Lezioni del corso

01/03/2010, 2 ore. Argomento: Panoramica sugli argomenti del corso: Esempi di equazioni a derivate parziali, esempi di frattali, analogie e differenze tra l' analisi sui frattali e quella negli spazi euclidei. Laplaciano e sua interpretazione in termini di media della funzione.

02/03/2010, 2 ore. Argomento: Interpretazione del laplaciano in termini di media della funzione. Funzioni armoniche. Introduzione alle proprieta' di media per funzioni armoniche. Uso delle formule di Green e della divergenza. Funzioni armoniche radiali.

05/03/2010, 2 ore. Argomento: Dimostrazione delle proprieta' di media delle funzioni armoniche. Principio del massimo. Introduzione al problema di Dirichlet.

09/03/2010, 2 ore. Argomento: Problema di Dirichlet sulla palla in dimensione arbitraria. Funzione di Green.

10/03/2010, 2 ore. Argomento: Problema di Dirichlet sulla palla in dimensione arbitraria. Conseguenze, e in particolare conseguenze della proprieta' della media. Convergenza di funzioni armoniche e proprieta' di compattezza. Disuguaglianza di Harnack. Teorema di Liouville.

12/03/2010, 2 ore. Argomento: Cenno all'analiticita' delle funzioni armoniche. Definizione e prime proprieta' delle funzioni subarmoniche. Soluzione del problema di Dirichlet nel caso generale col metodo di Perron.

16/03/2010, 2 ore. Argomento: Soluzione del problema di Dirichlet nel caso generale col metodo di Perron. Concetto di barriera. Esempi collegati col teorema di Liouville. Inizio della dimostrazione che le funzioni armoniche sono analitiche. Il laplaciano e' invariante per rotazioni.

17/03/2010, 2 ore. Argomento: Fine della dimostrazione che le funzioni armoniche sono analitiche. Lemma di Weyl.

19/03/2010, 2 ore. Argomento: Problema di Dirichlet con Laplaciano a valori fissati nell'interno.

23/03/2010, 2 ore. Argomento: Problema di Dirichlet con Laplaciano a valori fissati nell'interno.

24/03/2010, 2 ore. Argomento: Interpretazione variazionale delle funzioni armoniche. Lemma di Weyl.

26/03/2010, 2 ore. Argomento: Fine della dimostarzione del Lemma di Weyl. Principio di riflessione per le funzioni armoniche. Piccole considerazioni sulle funzioni armoniche e subarmoniche. Barriere su insiemi con frontiera di classe C2. Richiami su P.D.E. generali. Equazioni ellittiche e principio del massimo per equazioni ellittiche.

30/03/2010, 2 ore. Argomento: Principio del massimo per equazioni ellittiche e conseguente unicita' della soluzione del problema di Dirichlet. Equazione delle onde in dimensione 1. Barriere su insiemi con frontiera di classe C2.

31/03/2010, 2 ore. Argomento: Equazione delle onde in dimensione 1 e loro soluzione completa. Soluzione del problema di Cauchy relativo e cenno al problema di Cauchy nel caso generale delle P.D.E. Richiami sui teoremi di punto fisso. Teorema delle contrazioni con dimostrazione. Teorema di Brouwer (enunciato). Barriere su insiemi con frontiera di classe C2. Funzioni subarmoniche e laplaciano. Autovalori del laplaciano in dimensione 1.

06/04/2010, 2 ore. Argomento: Insiemi convessi e convessificati di insiemi. Distanza da insiemi e punti di minima distranza da un chiuso convesso. Simplessi. Baricentro e suddivisione baricentrica.

07/04/2010, 2 ore. Argomento: Suddivisione baricentrica, facce di un simplesso. Lemma di Sperner. Teorema del punto fisso (per compatti convessi in uno spazio euclideo).

09/04/2010, 2 ore. Argomento: Teoremi del punto fisso di Browver e Schauder. Introduzione ai frattali autosimili. Metrica di Hausdorff sui chiusi limitati non vuoti. Sua completezza se lo spazio di partenza e' metrico completo.

13/04/2010, 2 ore. Argomento: Ancora completezza della metrica di Hausdorff. Insiemi autosimili generati da un insieme finito di similitudini contrattive. Misura di Hausdorff.

14/04/2010, 2 ore. Argomento: Misura di Hausdorff. Definizione equivalente con ricoprimenti aperti e chiusi. Misurabilita' dei Boreliani rispetto alla misura di Hausdorff.

16/04/2010, 2 ore. Argomento: Dimensione di Hausdorff. Cenno alla dimensione topologica. Le similitudini contrattive in uno spazio euclideo sono omemomorfismi affini. O.S.C. (Open Set Condition) per frattali autosimili. Dimensione di Hausdorff di frattali soddisfacenti O.S.C.

20/04/2010, 2 ore. Argomento: Dimensione di Hausdorff di frattali soddisfacenti O.S.C.

21/04/2010, 2 ore. Argomento: Misura di Hausdorff su frattali autosimili. Introduzione all'analisi su frattali autosimili. Interpretazione del funzionale dell'energia sul segmento come limite di energie su sottoinsiemi finiti. Energia sul Gasket al passo 0, e poi al passo n. Energia su tutto il Gasket come limite di energia al passo n.

23/04/2010, 2 ore. Argomento: L'energia sul Gasket si annulla esattamente sulle funzioni costanti. Estensione armonica al passo 1 di una funzione definita al passo 0; principio del massimo e diminuzione dell'oscillazione. Idea dell'estensione armonica su tutto il Gasket, e del fatto che le funzioni a energia finita sono dense nelle funzioni continue.

27/04/2010, 2 ore. Argomento: Estensione armonica su tutto il Gasket di una funzione definita al primo passo.

28/04/2010, 2 ore. Argomento: Densita' delle funzioni a energia finita nello spazio delle funzioni continue sul Gasket. Estensione armonica sul Gasket.

30/04/2010, 2 ore. Argomento: Forme di Dirichlet con buone proprieta' sui frattali. Classi di frattali ove si puo' estendere la costruzione dell'energia fatta sul Gasket: frattali finitamente ramificati.

04/05/2010, 2 ore. Argomento: Grafi e grafi connessi. Frattali finitamente ramificati: Connessione, energia (forma) al passo 0, problema dell'esistenza di un'autoforma, passaggio dal passo 0 al passo 1 per un'energia.

05/05/2010, 2 ore. Argomento: Frattali finitamente ramificati: energia definita come minimo di somme di energie al passo 0, estensione "armonica" al passo 1, principio del massimo, il minimo dell'energia al passo 1 e' ancora un'energia (irriducibile) al passo 0. Autoforme ed esempi di autoforme su alcuni frattali finitamente ramificati.

07/05/2010, 2 ore. Argomento: Costruzione dell'energia su frattali finitamente ramificati. Metrica proiettiva di Hilbert sulle forme al passo 0. L'autovalore non dipende dall'autoforma.

11/05/2010, 2 ore. Argomento: Casi in cui non esiste autoforma. Rinormalizzazione con pesi. Ordinamento sulle forme al passo 0. Esercizio sul teorema di punto fisso. Impostazione del problema dell'esistenza dell'autoforma sui frattali nested.

12/05/2010, 2 ore. Argomento: Problema dell'esistenza dell'autoforma sui frattali nested. Interpretazione probabilistica di tale problema.

13/05/2010, 2 ore. Argomento: Interpretazione probabilistica del problema dell'esistenza dell'autoforma. Dimostrazione del teorema (di Lindstrom) dell'esistenza dell'autoforma sui frattali nested. Cenni a problematiche aperte sull'analisi sui frattali.