Lezioni corso di Analisi I per Ingegneria 2014/15
30/09/2014, 2 ore.
Argomento:
Richiami di argomenti delle superiori: Insiemi e insiemi
numerici (naturali, interi, razionali, reali). Equazioni
e disequazioni.
01/10/2014, 2 ore.
Argomento: Equazioni e disequazioni.
Potenze con esponente naturale, intero e razionale e
loro proprietà. Radice
di indice arbitrario di un numero reale e sue
proprietà. Definizione di valore assoluto.
Intervalli. Qualche esempio.
02/10/2014, 2 ore.
Argomento: Ancora equazioni e disequazioni. Polinomi.
Proprietà del valore assoluto.
03/10/2014, 2 ore.
Argomento: Grafici di funzioni.
Ricapitolazione (in particolare uso delle proprietà
delle potenze). Funzioni trigonometriche.
07/10/2014, 2 ore.
Argomento: Grafici di funzioni. Funzioni
trigonometriche. Equazioni e disequazioni.
Proprietà delle potenze (anche ad esponente reale).
09/10/2014, 2 ore.
Argomento: Unioni e intersezioni infinite.
Proprietà dei numeri reali, definiti assiomaticamente.
Massimo, minimo, maggioranti, minoranti, estremo superiore
ed estremo inferiore di un insieme.
Assioma dell'estremo superiore e analogo per l'estremo
inferiore. Insiemi superiormente limitati ed inferiormente
limitati. Numero decimale come estremo superiore di decimali finiti.
10/10/2014, 2 ore.
Argomento: Precisazioni varie anche di tipo algebrico.
Potenze ad esponente reale. Interpretazione grafica di
disequazioni. Principio di induzione ed esempi. Disuguaglianza di
Bernoulli. Sommatorie.
14/10/2014, 2 ore.
Argomento: Sommatorie: esempi notevoli.
Principio del buon ordinamento, parte intera e suo
grafico. Densità dei
razionali e degli irrazionali. Numeri primi. Prova che
la radice di 2 e'irrazionale. Estremi superiore ed inferiore ed un
esempio. Logaritmi e relative
proprietà. Numeri complessi: introduzione all'idea di
numero complesso e definizione ed operazioni sui complessi.
16/10/2014, 2 ore.
Argomento: Operazioni sui numeri complessi,
in particolare somma e prodotto, reciproco e quoziente.
Parte reale e parte immaginaria, modulo, argomento
e coniugato di un numero complesso. Proprietà
del modulo e del coniugato. Forma trigonometrica di un
numero complesso non nullo e sua forma esponenziale,
e prodotto di due numeri complessi in forma
trigonometrica. Potenze ennesime di un numero
complesso. Radici ennesime di un
numero complesso, in particolare dell'unità.
Esempi di calcolo di prodotto e
reciproco tra numeri complessi. Teorema fondamentale
dell'algebra (senza dimostrazione).
17/10/2014, 2 ore.
Argomento: Calcolo di radici ennesime: teoria generale ed
esempi, soprattutto se n=2. Uso della forma trigonometrica
di un numero complesso anche per il calcolo delle sue
potenze. Conseguenze del teorema fondamentale dell'algebra:
decomposizione di un polinomio reale in prodotto di polinomi
reali di primo e di secondo grado. Ogni polinomio a
coefficienti reali, se ha una tradice, ha come radice anche la
sua complessa coniugata. Disequazioni di secondo grado. Logaritmi:
grafico e un calcolo.
21/10/2014, 2 ore.
Argomento: Definizione di successione. Esempi. Definizione
di limite (finito o infinito) di una successione. Unicità
del limite. Algebra dei limiti. Qualche esempio di limite.
23/10/2014, 2 ore.
Argomento:
Algebra dei limiti, anche quando il limite può essere
+infinito o -infinito. Forme indeterminate.
Teoremi di confronto. Qualche dimostrazione dei teoremi
dell'algebra dei limiti e del confronto tra limiti.
Qualche esempio. Diverse formulazioni
della definizione di limite di successione. Limiti di
successioni di tipo potenza e di tipo esponenziale.
Limiti "a pezzi".
28/10/2014, 2 ore.
Argomento:
Successioni convergenti, divergenti e indeterminate.
Limiti notevoli e confronto tra infiniti, fattoriale.
Criterio del "rapporto" per limiti di successioni.
Successioni superiormente limitate,
inferiormente limitate, limitate, e
applicazioni. Relazione tra convergenza e divergenza
di una successione e sua limitatezza.
Relazione tra limite di una successione e del suo modulo.
Qualche esempio. Certe proprietà delle successioni
riguardanti il limite dipendono solo dal
comportamento della successione definitivamente.
30/10/2014, 2 ore.
Argomento:
Ancora confronto tra infiniti. Teorema della
permanenza del segno e
conseguenze. Successioni monotone e strettamente monotone
e limiti di successioni monotone; numero "e".
Successioni che partono da un numero
naturale diverso da 1. Qualche ulteriore precisazione
sui limiti di una successione, in particolare limiti
di successioni esponenziali con base negativa,
e qualche dimostrazione sui limiti di successioni.
Limite della radice ennesima di un numero positivo
e di n. Qualche esempio.
31/10/2014, 2 ore.
Argomento:
Precisazioni sul limite del quoziente. Intorni, definizione
di limite di successione vista con gli intorni. Punti di
accumulazione, teorema di Bolzano-Weierstrass.
Sottosuccessioni (o successioni estratte). Relazione
tra limite di una successione e di una sua estratta.
Ogni successione ha un'estratta che ha limite.
04/11/2014, 2 ore.
Argomento:
Calcolo di un limite di successione.
Precisazioni su punti di accumulazione, e relazione tra punti di
accumulazione e limiti di successioni.
Definizione di massimo limite e minimo limite
di una successione. Successioni di Cauchy e
criterio di convergenza di
Cauchy per una successione. Domini di funzioni.
Definizione di limite di funzione in tutti i casi,
con interpretazione geometrica. Definizione
di limite di funzione usando gli intorni.
06/11/2014, 2 ore.
Argomento:
Definizione di funzione continua con interpretazione geometrica.
Unicità del limite di funzione. Algebra dei limiti di funzione.
Forme indeterminate. Esempi di limiti di funzione. Teoremi
di confronto per limiti di funzioni. Continuità della somma,
differenza, prodotto e quoziente di funzioni continue.
Continuità dei polinomi e (solo enunciato) di funzioni abituali
(esponenziali, potenze, logaritmi, seno e coseno).
Dipendenza di limiti solo
dai valori vicini al punto in cui si fa il limite.
Non esistenza del limite della somma e questioni collegate.
11/11/2014, 2 ore.
Argomento:
Definizione di funzione inferiormente
limitata, superiormente limitata e limitata,
e uso di tali nozioni per i limiti di funzione.
Estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo di funzioni.
Relazione tra limite di una funzione e del suo modulo.
Restrizioni di funzioni
e limiti di restrizioni. Esempi di limiti di funzioni,
anche un limite di successione.
Teorema della permanenza del segno e conseguenze
per limiti di funzioni e funzioni continue.
Funzioni monotone e strettamente monotone, e limiti di funzioni monotone.
Limiti notevoli di funzioni, in genere senza dimostrazione.
12/11/2014, 2 ore.
Argomento:
Richiami su proprietà discusse in precedenza sui limiti,
in particolare limite del
prodotto e del quoziente. Relazione tra convergenza
o divergenza di una funzione in
un punto e limitatezza. Relazione tra
limite di successioni e limiti all'infinito
di funzioni associate, ed applicazioni a
limiti notevoli. Limite destro e sinistro. Funzioni composte.
Continuità della composizione di funzioni continue ed esempi.
Cambio di variabile nei limiti ed esempi.
Esempi di limiti di funzioni e di limiti di successioni.
13/11/2014, 2 ore.
Argomento:
Cambio di variabile nei limiti ed esemnpi e precisazioni.
Teorema "ponte" su limiti di successioni e limiti
di funzioni con esempi. Dimostrazione di limiti
notevoli, e della continuità
delle funzioni trigonometriche, esponenziali e potenze.
La continuità di una funzione dipende solo dai valori vicini,
ed esempi. Altri esempi di limiti.
18/11/2014, 2 ore.
Argomento:
Qualche richiamo sui limiti notevoli.
Teorema dell'esistenza degli zeri e teorema dei valori intermedi,
e qualche applicazione. Funzioni iniettive,
suriettive e
biiettive (o corrispondenze biunivoche) tra insiemi;
funzione inversa di una funzione biiettiva tra insiemi;
immagine di una funzione.
Funzioni inverse di funzioni continue e
strettamente monotone su intervalli, e loro
monotonia.
21/11/2014, 2 ore.
Argomento:
Funzioni inverse di funzioni continue e strettamente
monotone su intervalli e
loro continuità. Esempi; definizione di funzioni trigonometriche inverse:
arcoseno, arcocoseno, e arcotangente. L'estremo superiore è
limite di elementi dell'insieme, e discorso
analogo per l'estremo inferiore.
Teorema di Weierstrass sull'esistenza
dei valori estremi di una funzione
continua
su un intervallo chiuso e limitato. Funzioni uniformemente continue
e teorema di Heine-Cantor.
25/11/2014, 2 ore.
Argomento:
Definizione di derivata e sua interpretazione meccanica
e geometrica. Notazioni per la derivata. Rapporto incrementale.
Scrittura in
diverse forme del limite definente la derivata.
Relazione tra derivabilita' e continuita'. Derivata delle principali
funzioni. Regole di derivazione della somma, della differenza,
del prodotto, del quoziente, della funzione composta. Esempi
di applicazioni delle regole di derivazione.
Continuita' e non derivabilita' della funzione modulo.
27/11/2014, 2 ore.
Argomento:
Derivata della funzione composta e della funzione inversa e applicazioni,
in particolare dimostrazione della formula
della derivata di funzioni inverse note
(logaritmo e funzioni trigonometriche inverse).
Qualche esempio di calcolo di derivate. Approssimazione di
una funzione con l'equazione della retta tangente
(ossia formula di Taylor del primo
ordine con resto di Peano).
La derivata di una funzione in un punto dipende solo
dai valori della funzione in un intorno del punto.
Derivata in punti di massimo e di minimo di funzioni.
Monotonia di funzioni e relazione col
segno del rapporto incrementale.
Relazione tra monotonia di una funzione e segno della sua derivata.
Teorema di Rolle.
28/11/2014, 2 ore.
Argomento:
Teorema di Lagrange con sua interpretazione
geometrica e meccanica.
Conseguenze del teorema di Lagrange,
in particolare: funzioni con derivata nulla, relazione tra
monotonia di una funzione e
segno della sua derivata. Applicazioni allo studio del grafico di
una funzione. Estremi relativi e derivata in punti di estremo relativo.
Teorema di Cauchy. Formula di L'Hopital per limite finito al finito,
e qualche conseguenza.
02/12/2014, 2 ore.
Argomento:
Formule di L'Hopital per tutti
i tipi di limiti, e conseguenze e cose collegate, in particolare
la derivata di una funzione non e' necessariamente
continua. Derivate successive.
Funzioni convesse: interpretazione geometrica, definizione,
formulazioni equivalenti, anche in termini di crescenza del rapporto
incrementale. Infine una funzione
derivabile su un intervallo e' convessa se e solo se
la derivata e' crescente su tale intervallo.
Funzioni di classe C^n, anche con n=infinito. Cenno al fatto che una
funzione e' convessa se e solo se il suo grafico "sta sopra"
alla tangente al grafico stesso.
04/12/2014, 2 ore.
Argomento:
Ancora funzioni convesse, in particolare una funzione
e' convessa se e solo se il suo grafico
"sta sopra" la tangente al grafico stesso. Funzioni
strettamente convesse, concave, e strettamente concave,
e proprieta' analoghe a quelle
delle funzioni convesse. Una funzione convessa ha minimo assoluto in ogni
punto con derivata nulla. Punti di flesso. Convessita' e concavita'
delle funzioni potenza.
Polinomio di Taylor, e formula di Taylor
col resto di Peano.
Il polinomio di Taylor di ordine n e' l'unico
polinomio di grado non superiore ad n che approssima la funzione con ordine
di zero superiore ad n.
09/12/2014, 2 ore.
Argomento:
Ancora resto di Peano della formula di Taylor.
Derivate di polinomi. Teorema del binomio, anche
con cenno del punto di
vista del calcolo combinatorio.
Esempi di polinomi di Taylor di varie funzioni (esponenziale,
seno, coseno, potenza di 1+x).
Formula di Taylor col resto di Lagrange (senza dimostrazione per
ora) e cenno alla serie di Taylor (non chiamata cosi').
Applicazioni (uso per il calcolo dei limiti, seno e csoeno di nx).
11/12/2014, 2 ore.
Argomento:
Integrale di Riemann: motivazione e definizione
con formulazione equivalente. Suddivisioni di un intervallo
con proprieta' relative. Le funzioni continue sono integrabili.
Alcune proprieta' dell'estremo superiore ed estremo inferiore.
12/12/2014, 2 ore.
Argomento:
Ancora proprieta' di estremo superiore ed estremo inferiore.
Proprieta' dell'integrale definito: ad esempio linearita',
monotonia, spezzamento dell'integrale sugli intervalli,
integrale del modulo e modulo dell'integrale.
16/12/2014, 2 ore.
Argomento:
Spezzamento dell'integrale sugli intervalli,
interpretazione geometrica
dell'integrale anche per funzioni non positive.
Integrabilita' delle funzioni continue tranne un numero finito di punti.
Integrale definito quando l'ordine degli estremi
di integrazione e' arbitrario. Teorema fondamentale
del calcolo integrale. Formula
fondamentale del calcolo integrale. Primitive, integrale indefinito.
Integrali fondamentali.
17/12/2014, 2 ore.
Argomento:
Regole di integrazione: integrale della somma di due funzioni, del prodotto di
una funzione per una costante, integrazione per sostituzione e
per parti anche per integrali definiti. Esempi, in particolare integrale di
polinomi. Funzioni non integrabili.
Monotonia e stretta monotonia dell'integrale.
Integrale di funzioni caratteristiche di un punto. Seno e coseno
iperbolico e loro funzioni inverse. Derivate relative e uso per il calcolo di
integrali.
07/01/2015, 2 ore.
Argomento:
L'integrale di una funzione non cambia se la funzione cambia solo in
un numero finito di punti. Formule di media integrale.
Resto integrale e resto di Lagrange della formula di Taylor.
08/01/2015, 2 ore.
Argomento:
Formula di Taylor in casi particolari e argomenti collegati, in particolare
polinomio di Taylor dell'arcotangente. Esempi di calcolo di integrali indefiniti.
Integrazione di funzioni razionali, in particolare risultato completo quando
il denominatore ha grado 1 o 2.
12/01/2015, 2 ore.
Argomento:
Integrali impropri: Definizioni in tutti i casi, qualche calcolo
esplicito, criteri per avere integrale finito per funzioni non negative.
13/01/2015, 2 ore.
Argomento:
Integrali impropri, in particolare criterio della convergenza assoluta per
integrali impropri ed esempi. Calcolo di integrali indefiniti, in
particolare integrazione di funzioni razionali ed integrali contenenti
radici quadrate. Altri esempi di integrali. Qualche precisazione su
argomenti precedenti.
14/01/2015, 2 ore.
Argomento:
Cenno a funzioni di piu' variabili. Insieme R^n. Norma in R^n e sue
proprieta'. Palle, insiemi aperti e insiemi chiusi. Interno, parte esterna,
frontiera e chiusura di un insieme e loro proprieta'. Successioni e loro
limiti in R^n e relazione col limite delle loro proiezioni.
Caratterizzazione di un insieme chiuso mediante successioni in R^n.
16/01/2015, 2 ore.
Argomento:
Limiti e continuita' per funzioni di piu' variabili.
Caratterizzazione della chiusura di un insieme e di un insieme chiuso
in R^n mediante limiti di successioni.
Algebra dei limiti per funzioni di n variabili a valori in R, e altre
generalizzazioni di proprieta' dei limiti di funzioni reali.
Continuita' di somma, prodotto, differenza e
quoziente di funzioni continue a valori reali, e delle proiezioni in R^n.
Continuita' della composizione di funzioni continue.
Continuita' delle funzioni
costanti. Esempi di funzioni continue.
Successioni di Cauchy, convergenti, limitate;
successioni limitate hanno estratta convergente.
Insiemi limitati in R^n e caratterizzazione con la
limitatezza delle proiezioni. Insiemi compatti (per
successioni) e insiemi chiusi e limitati.
Funzioni uniformemente continue e Lipschitziane.
Teoremi sulle funzioni continue sui compatti. Teorema ponte.
Insiemi aperti e chiusi in R^n con esempi.
20/01/2015, 2 ore.
Argomento:
Qualche esempio e precisazione su argomenti precedenti.
Definizione di
prodotto scalare con proprieta' fondamentali, e cenno a interpretazione
geometrica. Disuguaglianza di Schwarz, e dimostrazione della disuguaglianza
triangolare. Definizione di derivate parziali e qualche esempio di calcolo.
Definizione di derivata direzionale.
L'esistenza delle derivate parziali in un punto (come anche di tutte le
derivate direzionali in quel punto) non implica la continuita' in quel
punto. Definizione di funzione differenziabile e di gradiente.
Una funzione differenziabile in un punto ha in quel punto le derivate
parziali con differenziale uguale al gradiente; ha inoltre
tutte le derivate direzionali calcolate in base al gradiente.
Una funzione differenziabile in un punto e' continua in quel punto.
Teorema del differenziale totale (con cenno di dimostrazione)
e funzioni di classe C^1.
NOTA BENE: Le funzioni considerate in questa lezione sono TUTTE
da un sottoinsieme (aperto) di R^n a valori in R.
22/01/2015, 2 ore.
Argomento:
Equazioni differenziali. Motivazione. Equazioni a variabili separabili.
Equazioni lineari del primo ordine (sia omogenee sia non omogenee). Equazioni
lineari del secondo ordine a coefficienti costanti, sia omogenee, sia non omogenee
trattate col metodo della variazione delle costanti.