Lezioni corso di Analisi I per Scienze e Tecnologie dei Media 2018/19
01/10/2018, 2 ore.
Argomento:
Richiami di insiemistica e di insiemi numerici
(naturali, interi, razionali, reali).
Alcune considerazioni di algebra elementare.
Equazioni e disequazioni di primo e secondo grado.
Disequazioni.
02/10/2018, 2 ore.
Argomento:
Considerazioni di algebra elementare. Una disequazione.
Proprietà dei numeri reali, definiti assiomaticamente.
Massimo, minimo, maggioranti ed estremo
superiore di un insieme.
Assioma dell'estremo superiore. Definizione di intervalli
(aperti, chiusi, semiaperti, semirette).
05/10/2018, 2 ore.
Argomento:
Minoranti, estremo superiore
ed estremo inferiore di un insieme. Insiemi superiormente
limitati, inferiormente limitati, limitati e finiti.
Distinzione tra insiemi finiti e insiemi limitati.
Gli insiemi finiti (non vuoti) hanno massimo e minimo.
Definizione di estremo superiore di insiemi superiormente
illimitati e di estremo inferiore di insiemi inferiormente illimitati.
Esistenza dell'estremo inferiore,
oltre a quella dell'estremo superiore, interpretazione,
e considerazioni collegate. Proprietà
delle potenze (a esponente naturale, intero, razionale e reale)
con relative definizioni.
08/10/2018, 2 ore.
Argomento:
Proprietà delle potenze.
Qualche esempio.
Prodotto cartesiano di due insiemi,
piano cartesiano, e richiamo delle principali
definizioni riguardanti il piano cartesiano.
Grafici di funzioni: Definizione e grafici
delle prime funzioni; essenzialmente funzioni
della forma ax+b, funzioni potenza.
Grafici di funzioni tipo f(x)+c e
tipo f(x+c) dedotto dal grafico di f (in casi specifici).
Grafico di polinomi di secondo grado con coefficiente direttivo
uguale a 1, e interpretazione grafica di equazioni
e disequazioni di secondo grado.
Definizione di funzioni pari, dispari, monotone.
12/10/2018, 2 ore.
Argomento:
Definizione e molte proprietà del valore assoluto.
Grafico della funzione valore assoluto.
Equazioni binomiali
(tipo x^n=a) e considerazioni collegate.
Disequazioni binomiali (tipo x^n minore di a, o simili)
con interpretazione grafica.
Grafici delle funzioni esponenziali.
Grafico di f(|x|) e |f| dedotti dal grafico di f.
Definizione e grafico del logaritmo.
15/10/2018, 2 ore.
Argomento:
Disuguaglianza triangolare relativa al modulo.
Grafico di f(ax) e di af dedotti dal grafico di f.
Proprietà del logaritmo.
Angoli in radianti e funzioni trigonometriche
seno, coseno e tangente, loro
principali proprietà e loro grafico.
Densità dei razionali e degli irrazionali.
Premessa al principio di induzione.
16/10/2018, 2 ore.
Argomento:
Funzione parte intera e suo grafico.
Principio del buon ordinamento.
Principio di induzione e applicazioni, disuguaglianza di
Bernoulli. Sommatorie: definizioni, proprietà,
e alcune sommatorie notevoli (es. somma dei primi
n naturali e somma di una progressione geometrica,
somma dei primi n quadrati).
Cenno ai polinomi, in particolare definizione di polinomio.
19/10/2018, 2 ore.
Argomento:
Altre proprietà delle sommatorie.
Definizione di successione. Esempi. Definizione
di limite (finito o infinito) di una successione,
detto anche in modi diversi. Unicità del limite
(con dimostrazione).
Algebra dei limiti, cenno a forme indeterminate.
Qualche esempio di limite.
22/10/2018, 2 ore.
Argomento:
Algebra dei limiti, anche quando il limite puà
essere +infinito o -infinito. Forme indeterminate. Teoremi di confronto.
Qualche esempio. Limiti di successioni di tipo potenza e di tipo esponenziale.
Successioni superiormente limitate, inferiormente limitate, limitate.
Relazione tra convergenza e divergenza
di una successione e sua limitatezza (in parte).
26/10/2018, 2 ore. Argomento: Relazione tra convergenza e divergenza di una successione e sua limitatezza. Intorni di un punto (finito o infinito) e definizione di limite usando gli intorni. Certe proprietà delle successioni riguardanti il limite dipendono solo dal comportamento della successione definitivamente. Limiti notevoli e confronto tra infiniti, fattoriale. Criterio del "rapporto" per limiti di successioni (idea del perché è ragionevole che valga, ma non ancora dimostrazione). Qualche esempio.
05/11/2018, 2 ore. Argomento: Dimostrazione che il limite della somma è uguale alla somma dei limiti e cenno sulla dimostrazione che il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti. Relazione tra limite di una successione e del suo modulo. Teorema della permanenza del segno e conseguenze. Dimostrazione del criterio del "rapporto" per limiti di successioni. Successioni monotone e strettamente monotone e limiti di successioni monotone; numero "e". Successioni che partono da un numero naturale diverso da 1. Limiti di successioni esponenziali con base negativa. Limite della radice ennesima di un numero positivo e di n. Qualche ulteriore precisazione sui limiti di successioni.
06/11/2018, 2 ore. Argomento: Limite della radice ennesima di n. Qualche esempio di limite di successione. Qualche richiamo e precisazione sui limiti di successione (ad esempio il limite della somma di una successione convergente e di una irregolare). Punti di accumulazione, teorema di Bolzano-Weierstrass. Sottosuccessioni (o successioni estratte). Relazione tra limite di una successione e di una sua estratta. Ogni successione ha un'estratta che ha limite con precisazione che se è limitata ha un'estratta convergente, se è superiormente illimitata ha un'estratta divergente positivamente, se è inferiormente illimitata ha un'estratta divergente negativamente. Tale teorema è stato per ora solo enunciato.
09/11/2018, 2 ore. Argomento: Dimostrazione che ogni successione ha un'estratta che ha limite con le precisazioni della lezione precedente, ossia che se è limitata ha un'estratta convergente, se è superiormente illimitata ha un'estratta divergente positivamente, se è inferiormente illimitata ha un'estratta divergente negativamente. Successioni di Cauchy e dimostrazione che una successione converge se e solo se è di Cauchy. Definizione di massimo limite e minimo limite di una successione (cenno). Domini di funzioni con esempio.
12/11/2018, 2 ore. Argomento: Definizione di limite di funzione in tutti i casi, con interpretazione geometrica. Definizione di limite di funzione usando gli intorni. Unicità del limite di funzione. Algebra dei limiti di funzione per limiti finiti. Limiti di una funzione costante. Definizione di funzione continua con interpretazione geometrica. Esempi di calcolo di limiti di successioni.
13/11/2018, 1 ora. Argomento: Algebra dei limiti di funzione. Forme indeterminate. Esempi di limiti di funzione. Continuità della somma, differenza, prodotto e quoziente di funzioni continue. Continuità dei polinomi e (solo enunciato) di funzioni abituali (esponenziali, potenze, logaritmi, seno e coseno). Dipendenza di limiti solo dai valori vicini al punto in cui si fa il limite.
16/11/2018, 2 ore. Argomento: Richiami sull'algebra dei limiti di funzioni. Definizione di funzione inferiormente limitata, superiormente limitata e limitata, e uso di tali nozioni per i limiti di funzione. Qualche esempio di funzione continua e di funzione discontinua, e di applicazione dei teoremi dati. Teorema della permanenza del segno per limiti di funzioni e funzioni continue. Conseguenze del teorema della permanenza del segno per limiti di funzioni (ossia la disuguaglianza larga "passa al limite"). Definizione di massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore di una funzione, e studio di questi concetti nel caso di funzioni monotone su intervalli in relazione ai valori agli estremi dell'intervallo, o al limite agli estremi dell'intervallo. Funzioni composte con esempi.
19/11/2018, 2 ore. Argomento: Relazione tra convergenza o divergenza di una funzione in un punto e limitatezza, superiore limitatezza, inferiore limitatezza. Precisazione su limite del quoziente anche se il denominatore si annulla. Continuità della composizione di funzioni continue (con dimostrazione). Restrizioni di funzioni. Limiti di restrizioni, relazione tra limite della funzione f(x) per x che tende a +infinito e limite della successione f(n) per n che tende a +infinito. Limite destro e sinistro, e relazione tra limite destro e sinistro e limite, con qualche esempio. Elenco di limiti di funzioni notevoli sia a +infinito sia a 0. Qualche esempio.
20/11/2018, 1 ora. Argomento: Relazione tra limite di funzione e del suo modulo. Richiamo sui limiti di funzioni notevoli (con aggiunta di uno nuovo) sia a +infinito sia a 0. Cambio di variabile nei limiti. Esempi.
23/11/2018, 2 ore. Argomento: Ancora cambio di variabili (o sostituzione) nei limiti (enunciato preciso e idea di dimostrazione). Dimostrazione di quasi tutti i principali limiti notevoli, e della continuità delle funzioni trigonometriche. Altri esempi di calcolo di limiti di funzioni, in particolare limiti che usano il cambio di variabile. Due funzioni che coincidono in un intervallo aperto I in I hanno gli stessi punti di continuità (forse fatto in una lezione precedente).
27/11/2018, 2 ore. Argomento: Dimostrazione di un ultimo limite notevole. Teorema "ponte" e applicazioni. Teorema dell'esistenza degli zeri (con idea della dimostrazione) e applicazioni. Esempi di limiti di funzione e di funzioni continue.
30/11/2018, 2 ore. Argomento: Dimostrazione del teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Concetto di intervallo e sua caratterizzazione (insieme tale che, dati due elementi degli insieme, tutti gli elementi compresi tra i due appartengono all'insieme). Concetto di funzione inversa. L'inversa di una funzione continua e strettamente monotona è continua (non data la dimostrazione del fatto che è continua) e strettamente monotona (dello stesso tipo di monotonia della funzione data). Esempi di funzione inversa: radici di indice pari e dispari, logaritmo naturale, arcotangente, arcoseno. Grafico di arcotangente.
03/12/2018, 2 ore. Argomento: Arcocoseno. Dimostrazione del fatto che la funzione inversa di una funzione continua e strettamente monotona è continua. Teorema di Weierstrass sui valori estremi. Concetto di funzione uniformemente continua e teorema di Heine-Cantor. Serie di numeri reali: introduzione, definizioni fondamentali, esempi, serie geometrica. Relazione tra convergenza di una serie e convergenza a 0 del termine generale della serie.
04/12/2018, 2 ore. Argomento: Ancora relazione tra convergenza di una serie e convergenza a 0 del termine generale della serie. Serie a termini non negativi. Ancora serie geometrica. Serie armonica e armonica generalizzata. Effetto del cambiamento dei primi termini su una serie. Linearita' della somma di una serie. Spezzamento di una serie in una somma di un numero finito di termini e di un'altra serie. Criteri del confronto e (solo enunciato) del confronto asintotico. Esempi.
07/12/2018, 2 ore. Argomento: Relazione tra serie e sviluppo decimale. Crieri del contronto, del confronto asintotico, del rapporto e della radice per serie a termini non negativi. Vari esempi.
10/12/2018, 2 ore. Argomento: Serie a segno alterno e criterio di Leibniz. Criterio di Cauchy per serie numeriche. Definizione di serie assolutamente convergente e criterio della convergenza assoluta. Criteri della radice e del rapporto per serie a termini qualunque. Esempi. Cenno ai riordinamenti di una serie (non si mantiene la proprietà commutativa della somma sulle serie).
14/12/2018, 2 ore. Argomento: Successioni e serie di numeri complessi. Definizioni e equivalenza delle definizioni con le analoghe su parte reale e parte immaginaria (ad esempio una successione complessa tende a un numero complesso se e solo se la parte reale tende alla parte reale e la parte immaginaria tende alla parte immaginaria). Alcuni dei teoremi principali visti come analoghi dei teoremi simili sulle successione e serie di numeri reali (ad esempio il limite della somma e' la somma dei limiti, il limite del prodotto e' il prodotto dei limiti). Somma e serie geometrica in campo complesso. Qualche esempio di applicazione a somme di seni e coseni. Criterio della convergenza assoluta e criterio della radice per serie complesse. Somme e serie telescopiche. Qualche considerazione sulla serie geometrica in campo reale (casi in cui la serie è indeterminata).
18/12/2018, 2 ore. Argomento: Definizione di derivata e sua interpretazione meccanica e geometrica. Notazioni per la derivata. Rapporto incrementale. Scrittura in diverse forme del limite definente la derivata. Relazione tra derivabilità e continuità. Derivata delle principali funzioni. Regole di derivazione della somma, della differenza, del prodotto, del quoziente e della composizione. Notare che sulla regola di derivazione della composizione è stata data una dimostrazione non completa. Esempi di applicazioni delle regole di derivazione (ad esempio derivata dei polinomi e della funzione tangente). Continuità e non derivabilità della funzione modulo.
21/12/2018, 2 ore. Argomento: Derivata della funzione inversa e applicazioni, in particolare dimostrazione della formula della derivata di funzioni inverse note (logaritmo e funzioni trigonometriche inverse). Qualche esempio di calcolo di derivate. Punti interni ad un insieme. Derivata in punti di massimo e di minimo di funzioni. Teorema di Rolle con dimostrazione. La derivata in un punto dipende solo dai valori della funzione nei punti vicini.
08/01/2019, 2 ore. Argomento: Estremi relativi e derivata in punti di estremo relativo. Teorema di Lagrange con interpretazione geometrica e meccanica. Teorema di Cauchy. Monotonia di funzioni e relazione col segno del rapporto incrementale. Relazione tra monotonia di una funzione e segno della sua derivata. Conseguenze del teorema di Lagrange, in particolare relazione tra monotonia di una funzione e segno della sua derivata e relazione tra costanza di una funzione e annullamento della sua derivata. Applicazioni allo studio del grafico di una funzione con esempi. Qualche considerazione (somma di una funzione derivabile e di una non derivabile).
09/01/2019, 2 ore. Argomento: Derivate di ordine superiore al primo e modi diversi di denotarle. Significato fisico della derivata seconda. Funzioni convesse e concave: definizioni principali ed enunciati senza dimostrazione delle caratterizzazioni per funzioni di classe C^1 e di classe C^2 su intervalli (ossia una funzione C^1 è convessa se e solo se la derivata è crescente, che a sua volta equivale al fatto che il grafico della funzione "sta sopra" la retta tangente in un punto; una funzione C^2 è convessa se e solo se la derivata seconda è non negativa. Discorsi simili per le funzioni concave). Cenno a funzioni strettamente convesse e strettamente concave. Punti di flesso. Ancora teorema di Cauchy. Formule di L'Hopital in tutti i casi con dimostrazione in un caso; qualche esempio. Formula di Taylor del primo ordine; "o piccolo".
11/01/2019, 2 ore. Argomento: Formula di Taylor con resto di Peano ad ogni ordine con dimostrazione. Cenno ad uso per il calcolo dei limiti di funzione. Unicità del polinomio che soddisfa la proprietà del resto di Peano. Teorema del binomio con dimostrazione che usa la formula di Taylor e interpretazione col triangolo di Pascal-Tartaglia.
14/01/2019, 2 ore. Argomento: Polinomio di Taylor centrato in 0 per le funzioni più usuali, in particolare esponenziale, seno, coseno, ln(1+x), (1+x)^a. Uso per il calcolo dei limiti. Forma di Lagrange del resto (senza dimostrazione). Serie di Taylor. Sviluppo in serie di Taylor di esponenziale, seno, coseno. Polinomio di Taylor di funzioni collegate con funzioni note (ad esempio sin(x^2)). Esempio di calcolo di derivata.
18/01/2019, 2 ore. Argomento: "o piccolo" e "o grande". Esempi di uso della forma di Lagrange del resto della formula di Taylor per calcolare i valori di funzioni con buona approssimazione. Espressioni in serie di Taylor (centrata in 0) anche delle funzioni (1+x)^a, ln(1+x). Funzioni analitiche, esempio di funzione C infinito ma non analitica (cenno). Serie di potenze reali (ma cenno anche ai corrispondenti risultati per serie complesse): definizione, raggio di convergenza, cerchio di convergenza; calcolo del raggio di convergenza mediante la formula 1/(limsup radice n(|a_n|)). Cenno al fatto che ogni serie di potenze è una serie di Taylor (senza dimostrazione). Richiami su alcune proprietà dei polinomi tipo divisione tra polinomi e relazione tra radici di un'equazione e divisibiltà del polinomio per x-a. Cenno ad asintoti di una funzione.
Esercitazioni e Lezioni di TUTORATO tenute da me
09/10/2018, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su vari argomenti
di richiami delle superiori:
manipolazioni algebriche, proprietà
delle potenze, insiemi,
numeri razionali e irrazionali.
12/10/2018, 2 ore.
Argomento:
Esercizi ancora su proprietà delle potenze. Equazioni e disequazioni.
Grafici di funzioni.
19/10/2018, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su equazioni, disequazioni e
grafici di funzioni.
24/10/2018, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su disequazioni,
grafici di funzioni e principio di induzione.
26/10/2018, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su disequazioni,
grafici di funzioni, insiemistica e limiti di successioni.
09/11/2018, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su insiemi, estremo superiore ed inferiore, grafici di funzione,
calcolo del limite di successioni.
13/11/2018, 1 ora.
Argomento:
Esempi di calcolo di limiti di successioni.
16/11/2018, 2 ore.
Argomento:
Grafici di funzioni.
Esercizi su definione di limite di successioni e su un teorema
sui limiti di successioni.
Esempi di calcolo di limiti di successioni.
20/11/2018, 1 ora.
Argomento:
Calcolo di limiti di funzione (anche col cambio di variabile).
23/11/2018, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su limiti di funzioni, dominio di funzioni,
limiti di successioni (anche esercizi teorici al riguardo),
disequazioni.
11/12/2018, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su limiti di funzioni e argomenti collegati, e
convergenza di serie.
15/12/2018, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su argomenti vari: serie, limiti di funzioni
(e di successioni) e funzioni continue,
disequazioni, disuguaglianze.
15/01/2019, 2 ore.
Argomento:
Calcolo di derivate. Studi di funzioni.
18/01/2019, 2 ore.
Argomento:
Studi di funzioni, anche usati per determinare il numero
di radici di un'equazione . Formula di Taylor, usata
per calcolare i limiti di funzione.
Lezioni di TUTORATO tenute dal tutore
22/11/2018, 2 ore.
Argomento:
Calcolo di limiti di funzione.
29/11/2018, 2 ore.
Argomento:
Calcolo di limiti di funzione.
06/12/2018, 2 ore.
Argomento:
Limiti di funzioni e funzioni continue. Limiti di successioni.
Serie numeriche.
13/12/2018, 2 ore.
Argomento:
Serie numeriche.
20/12/2018, 2 ore.
Argomento:
Serie numeriche. Calcolo di derivate.
10/01/2019, 2 ore.
Argomento:
Calcolo di derivate. Studi di funzioni.
17/01/2019, 2 ore.
Argomento:
Studi di funzioni. Formula di Taylor e suo uso
per calcolare i limiti di funzione.