Lezioni corso di Analisi I per Scienze e Tcenologie dei Media 2016/17
26/09/2016, 2 ore.
Argomento:
Richiami di insiemistica e di insiemi numerici
(naturali, interi, razionali, reali).
30/09/2016, 2 ore.
Argomento:
Proprietà dei numeri reali, definiti assiomaticamente.
Massimo, minimo, maggioranti ed estremo superiore
di un insieme. Assioma dell'estremo superiore,
con interpretazione e conseguenze.
03/10/2016, 2 ore.
Argomento:
Ancora massimo, minimo, maggioranti, minoranti, estremo superiore ed
estremo inferiore di un insieme.
Insiemi superiormente limitati, inferiormente limitati,
limitati e finiti. Distinzione tra insiemi finiti e insiemi limitati.
Gli insiemi finiti (non vuoti) hanno massimo e minimo.
Definizione di estremo superiore
di insiemi superiormente illimitati
e di estremo inferiore di insiemi inferiormente illimitati.
Disequazioni di primo grado, equazioni e disequazioni
di secondo grado, disequazioni più generali.
Proprietà delle potenze (a esponente naturale, intero e razionale
con relative definizioni).
04/10/2016, 2 ore.
Argomento:
Proprietà delle potenze, in particolare proprietà
di crescenza
delle potenze. Definizione e proprietà
delle potenze ad esponente reale.
Prodotto cartesiano di due insiemi, piano cartesiano, e
richiamo delle princiapli definizioni riguardanti il piano cartesiano.
Grafici di funzioni: Definizione e grafici delle prime funzioni:
essenzialmente funzioni della forma ax+b, funzioni potenza.
Grafici di funzioni tipo f(x)+c e tipo f(x+c) dedotto dal grafico di f.
Grafico di polinomi di secondo grado con coefficiente direttivo uguale ad 1.
07/10/2016, 2 ore.
Argomento:
Definizione e proprietà del logaritmo.
Definizione e prime proprietà
del valore assoluto. Grafici di queste due funzioni. Grafico
di f(|x|) e |f| dedotti dal grafico di f. Funzioni pari, dispari e monotone.
Equazioni binomiali (tipo x^n=a) e considerazioni collegate.
10/10/2016, 2 ore.
Argomento:
Ulteriori proprietà
della funzione modulo, disuguaglianza triangolare.
Disequazioni binomiali (tipo x^n minore di a, o simili).
Angoli in radianti e funzioni trigonometriche seno, coseno e tangente.
Grafico di seno e coseno. Grafico di f(ax) e di af dedotti dal grafico di f.
Densità dei razionali e degli irrazionali. Principio del buon ordinamento
e questioni collegate.
11/10/2016, 2 ore.
Argomento:
Funzione parte intera e suo grafico. Principio di induzione e applicazioni,
disuguaglianza di Bernoulli. Sommatorie: definizioni,
prime proprietà, e alcune sommatorie notevoli
(es. somma dei primi n naturali e somma di una progressione geometrica).
Richiami su argomenti precedenti, tipo
proprietà delle potenze e disequazioni.
14/10/2016, 2 ore.
Argomento:
Definizione di successione. Esempi. Definizione di limite (finito o infinito)
di una successione, detto anche in modi diversi.
Unicità del limite. Algebra dei limiti. Qualche forma indeterminata.
Qualche esempio di limite.
17/10/2016, 2 ore.
Argomento:
Algebra dei limiti, anche quando il limite può
essere +infinito o -infinito.
Forme indeterminate. Teoremi di confronto. Qualche dimostrazione dei teoremi
dell'unicità e del confronto tra limiti. Qualche esempio.
Limiti di successioni di tipo potenza
e di tipo esponenziale. Limiti "a pezzi".
18/10/2016, 2 ore. Argomento: Richiami sul problema del limite a pezzi. Limiti notevoli e confronto tra infiniti, fattoriale. Criterio del "rapporto" per limiti di successioni. Successioni superiormente limitate, inferiormente limitate, limitate. Relazione tra convergenza e divergenza di una successione e sua limitatezza. Qualche esempio. Certe proprietà delle successioni riguardanti il limite dipendono solo dal comportamento della successione definitivamente. Dimostrazione che il limite della somma è uguale alla somma dei limiti.
21/10/2016, 2 ore. Argomento: Relazione tra limite di una successione e del suo modulo. Algebra dei limiti con successioni inferiormente limitate, superiormente limitate, limitate. Teorema della permanenza del segno e conseguenze. Dimostrazione del criterio del "rapporto" per limiti di successioni. Successioni monotone e strettamente monotone e limiti di successioni monotone; numero "e". Successioni che partono da un numero naturale diverso da 1. Qualche ulteriore precisazione sui limiti di una successione, in particolare limiti di successioni esponenziali con base negativa. Limite della radice ennesima di un numero positivo e di n. Qualche esempio.
24/10/2016, 2 ore. Argomento: Ancora sul limite della radice ennesima di un numero positivo e di n. Intorni, definizione di limite di successione vista con gli intorni. Punti di accumulazione, teorema di Bolzano-Weierstrass. Sottosuccessioni (o successioni estratte). Relazione tra limite di una successione e di una sua estratta. Ogni successione ha un'estratta che ha limite (dimostrato parzialmente).
25/10/2016, 2 ore. Argomento: Ogni successione limitata ha un'estratta convergente. Successioni di Cauchy e criterio di convergenza di Cauchy per una successione. Definizione di massimo limite e minimo limite di una successione (cenno). Esercizi sui grafici di funzione e sui limiti di successione.
28/10/2016, 2 ore. Argomento: Funzioni, domini di funzioni con qualche esempio. Definizione di limite di funzione in tutti i casi, con interpretazione geometrica. Definizione di limite di funzione usando gli intorni. Unicità del limite di funzione. Algebra dei limiti di funzione per limiti finiti. Primi esempi (funzione costante ed identità).
04/11/2016, 2 ore. Argomento: Definizione di funzione continua con interpretazione geometrica. Algebra dei limiti di funzione. Forme indeterminate. Esempi di limiti di funzione. Teoremi di confronto per limiti di funzioni. Continuità della somma, differenza, prodotto e quoziente di funzioni continue. Continuità dei polinomi e (solo enunciato) di funzioni abituali (esponenziali, potenze, logaritmi, seno e coseno). Dipendenza di limiti solo dai valori vicini al punto in cui si fa il limite. Definizione di funzione inferiormente limitata, superiormente limitata e limitata, e uso di tali nozioni per i limiti di funzione. Qualche esempio di funzione continua e di funzione discontinua, e di applicazione dei teoremi dati.
07/11/2016, 2 ore. Argomento: Teorema della permanenza del segno e conseguenze per limiti di funzioni e funzioni continue. Definizione di massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore di una funzione, e studio di questi concetti nel caso di funzioni monotone su intervalli in relazione ai valori agli estremi dell'intervallo, o al limite agli estremi dell'intervallo. Dimostrazione che il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti. Relazione tra convergenza o divergenza di una funzione in un punto e limitatezza, superiore limitatezza, inferiore limitatezza. Funzioni composte. Continuità della composizione di funzioni continue (senza dimostrazione) ed esempi.
08/11/2016, 2 ore. Argomento: Continuità della composizione di funzioni continue (dimostrazione) ed esempi. Limiti di restrizioni, applicazioni a relazione tra limite della funzione f(x) per x che tende a +infinito e limite della successione f(n) per n che tende a +infinito. Limite destro e sinistro, e relazione tra limite destro e sinistro e limite, con qualche esempio. Elenco di limiti di funzioni notevoli sia a +infinito sia a 0. Qualche esempio. Cambio di variabili (o sostituzione) nei limiti (considerazioni generali e qualche esempio). Relazione tra limite di una funzione e del suo modulo.
11/11/2016, 2 ore. Argomento: Cambio di variabili (o sostituzione) nei limiti (enunciato preciso e idea di dimostrazione). Dimostrazione di tutti i principali limiti notevoli, e della continuità delle funzioni trigonometriche. Altri esempi di calcolo di limiti di funzioni, in particolare limiti che usano il cambio di variabile.
14/11/2016, 2 ore. Argomento: Ancora esempi di limiti di funzioni. Cambi di variabile tipici nei limiti di funzioni. Teorema "ponte" e applicazioni. Teorema dell'esistenza degli zeri (con parte della dimostrazione) e applicazioni.
15/11/2016, 2 ore. Argomento: Fine della dimostrazione del teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Limiti di funzioni monotone. Concetto di intervallo e sua caratterizzazione (insieme tale che, dati due elementi degli insieme, tutti gli elementi compresi tra i due appartengono all'insieme). Concetto di funzione inversa. L'inversa di una funzione continua e strettamente monotona e' continua (solo cenno di dimostrazione) e strettamente monotona (dello stesso tipo di monotonia della funzione data). Esempi di funzione inversa: radici di indice pari e dispari, logaritmo naturale, arcoseno, arcocoseno e arcotangente. Dimostrazione che le funzioni esponenziale, logaritmo e potenza sono continue. Grafico di tangente e arcotangente.
22/11/2016, 2 ore. Argomento: Altre considerazioni sui limiti di funzione; in particolare limiti a + infinito dell'arcotangente, studio di limiti di funzioni tipo f elevato a g e cambi di variabile, ad esempio riduzione di un limite per x che tende a un numero reale a un limite per x che tende a 0. Qualche esempio di uso del teorema ponte. Concetto di funzione uniformemente continua e teorema di Heine-Cantor. Serie di numeri reali: introduzione, definizioni fondamentali, esempi, serie geometrica.
25/11/2016, 2 ore. Argomento: Serie a termini non negativi. Relazione tra convergenza di una serie e convergenza a 0 del termine generale della serie. Ancora serie geometrica. Serie armonica e armonica generalizzata. Effetto del cambiamento dei primi termini su una serie. Linearita' della somma di una serie. Spezzamento di una serie in una somma di un numero finito di termini e di un'altra serie. Criterio del confronto. Esempi.
28/11/2016, 2 ore. Argomento: Relazione tra serie e sviluppo decimale. Crieri del contronto, del confronto asintotico, del rapporto e della radice per serie a termini non negativi. Vari esempi.
29/11/2016, 2 ore. Argomento: Serie a segno alterno e criterio di Leibniz. Criterio di Cauchy per serie numeriche. Definizione di serie assolutamente convergente e criterio della convergenza assoluta. Criteri della radice e dela rapporto per serie a termini qualunque. Esempi.
02/12/2016, 2 ore. Argomento: Successioni e serie di numeri complessi. Definizioni e equivalenza delle definizioni con le analoghe su parte reale e parte immaginaria (ad esempio una successione complessa tende a un numero complesso se e solo se la parte reale tende alla parte reale e la parte immaginaria tende alla parte immaginaria). Alcuni dei teoremi principali visti come analoghi dei teoremi simili sulle successione e serie di numeri reali (ad esempio il limite della somma e' la somma dei limiti, il limite del prodotto e' il prodotto dei limiti). Somma e serie geometrica in campo complesso. Qualche esempio di applicazione a somme e serie di seni e coseni. Criterio della convergenza assoluta per serie complesse. Funzioni continue: la continuità di una funzione in un punto di un intervallo aperto dipende solo dai valori della funzione su quell'intervallo aperto, tipi di discontinuità e discorsi collegati sui limiti di funzione.
05/12/2016, 2 ore. Argomento: Ancora precisazioni sui tipi di dicontinuità di una funzione. Definizione di derivata e sua interpretazione meccanica e geometrica. Notazioni per la derivata. Rapporto incrementale. Scrittura in diverse forme del limite definente la derivata. Relazione tra derivabilità e continuità. Derivata delle principali funzioni. Regole di derivazione della somma, della differenza, del prodotto, del quoziente. Esempi di applicazioni delle regole di derivazione. Continuità e non derivabilità della funzione modulo.
06/12/2016, 2 ore. Argomento: Derivata della funzione composta (non dimostrata completamente) e della funzione inversa e applicazioni, in particolare dimostrazione della formula della derivata di funzioni inverse note (logaritmo e funzioni trigonometriche inverse). Qualche esempio di calcolo di derivate, in particolare derivata di polinomi. Derivata in punti di massimo e di minimo di funzioni. Teorema di Rolle.
16/12/2016, 2 ore. Argomento: Punti interni ad un insieme. Estremi relativi e derivata in punti di estremo relativo. Dipendenza della derivata solo dai valori vicini al punto in cui si fa la derivata. Dimostrazione del teorema di Rolle. Teorema di Lagrange con interpretazione geometrica e meccanica. Monotonia di funzioni e relazione col segno del rapporto incrementale. Relazione tra monotonia di una funzione e segno della sua derivata. Conseguenze del teorema di Lagrange, in particolare relazione tra monotonia di una funzione e segno della sua derivata e relazione tra costanza di una funzione e annullamento della sua derivata. Applicazioni allo studio del grafico di una funzione. Esempio di calcolo della derivata di una funzione.
19/12/2016, 2 ore. Argomento: Derivate di ordine superiore al primo e modi diversi di denotarle. Significato fisico della derivata seconda. Funzioni convesse e concave: definizioni principali ed enunciati senza dimostrazione delle caratterizzazioni per funzioni di classe C^1 e di classe C^2 su intervalli aperti (ossia una funzione C^1 è convessa se e solo se la derivata è crescente, che a sua volta equivale al fatto che il grafico della funzione "sta sopra" la retta tangente in un punto; una funzione C^2 è convessa se e solo se la derivata seconda è non negativa. Discorsi simili per le funzioni concave). Cenno a funzioni strettamente convesse e strettamente concave. Teorema di Cauchy. Formule di L'Hopital in tutti i casi con dimostrazione in un caso; qualche esempio. Formula di Taylor del primo ordine.
20/12/2016, 2 ore. Argomento: Dimostrazione della formula di Taylor col resto di Peano per i primi tre ordini ed enunciato del caso di ordine n qualunque. Scrittura esplicita della formula di Taylor di ordine n quando la funzione è esponenziale, seno, coseno. Uso della formula di Taylor per il calcolo di limiti di funzioni in esempi.
09/01/2017, 2 ore. Argomento: Dimostrazione della formula di Taylor con resto di Peano ad ogni ordine. Scrittura esplicita della formula di Taylor di ordine n quando la funzione è ln(1+x), (1+x)^a. Teorema del binomio con dimostrazione che usa la formula di Taylor e interpretazione col triangolo di Pascal-Tartaglia. Resto di Lagrange della formula di Taylor.
10/01/2017, 2 ore. Argomento: Esempi di uso della forma di Lagrange del resto della formula di Taylor per calcolare i valori di funzioni con buona approssimazione. Serie di Taylor. Espressioni in serie di Taylor (centrata in 0) delle funzioni e^x, sin x, cos x, (1+x)^a, ln(x). Funzioni analitiche, esempio di funzione C infinito ma non analitica (cenno). Serie di potenze reali (ma cenno anche ai corrispondenti risultati per serie complesse): definizione, raggio di convergenza, cerchio di convergenza; calcolo del raggio di convergenza mediante la formula 1/(limsup radice n(|a_n|)). Cenno al fatto che ogni serie di potenze è una serie di Taylor (senza dimostrazione).
Lezioni di TUTORATO tenute da me
28/10/2016, 2 ore. Argomento: Manipolazioni algebriche, proprieta' delle potenze (in particolare di crescenza), insiemistica, numeri razionali, grafici di funzioni.
04/11/2016, 2 ore. Argomento: Disequazioni, grafici di funzioni, limiti di successioni.
07/11/2016, 1 ora. Argomento: Disequazioni.
28/11/2016, 1 ora. Argomento: Esercizi sugli argomenti: limiti di successioni (in particolare con l'uso del teorema ponte), limiti di funzioni, serie, disequazioni.
05/12/2016, 1 ora. Argomento: Serie.
07/12/2016, 1 ora. Argomento: Serie.
21/12/2016, 2 ore. Argomento: Calcolo di derivate. Uno studio di funzione.
13/01/2017, 2 ore. Calcolo di derivate, funzioni uniformemente continue, studi di funzioni, limiti di funzioni con la formula di Taylor e applicazioni allo studio delle serie.
Lezioni di TUTORATO tenute dal tutore 05/11/2016, 2 ore. Argomento: Grafici di funzioni, limiti di successioni, cenno alle disequazioni.
11/11/2016, 2 ore. Argomento: Qualche esempio di grafico di funzioni, limiti di successioni, disequazioni.
02/12/2016, 2 ore. Argomento: Limite di successioni con il teorema ponte, limiti di funzioni, serie.
12/12/2016, 2 ore. Argomento: Serie e limiti di funzioni.
16/12/2016, 2 ore. Argomento: Calcolo di derivate. Serie. Limiti di funzioni.
22/12/2016, 2 ore. Argomento: Studi di funzioni. Calcolo di limiti con l'uso della formula di Taylor.
13/01/2017, 2 ore. Calcolo di derivate, studi di funzioni, limiti di funzioni con la formula di Taylor.