Lezioni corso di Analisi I per Scienze e Tecnologie dei Media 2020/21
28/09/2020, 2 ore.
Argomento:
Richiami di insiemistica e di insiemi numerici
(naturali, interi, razionali, reali).
Alcune considerazioni di algebra elementare.
Equazioni e disequazioni di primo e secondo grado.
Disequazioni.
30/09/2020, 2 ore.
Argomento:
Una disequazione.
Proprietà dei numeri reali, definiti assiomaticamente.
Massimo, minimo, maggioranti ed estremo
superiore di un insieme.
Assioma dell'estremo superiore. Definizione di intervalli
(aperti, chiusi, semiaperti, semirette).
01/10/2020, 2 ore.
Argomento:
Minoranti, estremo superiore
ed estremo inferiore di un insieme. Insiemi superiormente
limitati, inferiormente limitati, limitati e finiti.
Distinzione tra insiemi finiti e insiemi limitati.
Definizione di estremo superiore di insiemi superiormente
illimitati e di estremo inferiore di insiemi inferiormente illimitati.
Esistenza dell'estremo inferiore,
oltre a quella dell'estremo superiore, interpretazione,
e considerazioni collegate. Proprietà
delle potenze (a esponente naturale, intero, razionale in parte)
con relative definizioni.
05/10/2020, 2 ore.
Argomento:
Gli insiemi finiti (non vuoti) hanno massimo e minimo.
Potenze a esponente razionale e reale.
Proprietà delle potenze.
Qualche esempio.
Prodotto cartesiano di due insiemi,
piano cartesiano, e richiamo delle principali
definizioni riguardanti il piano cartesiano. Funzioni.
Grafici di funzioni: Definizione e grafici
delle prime funzioni; funzioni
della forma ax+b, funzioni potenza a esponente intero postivo.
Grafici di funzioni tipo f(x)+c e
tipo f(x+c) dedotto dal grafico di f (in casi specifici).
Definizione di funzioni pari e dispari.
Grafico di polinomi di secoondo grado con coefficiente direttivo
uguale a 1, e interpretazione grafica di
equazioni e disequazioni di secondo grado.
07/10/2020, 2 ore.
Argomento:
Grafici di funzioni tipo f(x)+c e
tipo f(x+c) dedotto dal grafico di f.
Definizione di funzioni monotone.
Definizione e molte proprietà del valore assoluto.
Grafico della funzione valore assoluto.
Equazioni binomiali
(tipo x^n=a) e considerazioni collegate.
Disequazioni binomiali (tipo x^n minore di a, o simili)
con interpretazione grafica.
Grafici delle funzioni esponenziali.
Grafico di f(|x|) e |f| dedotti dal grafico di f.
Definizione del logaritmo.
08/10/2020, 2 ore.
Argomento:
Disuguaglianza triangolare relativa al modulo.
Grafico di f(ax) e di af dedotti dal grafico di f.
Grafico e proprietà del logaritmo.
Angoli in radianti e funzioni trigonometriche
seno e coseno, loro
principali proprietà e loro grafico.
12/10/2020, 2 ore.
Argomento:
Funzione tangente, sue principali proprietà e grafico.
Densità dei razionali e degli irrazionali.
Funzione parte intera e suo grafico.
Principio del buon ordinamento
e questioni collegate.
Principio di induzione e applicazioni, disuguaglianza di
Bernoulli. Sommatorie: definizioni, proprietà.
Alcune sommatorie notevoli: somma dei primi n naturali,
somma di una progressione geometrica,
somma dei primi n quadrati.
14/10/2020, 2 ore.
Argomento:
Definizione di successione. Esempi. Definizione
di limite (finito o infinito) di una successione,
detto anche in modi diversi. Unicità del limite
(con dimostrazione).
Qualche esempio di limite.
Algebra dei limiti.
Qualche disequazione.
15/10/2020, 2 ore.
Argomento:
Algebra dei limiti, anche quando il limite può
essere +infinito o -infinito. Forme indeterminate.
Teoremi di confronto. Qualche esempio di limite di successione.
Limiti di successioni di tipo potenza e di tipo esponenziale.
Qualche disequazione e qualche grafico di funzione.
19/10/2020, 2 ore.
Argomento:
Equazioni e disequazioni.
Successioni superiormente limitate, inferiormente limitate, limitate.
Relazione tra convergenza e divergenza di una successione e sua limitatezza.
Certe proprietà delle successioni riguardanti
il limite dipendono solo dal
comportamento della successione definitivamente.
Limiti notevoli e confronto tra infiniti, fattoriale.
Criterio del "rapporto" per limiti di successioni
(idea del perché è ragionevole che valga,
ma non ancora dimostrazione).
Qualche esempio.
21/10/2020, 2 ore. Argomento: Intorni di un punto (finito o infinito) e definizione di limite usando gli intorni. Dimostrazione che il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti. Relazione tra limite di una successione e del suo modulo. Teorema della permanenza del segno e conseguenze. Successioni monotone e strettamente monotone e limiti di successioni monotone; numero "e". Limite della radice ennesima di 2. Qualche esempio.
22/10/2020, 2 ore. Argomento: Dimostrazione del criterio del "rapporto" per limiti di successioni. Successioni che partono da un numero naturale diverso da 1. Limiti di successioni esponenziali con base negativa. Limite della radice ennesima di un numero reale positivo e di n. Qualche richiamo e precisazione sui limiti di successione (ad esempio il limite della somma di una successione convergente e di una irregolare). Punti di accumulazione, teorema di Bolzano-Weierstrass. Sottosuccessioni (o successioni estratte). Relazione tra limite di una successione e di una sua estratta. Ogni successione ha un'estratta che ha limite. Tale teorema è stato per ora solo enunciato.
26/10/2020, 2 ore. Argomento: Dimostrazione che ogni successione ha un'estratta che ha limite con le precisazioni che se è limitata ha un'estratta convergente, se è superiormente illimitata ha un'estratta divergente positivamente, se è inferiormente illimitata ha un'estratta divergente negativamente. Successioni di Cauchy e dimostrazione che una successione converge se e solo se è di Cauchy. Definizione di massimo limite e minimo limite di una successione (cenno). Esempi di limiti di successioni.
28/10/2020, 2 ore. Argomento: Domini di funzioni con esempio. Definizione di limite di funzione in tutti i casi, con interpretazione geometrica. Definizione di limite di funzione usando gli intorni. Algebra dei limiti di funzione per limiti finiti. Definizione di funzione continua con interpretazione geometrica.
29/10/2020, 2 ore. Argomento: Richiami sui polinomi. Algebra dei limiti di funzione. Una precisazione sui limiti di successioni quoziente di due successioni. Forme indeterminate. Esempi di limiti di funzione, in particolare delle funzioni costanti delle funzioni x^n, dei polinomi. Continuità della somma, differenza, prodotto e quoziente di funzioni continue. Continuità dei polinomi e (solo enunciato) di funzioni abituali (esponenziali, potenze, logaritmi, seno e coseno). Dipendenza di limiti solo dai valori vicini al punto in cui si fa il limite. Definizione di funzione inferiormente limitata, superiormente limitata e limitata, e uso di tali nozioni per i limiti di funzione. Qualche esempio di funzione continua e di funzione discontinua, e di applicazione dei teoremi dati. Teoremi di confronto per limiti di funzioni.
02/11/2020, 2 ore. Argomento: Richiami sui polinomi. Teorema della permanenza del segno per limiti di funzioni e funzioni continue. Conseguenze del teorema della permanenza del segno per limiti di funzioni (ossia la disuguaglianza larga "passa al limite"). Definizione di massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore di una funzione, e studio di questi concetti nel caso di funzioni monotone su intervalli in relazione ai valori agli estremi dell'intervallo, o al limite agli estremi dell'intervallo. Funzioni composte con esempi. Continuità della composizione di funzioni continue (con dimostrazione). Precisazione su limite del quoziente anche se il denominatore si annulla. Restrizioni di funzioni. Limiti di restrizioni. Limite destro e sinistro.
04/11/2020, 2 ore. Argomento: Richiami sui polinomi. Qualche precisazione su limiti di funzioni e insiemi limitati. Limite destro e sinistro, e relazione tra limite destro e sinistro e limite, con qualche esempio. Elenco di limiti di funzioni notevoli sia a +infinito sia a 0. Qualche esempio.
05/11/2020, 2 ore. Argomento: Qualche esempio di limite di funzioni che usa i limiti notevoli di funzioni. Cambio di variabili (o sostituzione) nei limiti (enunciato preciso e idea di dimostrazione). Dimostrazione di alcuni tra i principali limiti notevoli. Una precisaione sui limiti di successioni. Altri esempi di calcolo di limiti di funzioni, in particolare limiti che usano il cambio di variabile.
09/11/2020, 2 ore. Argomento: Richiami sui polinomi. Dimostrazione di tutti i limiti notevoli di funzioni non provati in precedenza, tra cui quelli che usano le funzioni trigonometriche. Teorema "ponte" e applicazioni (in particolare dimostrazione che alcune delle funzioni abituali sono continue). Esempi di limiti di funzione.
11/11/2020, 2 ore. Argomento: Dimostrazione che alcune funzioni abituali sono continue (esponenziali e potenze). Teorema dell'esistenza degli zeri e applicazioni (in particolare ogni equazione di grado dispari ha almeno una soluzione). Teorema dei valori intermedi. Concetto di intervallo e sua caratterizzazione (insieme tale che, dati due elementi dell'insieme, tutti gli elementi compresi tra i due appartengono all'insieme). Concetto di funzione inversa. Esempi di funzione inversa: radici di indice pari e dispari, logaritmo naturale. Cenno al teorema della funzione inversa. Un esempio di limite di funzione.
12/11/2020, 2 ore. Argomento: Considerazioni sulla funzione inversa. Esempi di funzione inversa: logaritmo naturale, arcotangente, arcoseno, arcocoseno. Grafico di arcotangente. L'inversa di una funzione continua e strettamente monotona è continua e strettamente monotona (dello stesso tipo di monotonia della funzione data). Teorema di Weierstrass sui valori estremi. Concetto di funzione uniformemente continua e teorema di Heine-Cantor. Serie di numeri reali: introduzione, definizioni fondamentali, esempi.
16/11/2020, 2 ore. Argomento: Richiami e precisazioni sul concetto di serie. Relazione tra convergenza di una serie e convergenza a 0 del termine generale della serie. Serie a termini non negativi. Serie geometrica. Serie armonica e armonica generalizzata. Effetto del cambiamento dei primi termini su una serie. Linearità della somma di una serie. Spezzamento di una serie in una somma di un numero finito di termini e di un'altra serie. Criterio del confronto. Esempi.
18/11/2020, 2 ore. Argomento: Criteri del confronto asintotico, del rapporto e della radice per serie a termini non negativi. Vari esempi.
19/11/2020, 2 ore. Argomento: Relazione tra serie e sviluppo decimale. Serie a segno alterno e criterio di Leibniz. Criterio di Cauchy per serie numeriche. Definizione di serie assolutamente convergente e criterio della convergenza assoluta. Criteri della radice e del rapporto per serie a termini qualunque. Vari esempi.
23/11/2020, 2 ore. Argomento: Definizione di derivata e sua interpretazione meccanica e geometrica. Notazioni per la derivata. Rapporto incrementale. Scrittura in diverse forme del limite definente la derivata. Relazione tra derivabilità e continuità. Derivata delle principali funzioni. Regole di derivazione della somma, della differenza, del prodotto e del quoziente. Esempi di applicazioni delle regole di derivazione (ad esempio derivata dei polinomi e della funzione tangente). Non derivabilità della funzione modulo.
25/11/2020, 2 ore. Argomento: Derivata della composizione di funzioni. Notare che sulla regola di derivazione della composizione è stata data una dimostrazione non completa. Derivata della funzione inversa e applicazioni, in particolare dimostrazione della formula della derivata di funzioni inverse note (logaritmo e funzioni trigonometriche inverse). Qualche esempio di calcolo di derivate. Derivata in punti di massimo e di minimo di funzioni.
30/11/2020, 2 ore. Argomento: Estremi relativi e derivata in punti di estremo relativo. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange con interpretazione geometrica e meccanica. Teorema di Cauchy. Monotonia di funzioni e relazione col segno del rapporto incrementale. Conseguenze del teorema di Lagrange, in particolare relazione tra monotonia di una funzione e segno della sua derivata e relazione tra costanza di una funzione e annullamento della sua derivata. Applicazioni allo studio del grafico di una funzione con esempio. Qualche considerazione (somma di una funzione derivabile e di una non derivabile). Esempi di calcolo di derivate.
02/12/2020, 2 ore. Argomento: Derivate di ordine superiore al primo e modi diversi di denotarle. Significato fisico della derivata seconda. Funzioni convesse e concave: definizioni principali ed enunciati senza dimostrazione delle caratterizzazioni per funzioni di classe C^1 e di classe C^2 su intervalli (ossia una funzione C^1 è convessa se e solo se la derivata è crescente, che a sua volta equivale al fatto che il grafico della funzione "sta sopra" la retta tangente in un punto; una funzione C^2 è convessa se e solo se la derivata seconda è non negativa. Discorsi simili per le funzioni concave). Cenno a funzioni strettamente convesse e strettamente concave. Punti di flesso. Formule di L'Hopital in tutti i casi con dimostrazione in un caso; qualche esempio. Formula di Taylor del primo ordine; "o piccolo".
03/12/2020, 2 ore. Argomento: Formula di Taylor con resto di Peano ad ogni ordine con dimostrazione. Unicità del polinomio che soddisfa la proprietà del resto di Peano. Teorema del binomio con dimostrazione che usa la formula di Taylor e interpretazione col triangolo di Pascal-Tartaglia. Formula di Maclaurin. Un esempio di uso della formula di Taylor per calcolare i limiti di funzioni.
09/12/2020, 2 ore. Argomento: Polinomio di Taylor centrato in 0 per le funzioni più usuali, in particolare esponenziale, seno, coseno, ln(1+x), (1+x)^a. Uso per il calcolo dei limiti. Forma di Lagrange del resto (senza dimostrazione). Serie di Taylor. Sviluppo in serie di Taylor di esponenziale, seno, coseno. Polinomio di Taylor di funzioni collegate con funzioni note (ad esempio e^(x^2)).
10/12/2020, 2 ore. Argomento: "o piccolo" e "o grande". Esempio di uso della forma di Lagrange del resto della formula di Taylor per calcolare i valori di funzioni con buona approssimazione. Espressioni in serie di Taylor (centrata in 0) anche delle funzioni (1+x)^a, ln(1+x). Funzioni analitiche, esempio di funzione C infinito ma non analitica (cenno). Serie di potenze reali: definizione, raggio di convergenza, cerchio di convergenza; calcolo del raggio di convergenza mediante la formula 1/(limsup radice n(|a_n|)). Qualche esempio. Cenno al fatto che ogni serie di potenze è una serie di Taylor (senza dimostrazione). Cenno ad asintoti di una funzione.
14/12/2020, 2 ore.
Argomento:
Integrale di Riemann: motivazione e definizione
con formulazione equivalente. Suddivisioni di un intervallo
con proprietà relative. Le funzioni continue sono integrabili.
Alcune proprietà dell'estremo superiore ed estremo inferiore.
16/12/2020, 2 ore.
Argomento:
Ancora proprietà di estremo superiore ed estremo inferiore.
Proprietà dell'integrale definito
(non tutte dimostrate completamente): ad esempio
linearità,
monotonia, spezzamento dell'integrale sugli intervalli,
integrale del modulo e modulo dell'integrale.
Spezzamento dell'integrale sugli intervalli,
interpretazione geometrica
dell'integrale anche per funzioni non positive.
23/12/2020, 2 ore.
Argomento:
Integrale definito quando l'ordine degli estremi
di integrazione e' arbitrario. Teorema fondamentale
del calcolo integrale. Formula
fondamentale del calcolo integrale. Primitive. Integrali
fondamentali. Regole di integrazione: integrale della somma di due
funzioni, del prodotto di una funzione per una costante,
integrazione per sostituzione e per parti.
Qualche esempio. Integrazione di funzioni razionali (in parte).
07/01/2021, 2 ore.
Argomento:
Qualche precisazione sugli integrali di Riemann.
In particolare una fuznione limitata e con un numero
finito di punti di discontinuità è
integrabile Rieamnn, e cambiando una funzione in un numero finito di punti
l'integrale non cambia (dimostrazioni solo accennate).
Integrali impropri di tutti i tipi.
Calcolo esplicito di qualche integrale improprio.
Ogni funzione non negativa ha integrale improprio
(finito o infinito). Criteri per la convergenza di integrali impropri:
criterio del confronto, del confronto asintotico
e della convergenza assoluta.
Criterio del confronto tra serie e integrale improprio
per funzioni non negative e decrescenti.
11/01/2021, 2 ore. Argomento: Successioni e serie di numeri complessi. Definizioni e equivalenza delle definizioni con le analoghe su parte reale e parte immaginaria (ad esempio una successione complessa tende a un numero complesso se e solo se la parte reale tende alla parte reale e la parte immaginaria tende alla parte immaginaria). Alcuni dei teoremi principali visti come analoghi dei teoremi simili sulle successione e serie di numeri reali (ad esempio il limite della somma e' la somma dei limiti, il limite del prodotto e' il prodotto dei limiti). Somma e serie geometrica in campo complesso. Qualche esempio di applicazione a somme di seni e coseni. Criterio della convergenza assoluta e criterio della radice per serie complesse. Serie di potenze in campo complesso son risultato sul raggio e cerchio di convergenza. Precisazioni sulle serie. In particolare la coda di una serie convergente tende a 0, somme e serie telescopiche, cenno ai riordinamenti di una serie.
Esercitazioni e Lezioni di TUTORATO tenute da me
06/10/2020, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su vari argomenti
di richiami delle superiori:
manipolazioni algebriche
(ad esempio prodotti notevoli), proprietà
delle potenze, insiemi,
numeri razionali e irrazionali.
13/10/2020, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su
disequazioni (e in parte equazioni) e su grafici di funzioni.
20/10/2020, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su
disequazioni e su grafici di funzioni.
Una manipolazione algebrica. Somma delle prime n
potenze di esponente k fissato (cenno) e in particolare somma
dei primi n cubi.
27/10/2020, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su insiemistica, sul principio di induzione e sui
limiti di successioni.
04/11/2020, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su insiemistica, equazioni e disequazioni,
limiti di successioni anche di tipo teorico
(definizioni equivalenti o no alla definizione di limite).
11/11/2020, 1 ora.
Argomento:
Esercizi su limiti di funzione (e continuità), e
su limiti di successioni, tra cui limiti che usano il
teorema ponte.
12/11/2020, 1 ora.
Argomento:
Esercizi sui limiti di funzioni (e punti di
discontinuità di funzioni).
18/11/2020, 1 ora.
Argomento:
Limiti di successioni, limiti di funzioni
19/11/2020, 1 ora.
Argomento:
Limiti di funzioni.
25/11/2020, 1 ora.
Argomento:
Limiti di funzioni. Convergenza di serie.
26/11/2020, 3 ora.
Argomento:
Convergenza di serie. Esercizi di ricapitolazione:
Disequazioni, limiti di successioni, limiti di funzioni.
27/11/2020, 3 ore e mezza.
(tutorato in più online)
Argomento:
Esercizi di ricapitolazione.
02/12/2020, 1 ore.
Argomento:
Convergenza di serie.
03/12/2020, 1 ora.
Argomento:
Convergenza di serie. Calcolo di una derivata.
09/12/2020, 1 ora.
Argomento:
Convergenza di serie.
10/12/2020, 1 ora.
Argomento:
Convergenza di serie. Calcolo di derivate.
16/12/2020, 1 ora.
Argomento:
Studi di funzioni.
17/12/2020, 3 ore.
Argomento:
Studi di funzioni. Uso della formula di Taylor per il calcolo dei limiti
di funzioni. Correzione dgli esercizi del primo esonero, quindi in particoalre
disequazioni, limiti di successioni, convergenza di serie, limiti di fuznioni
e funzioni limitate.
21/12/2020, 4 ore.
Argomento:
Esercizi di ricapitolazione, in particolare
correzione di alcuni dei secondi esoneri degli anni passati.
23/12/2020, 1 ora.
Argomento:
Uso della formula di Taylor per il calcolo dei limiti di funzione.
07/01/2021, 1 ora.
Argomento:
Calcolo di integrali indefiniti,
in particolare integrali di funzioni
razionali con denominatore di secondo grado (in parte).
13/01/2021, 3 ore.
Argomento:
Calcolo di integrali, in particolare finendo gli integrali di funzioni
razionali con denominatore di secondo grado.
14/01/2021, 3 ore.
Argomento:
Calcolo di integrali indefiniti. Integrali impropri.
Altri esercizi sugli integrali. Cenno ad altri argomenti.
18/01/2021, 4 ore.
Argomento:
Esercizi di riepilogo, ad esempio studi di funzione,
uso della formula di Taylor per il calcolo dei limiti
di funzione, ma anche per altri scopi,
calcolo di integrali indefiniti.
Lezioni di TUTORATO tenute dall'esercitatore. Sono riportate sulla sua pagina web che si trova cliccando qui