\ y x ≤ 0 \end{matrix}

i) Si trovi l’insieme dei punti in cui è continua. Si badi di non trascurare nessun punto e si evitino affermazioni non giustificate

ii) Si calcolino le derivate parziali badando di eseguire il calcolo in ogni punto del piano e non solo nei punti dove è lecito applicare le note formule sulla derivazione

iii) si trovi l’insieme dei punti in cui la funzione è differenziabile

Sbagliare una delle derivate richieste al punto ii), comporta l’annullamento del compito

2) punti (6.5) Data la funzione f(x, y) = xy − \frac{y^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} − \frac{2}{3}x^{3} − x^{2} + 2x si trovino i punti critici e se ne stabilisca la natura.

3) punti (5.5) Si calcoli il volume, detto V, definito dalle relazioni (x^{2} + y^{2})^{3} − 4y^{2}x^{2} ≤ 0, 0 ≤ z ≤ 1 − \sqrt{x^{2} + y^{2}}

4), punti (7.5) Sia data l’equazione F (x, y) = (x^{2} + y^{2})^{3} − 4y^{2}x^{2} = −\frac{1}{8}. Si dimostri che tale equazione definisce implicitamente una funzione f nell’intorno del punto (1/2, 1/2). Si dimostri che tale punto è critico e se ne stabilisca la natura.

5) punti (4,5) Sia data la successione di funzioni f_{n}(x) = \frac{1}{n} \frac{x}{1 + (x − n)^{4}} per x ≥ 0 e che

vale zero per x < 0. i) Si dica se è vero che lim_{n→+∞} ∫_{0}^{1} f_{n}(x)dx = 0. Se è vero evidenziarne la

motivazione. Se non è vero dire perché e dare il valore del limite ii) Si dica se è vero che

lim_{n→+∞} ∫_{0}^{+∞} f_{n}(x)dx = 0. Se è vero evidenziarne la motivazione. Se non è vero dire perché e

dare il valore del limite

Svolgimento i) Puntualmente la serie converge a zero per ogni x. La convergenza è uniforme in [0, A) con A > 0 qualsiasi.

\frac{x}{n(1 + (x − n)^{4})} ≤ \frac{A}{n}

e quindi lim_{n→+∞} ∫_{0}^{1} f_{n}(x)dx = ∫_{0}^{1} lim_{n→+∞} f_{n}(x)dx = 0.

Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, Università degli Studi di Roma “Tor Vergata”, facoltà di Ingegneria

ii)

\begin{matrix}∫_{0}^{+∞} \frac{x}{n(1 + (x − n)^{4})}dx = ∫_{−n}^{+∞} \frac{n + t}{n(1 + t^{4})}dt = \\ = ∫_{−n}^{+∞} \frac{dt}{(1 + t^{4})} + ∫_{−n}^{+∞} \frac{t}{n(1 + t^{4})}dt → ∫_{−∞}^{+∞} \frac{dt}{(1 + t^{4})} \end{matrix}

che si può calcolare coi residui.

6) punti (4,5) Si calcoli l’integrale ∫_{γ^{+}} e^{\frac{−1}{z}} (1 − z + z^{2})dz dove γ è la circonferenza di raggio 5 e centro l’origine.