Lezioni corso di Analisi II per Ingegneria Gest. 2015/16
28/09/2015, 2 ore.
Argomento:
Sommatorie: definizione, richiami di esempi
notevoli di sommatorie, in particolare
somma dei primi n numeri interi positivi
e somma di una progressione geometrica.
Serie: definizioni ed esempi. Serie a termini non negativi.
Serie geometrica. Relazione tra convergenza di una serie
e convergenza a 0 del termine generale della serie.
Serie armonica.
Effetto del cambiamento dei primi termini su una serie.
Linearita' della somma di una serie.
29/09/2015, 2 ore.
Argomento:
Spezzamento di una serie in una somma di un numero finito
di termini e di un'altra serie.
Criteri del confronto, del confronto asintotico,
del rapporto, della radice, e di condensazione
(per serie a termini non negativi o positivi).
Alcuni esempi, in particolare serie armonica generalizzata.
01/10/2015, 2 ore.
Argomento:
Esercizi sulla convergenza o divergenza delle serie,
e sulla somma delle serie, soprattutto
sulle serie a termini non negativi.
05/10/2015, 2 ore.
Argomento:
Criterio di Cauchy per le serie. Serie a termini di segno variabile.
Relazione tra convergenza assoluta di una serie
e convergenza (semplice) della serie stessa.
Criterio di Leibniz. Criteri del rapporto e
della radice per serie a termini di segno variabile.
Serie telescopiche. Serie e sviluppo decimale di un numero,
con un esempio di applicazione alla ricerca della
frazione generatrice di un numero periodico. Esempi.
Cenno ai riordinamenti di una serie.
06/10/2015, 2 ore.
Argomento:
Esempi di Serie. Criterio integrale per le serie
(senza completa dimostrazione). Serie di Taylor.
Condizioni perche' una funzione sia sviluppabile in serie di Taylor.
Serie di Taylor delle principali funzioni.
Esempio di una funzione la cui serie di Taylor
converge ma non alla funzione stessa.
Convergenza puntuale e uniforme di successioni di funzioni.
Limite puntuale e uniforme di funzioni continue
08/10/2015, 2 ore.
Argomento:
Esercizi sulla convergenza o divergenza delle serie,
e sulla somma delle serie,
anche per serie a termini di segno variabile
12/10/2015, 2 ore.
Argomento:
Convergenza puntuale e uniforme di successioni e
serie di funzioni, e loro relazione con continuita',
derivata e integrale. Esempi.
Criterio di Cauchy uniforme per successioni di funzioni.
13/10/2015, 2 ore.
Argomento:
Criterio di Cauchy uniforme per serie di funzioni.
Convergenza totale e relazione tra convergenza uniforme di
una serie di funzioni e convergenza uniforme a 0 della successione
associata. Serie di potenze: insieme di convergenza; raggio
di convergenza; derivazione termine
a termine; il raggio di convergenza di una serie di potenze e'
lo stesso di quello della serie delle derivate; convergenza
uniforme in intervalli chiusi dentro il
cerchio di convergenza; qualche esempio.
15/10/2015, 2 ore.
Argomento:
Ancora esercizi su serie numeriche. Qualche esempio di convergenza
puntuale e uniforme (o non uniforme) di successioni di funzioni.
19/10/2015, 2 ore.
Argomento:
Serie di potenze:
integrazione termine a termine e derivazione,
anche iterata, termine a termine;
dimostrazione che
il raggio di convergenza di una serie di potenze e' lo stesso
di quello della serie delle derivate;
qualche esempio e applicazione. Ogni serie di potenze
e' una serie di Taylor; concetto di funzione analitica.
Calcolo della serie di Taylor di alcune funzioni specifiche.
Cenno a funzioni di piu' variabili.
Norma in R^n e prodotto scalare in R^n. Disuguaglianza di Schwarz.
Palle, insiemi aperti e insiemi chiusi, frontiera
di un insieme.
20/10/2015, 2 ore.
Argomento:
Disuguaglianze sulla norma in R^n.
Interno, parte esterna, frontiera e chiusura di un insieme.
Insiemi limitati.
Proprieta' di insiemi aperti, chiusi, limitati,
e di chiusura e frontiera di un insieme in R^n.
Successioni e loro limiti in R^n.
Caratterizzazione della chiusura di un insieme
e di un insieme chiuso mediante successioni.
Limiti di successioni in R^n in relazione
al limite delle loro proiezioni.
Successioni convergenti, limitate; successioni
convergenti sono limitate, e successioni
limitate hanno estratta convergente.
22/10/2015, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su convergenza puntuale e uniforme di successioni e
serie di funzioni con applicazioni a relazioni
con derivate e integrali. Richiami su serie di potenze
e serie di Taylor.
26/10/2015, 2 ore.
Argomento:
Punti di accumulazione e isolati.
Limiti di funzioni e funzioni continue, quando le funzioni
sono funzioni di piu' variabili a valori reali.
Algebra dei limiti e altre proprieta' del limiti di funzioni
(tipo teoremi di confronto) che estendono analoghi teoremi
per funzioni di una variabile.
Continuita' di somma, prodotto, differenza e quoziente di funzioni
continue a valori reali, e delle proiezioni in R^n.
Continuita' della composizione di funzioni continue e
delle funzioni costanti. Esempio.
Successioni di Cauchy e convergenti.
Insiemi compatti
(per successioni) e insiemi chiusi e limitati.
Funzioni uniformemente continue e Lipschitziane.
Teoremi sulle funzioni continue sui compatti. Teorema ponte.
27/10/2015, 2 ore.
Argomento: Funzioni a valori in R^m e loro
limiti e continuita'.
Limiti e continuita' di funzioni a valori in R^m
si riducono alla proprieta' analoghe delle componenti.
Continuita' di somma, combinazione lineare e
prodotto scalare, di funzioni continue a valori in R^m.
Continuita' della composizione di funzioni continue,
delle funzioni lineari
e delle funzioni costanti a valori in R^m.
Esempio. Teorema ponte e unicita' del
limite per funzioni a valori in R^m.
Gli insiemi dove funzioni continue soddisfano disuguaglianze
strette sono aperti,
gli insiemi dove funzioni continue soddisfano disuguaglianze
larghe sono chiusi.
Alcune semplici
considerazioni sui limiti di successioni a valori in R^m.
Limiti di funzioni e limiti delle loro restrizioni.
Derivate parziali e direzionali e differenziabilita' e
relazione di tali nozioni con la continuita'.
Differenziabilita' implica esistenza delle derivate parziali.
Gradiente e scrittura del differenzale
in base al gradiente. Teorema del differenziale totale.
29/10/2015, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su serie di potenze e serie di Taylor.
Esempi di insiemi nel piano. Esempi concreti di insiemi aperti, chiusi,
limitati, compatti.
02/11/2015, 2 ore.
Argomento:
Richiami su differenziale, e relazione con derivate parziali.
Relazione con derivate direzionali.
Ricordo che il fatto che differenziabilita'
implica continuita' e ed
esistenza di derivate parziali e direzionali e il teorema
del differenziale totale sono stati richiamati senza dimostrazione.
Conseguenze del teorema del differenziale totale. Funzioni
di classe C^m e di classe C infinito.
Teorema di Schwarz e scambio in generale degli operatori
di derivata parziale. Esempi di calcolo di derivate parziali.
Punti di massimo e di minimo (assoluto e relativo);
condizioni del primo ordine e punti stazionari; punti di sella (cenno).
Ricerca di estremi assoluti per funzioni di piu' variabili, con un esempio.
03/11/2015, 2 ore.
Argomento:
Limiti, continuita', differenziabilita' di una funzione
in un punto dipendono
solo dai valori vicini al punto.
Calcolo differenziale e continuita' per funzioni a
valori vettoriali. In particolare derivate parziali
e differenziale. Matrice Jacobiana e
scrittura del differenziale con essa. Relazioni tra
differenziabilita' e continuita', e tra derivate prime continue
e differenziabilita' (teorema del differenziale totale).
Regola della catena e applicazioni.
Curve in R^n, segmenti, insiemi convessi.
05/11/2015, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su: insiemi aperti, chiusi e
limitati, anche con un esercizio teorico;
limiti e continuita' di funzioni, in particolare definite a pezzi;
domini di funzioni; massimi e minimi di funzioni di piu' variabili.
09/11/2015, 2 ore.
Argomento:
Funzioni di classe C^k in piu' variabili, e loro algebra, e stabilita'
rispetto alla composizione. In particolare le funzioni che usiamo
come "combinazione" delle funzioni proiezioni mediante somma, prodotto,
composizione etc. sono C infinito.
Grafico di funzioni di due varibili in R^3, e relativo piano tangente.
Curve, curve semplici, piane, chiuse, di Jordan.
Sostegno di una curva.
Nozione di insieme connesso e caratterizzazione (cenno)
mediante poligonali; teorema delle
curve di Jordan (enunciato). Esempi di curve.
Curve C^1, regolari, C^1 a tratti, regolari a tratti.
Versore tangente a una curva, vettore velocita'.
Lunghezza di una curva.
Formula per la lunghezza di una curva con
integrale della norma della derivata (enunciato).
Esempio.
10/11/2015, 2 ore.
Argomento:
Cambiamento di parametro in una curva.
Integrali di funzioni a valori vettoriali,
semplici proprieta', in particolare la norma dell'integrale
e' minore o uguale dell'integrale della norma.
Parte della dimostrazione della formula della
lunghezza di una curva con integrale
della norma della derivata. Curve rettificabili. Esempi. Integrale
curvilineo di prima specie, e invarianza della
lunghezza e dell'integrale curvilineo per
cambio di parametrizzazione. Parametrizzazione per lunghezza
d'arco. Integrale curvilineo di seconda specie e sua formulazione in
termini di integrale di forma differenziale. Invarianza
(a meno del segno) di tale integrale per cambio di parametrizzazione.
12/11/2015, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su massimi e minimi per funzioni di piu' variabili,
continuita' e limiti
per funzioni di piu' variabili.
16/11/2015, 2 ore.
Argomento:
Esempi di integrali curvilinei di prima e seconda specie.
Curve concatenate, poligonali, caratterizzazione degli aperti
connessi con le poligonali. Forme esatte e caratterizzazioni equivalenti,
primitive (o potenziali). Definizione di forma chiusa, e teorema che ogni forma
esatta e' chiusa. Esempio di forma chiusa ma non esatta.
Seconda parte della dimostrazione della formula della lunghezza
con integrale della norma della derivata.
17/11/2015, 2 ore.
Argomento:
Richiami su forme esatte, forme chiuse e primitive;
un esempio. Le funzioni con gradiente nullo su aperti connessi
sono costanti. Due primitive su un
aperto connesso di una stessa forma
differiscono per una costante. Insiemi convessi, stellati,
semplicemente connessi
ed esempi di tali inisemi. Forme chiuse ed esatte su tali insiemi,
l'integrale di una forma chiusa su curve
omotope rimane lo stesso (queste due cose senza
dimostrazione). Richiami su funzioni inverse tra insiemi,
e nel caso di funzioni lineari. Teorema dell'inversione locale
(senza dimostrazione). Coordinate polari.
19/11/2015, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su: continuita'
e derivate parziali di funzioni di piu' variabili,
curve, lunghezza di curve, integrali curvilinei
di prima e seconda specie, forme differenziali chiuse ed esatte,
calcolo di primitive di forme differenzaili esatte.
23/11/2015, 2 ore.
Argomento:
Richiami sul teorema dell'inversione locale con un esempio di applicazione,
teorema delle funzioni implicite con esempi, curve e superficie implicite.
Richiami su ortogonale di uno spazio vettoriale e sua dimensione.
24/11/2015, 2 ore.
Argomento: Esercizi su curve, integrali di forme lungo curve,
forme chiuse ed esatte, insiemi nel piano.
26/11/2015, 2 ore.
Argomento: Teorema dei moltiplicatori di Lagrange
(dimostrazione solo quando c'e'
un vincolo), questioni collegate, tipo curve di livello,
direzione di massima crescita di una funzione.
30/11/2015, 2 ore.
Argomento:
Cambio di variabile nei limiti per funzioni di piu' variabili.
Minimi di funzioni continue che vanno a + infinito all'infinito.
Integrali doppi: definizione di integrale e di integrabilita'
su un rettangolo, e criterio di integrabilita'.
Ogni funzione continua
su un rettangolo e' integrabile (enunciato),
integrale delle funzioni costanti.
01/12/2015, 2 ore.
Argomento: Ogni funzione continua
su un rettangolo e' integrabile (dimostrazione).
Principali proprieta' delle funzioni Riemann-integrabili e
degli integrali di Riemann su un rettangolo.
Formula di riduzione per integrali di Riemann su un rettangolo
(enunciato) con un esempio di applicazione.
Definizione di integrale di Riemann di funzioni
limitate definite su un insieme limitato.
Insiemi misurabili e misura di un insieme.
03/12/2015, 2 ore.
Argomento: Esercizi
su problemi di minimo libero e vincolato, calcolo di matrici Jacobiane,
integrali doppi su rettangoli.
07/12/2015, 2 ore.
Argomento:
Formula di riduzione per integrali di Riemann su un rettangolo
(dimostrazione). Insiemi misurabili e insiemi di misura nulla
e alcune loro proprieta'.
Prime proprieta' delle funzioni integrabili su insiemi limitati.
IL prodotto di funzioni integrabili su un rettangolo e' integrabile.
10/12/2015, 2 ore.
Argomento:
Proprieta' delle funzioni integrabili e degli
integrali su insiemi limitati, e anche degli insiemi
misurabili e degli insiemi di misura nulla. Domini normali
e formula di riduzione degli integrali
doppi su domini normali, con un esempio.
14/12/2015, 2 ore.
Argomento:
Esercizi sul calcolo di integrali doppi su rettangoli,
su insiemi normali, e su insiemi collegati.
15/12/2015, 2 ore.
Argomento:
Ancora proprieta' delle funzioni integrabili e degli
integrali su insiemi limitati, in particolare
integrali su unioni di insiemi quasi disgiunti.
Cambio di variabile in integrali doppi:
formula ed idea del motivo per cui tale formula e' ragionevole.
Coordinate polari: formula ed esempi.
17/12/2015, 2 ore.
Argomento:
Integrali dipendenti da un parametro: continuita' e
(senza dimostrazione) derivata della funzione integrale.
Formule di Green nel piano: dimostrazione per domini normali
rispetto ad entrambi gli assi, e spiegazione in casi concreti
di come la formula si estende in domini piu' generali.
Teorema della divergenza nel piano.
Relazione del teorema di Green con l'enunciato
che in certi insiemi (nel piano) ogni forma chiusa e' esatta
(cenno). Uso delle coordinate polari per calcolare
l'integrale della gaussiana.
18/12/2015, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su integrali doppi sia su domini mormali, sia
con uso delle coordinate polari, sia mischiando i due metodi.
07/01/2016, 2 ore.
Argomento:
Integrali tripli, visti in analogia con gli integrali doppi:
Definizioni e principali proprieta' analoghe a quelle degli integrali
doppi, incluse definizioni e proprieta' di insiemi
misurabili, di misura di un insieme e di insiemi di misura nulla.
Formule di riduzione per integrali tripli sia su prodotti di
intervalli, sia su domini normali, integrazione per fili e per strati;
un esempio di integrale triplo.
08/01/2016, 2 ore.
Argomento:
alcuni esempi di integrali tripli e in particolare di volumi di insiemi.
Area delll'immagine di un insieme tramite omotetia
e cambi di variabili collegati per integrali doppi,
con cenno ad applicazioni.
Cambio di variabile negli integrali tripli,
coordinate cilindriche e coordinate sferiche.
Superfici e parametrizzazione di
superfici, superfici regolari, punti interni e punti
di bordo di una superficie. Piano tangente e
vettore normale ad una
superficie regolare in un punto. Area di una superficie.
11/01/2016, 2 ore.
Argomento:
Esercizi sul calcolo di integrali tripli, e anche un integrale doppio.
12/01/2016, 3 ore.
Argomento:
Superfici regolari e richiami su piano tangente e
vettore normale ad una
superficie regolare in un punto. Area e integrale superificiale.
Superfici elementari orientabili, e orientazione del bordo.
Superfici composte e nozioni sulle superfici composte
analoghe a quelle viste sulle superfici elementari. Qualche esempio.
Teorema della divergenza nello spazio. Equazioni differenzili ordinarie:
motivazioni, definizioni, equazioni a varibaili separabili,
equazioni lineari (anche non omogenee)
del primo ordine, equazioni del primo ordine in forma noramle
e introduzioner al teorema di esistenza e unicita' per il problema di Cauchy.
14/01/2016, 2 ore.
Argomento:
Rotore e teorema di Stokes. Enunciato preciso del
teorema di esistenza e unicita' per il problema di Cauchy. Unicita'
globale, ed esistenza solo locale. Qualche esempio.
Spiegazione sul metodo di soluzione delle equazioni
a variabili separabili.
Esercizi sul calcolo di integrali tripli.
18/01/2016, 2 ore.
Argomento:
Sistemi di equazioni differenziali del primo ordine
(in forma normale), equazioni
di ordine n (in forma normale), e relazione tra di loro.
Teorema di esistenza e unicita' per il problema di Cauchy,
e unicita'
globale, sia per i sistemi sia per le equazioni di ordine n, in forma
normale (solo enunciato). Qualche osservazione in particolare
sulle conseguenze dell'unicita'.
Sistemi lineari omogenei di n equazioni in n incognite,
e equazioni lineari omogenee
di ordine n (sempre in forma normale), e il fatto che lo spazio
delle soluzioni sia uno spazio vettoriale di dimensione n.
Equazioni lineari omogenee di ordine n a coefficienti costanti.
Nota: Le equazioni e i sistemi considerati qui sono sempre
equazioni o sistemi differenziali.
19/01/2016, 3 ore.
Argomento:
Equazioni differenziali
lineari di ordine n a coefficienti costanti,
sia omogenee con esempi, sia non omogenee col metodo
della variazione delle costanti (per equazioni del secondo ordine).
Cenno alla dimostrazione del teorema di esistenza e unicita'
per il problema di Cauchy.
Esercizi sulle equazioni differenziali
(compreso problema di Cauchy), con enfasi su quelle
a variabili separabili, con cenno sullo studio qualitativo
(le soluzioni a volte stanno sopra o sotto una soluzione data).
Un calcolo di area di una superficie.
21/01/2016, 2 ore.
Argomento:
Esercizi su integrali superficiali e tripli,
e su equazioni differenziali (compreso problema di Cauchy)
lineari di ordine n a coefficienti costanti,
sia omogenee, sia non omogenee col metodo
della variazione delle costanti.