Lezioni corso di Analisi I per Ingegneria 2013/14
01/10/2013, 2 ore. Argomento: Richiami di argomenti delle superiori: Insiemi e insiemi numerici (naturali, interi, razionali, reali). Equazioni e disequazioni.
02/10/2013, 2 ore. Argomento: Equazioni e disequazioni. Potenze con esponente naturale, intero e razionale e loro proprieta'. Radice di indice arbitrario di un numero reale e sue proprieta'. Definizione di valore assoluto. Intervalli. Ancora equazioni e disequazioni. Qualche precisazione ed esempio.
03/10/2013, 2 ore. Argomento: Ancora equazioni e disequazioni. Polinomi. Grafici di funzioni. Proprieta' del valore assoluto.
04/10/2013, 2 ore. Argomento: Grafici di funzioni. Ricapitolazione (Equazioni, disequazioni, proprieta' delle potenze). Funzioni trigonometriche.
08/10/2013, 2 ore. Argomento: Ancora funzioni trigonometriche e loro proprieta'. Disequazioni. Grafici di funzioni.
09/10/2013, 2 ore. Argomento: Proprieta' dei numeri reali, definiti assiomaticamente. Massimo, minimo, maggioranti, minoranti, estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme. Assioma dell'estremo superiore e analogo per l'estremo inferiore. Insiemi superiormente limitati, inferiormente limitati e limitati. Numero decimale come estremo superiore di decimali finiti. Grafici di funzioni.
10/10/2013, 2 ore. Argomento: Grafici di funzione. Potenze ad esponente reale. Il problema della radice quadrata nei razionali e nei reali. Estremo superiore ed inferiore. Densita' dei razionali e degli irrazionali.
11/10/2013, 2 ore. Argomento: Principio di induzione e applicazioni ed esempi. Disuguaglianza di Bernoulli. Sommatorie ed esempi. Principio del buon ordinamento. Parte intera e suo grafico.
15/10/2013, 2 ore. Argomento: Esempi di disequazioni.
16/10/2013, 2 ore. Argomento: Prodotto cartesiano di due insiemi. Numeri complessi: Idea informale e definizione rigorosa. Operazioni sui numeri complessi, in particolare somma e prodotto, reciproco e quoziente. Parte reale e parte immaginaria, modulo, argomento e coniugato di un numero complesso. Proprieta' del modulo e del coniugato. Forma trigonometrica di un numero complesso non nullo, e prodotto di due numeri complessi in forma trigonometrica. Cenno alle radici ennesime di un numero complesso.
17/10/2013, 2 ore. Argomento: Esempi di calcolo di prodotto e reciproco tra numeri complessi. Calcolo di radici ennesime: teoria generale ed esempi. Teorema fondamentale dell'algebra (senza dimostrazione) e decomposizione di un polinomio reale in prodotto di polinomi reali di primo e di secondo grado. Ogni polinomio a coefficienti reali, se ha una tradice, ha come radice anche la sua complessa coniugata.
18/10/2013, 2 ore. Argomento: Esempi di disequazioni e di grafici di funzioni.
22/10/2013, 2 ore. Argomento: Numeri primi. Definizione di logaritmo in una base arbitraria e principali proprieta' del logaritmo. Definizione di successione. Esempi. Definizione di limite (finito o infinito) di una successione. Cenno all'unicita' del limite.
24/10/2013, 2 ore. Argomento: Unicita' del limite. Algebra dei limiti, anche quando il limite puo' essere +infinito o -infinito. Forme indeterminate. Qualche teorema di confronto. Qualche esempio. Limiti di successioni di tipo potenza e di tipo esponenziale e confronto tra di loro.
25/10/2013, 2 ore. Argomento: Successioni convergenti, divergenti e indeterminate. Limiti notevoli e confronto tra infiniti, fattoriale. Criterio del "rapporto" per limiti di successioni. Confronto tra successioni e teorema "dei carabinieri". Successioni superiormente limitate, inferiormente limitate, limitate, e applicazioni. Relazione tra convergenza e divergenza di una successione e sua limitatezza. Relazione tra limite di una successione e del suo modulo. Qualche esempio. Certe proprieta' delle successioni riguardanti il limite dipendono solo dal comportamento della successione definitivamente. Limiti "a pezzi".
29/10/2013, 2 ore. Argomento: Ancora confronto tra infiniti. Teorema della permanenza del segno e conseguenze. Successioni monotone e strettamente monotone e limiti di successioni monotone; numero "e". Successioni che partono da un numero naturale diverso da 1. Qualche ulteriore precisazione sui limiti di una successione, in particolare limiti di successioni esponenziali con base negativa, e qualche dimostrazione sui limiti di successioni. Limite della radice ennesima di un numero positivo e di n.
30/10/2013, 2 ore. Argomento: Disequazioni esponenziali e uso dei logaritmi. Esercizi di ricapitolazione su proprieta' delle potenze, insiemi, numeri razionali e irrazionali. Esercizi sui numeri complessi. Esempi di limiti di successioni.
31/10/2013, 2 ore. Argomento: Equazioni e disequazioni, in particolare con radicali e logaritmiche. Esercizi sui numeri complessi. Esempi di limiti di successioni.
05/11/2013, 2 ore. Argomento: Precisazioni sul limite del quoziente. Intorni, definizione di limite di successione vista con gli intorni. Punti di accumulazione, teorema di Bolzano-Weierstrass. Sottosuccessioni (o successioni estratte). Relazione tra limite di una successione e di una sua estratta. Ogni successione ha un'estratta che ha limite.
06/11/2013, 2 ore. Argomento: Esercizi sui limiti di successioni, in particolare calcolo di limiti.
07/11/2013, 2 ore. Argomento: Precisazioni su punti di accumulazione e limiti di successioni (e anche su definizione per induzione). Definizione di massimo limite e minimo limite di una successione. Successioni di Cauchy e criterio di convergenza di Cauchy per una successione. Domini di funzioni. Definizione di limite di funzione in tutti i casi, con interpretazione geometrica.
08/11/2013, 2 ore. Argomento: Definizione di limite di funzione usando gli intorni. Definizione di funzione continua con interpretazione geometrica. Unicita' del limite di funzione. Algebra dei limiti di funzione. Forme indeterminate. Esempi di limiti di funzione. Teoremi di confronto per limiti di funzioni. Continuita' della somma, differenza, prodotto e quoziente di funzioni continue. Continuita' dei polinomi e (solo enunciato) di funzioni abituali (esponenziali, potenze, logaritmi, seno e coseno). Dipendenza di limiti solo dai valori vicini al punto in cui si fa il limite.
12/11/2013, 2 ore. Argomento: Definizione di funzione inferiormente limitata, superiormente limitata e limitata, e uso di tali nozioni per i limiti di funzione. Estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo di funzioni. Relazione tra limite di una funzione e del suo modulo. Dipendenza dei limiti solo dai valori vicini al punto in cui si fa il limite. Restrizioni di funzioni e limiti di restrizioni. Esempi di limiti, e in particolare, limiti di polinomi. Teorema della permanenza del segno e conseguenze per limiti di funzioni e funzioni continue. Funzioni monotone e strettamente monotone, e limiti di funzioni monotone. Limiti notevoli di funzioni, in genere senza dimostrazione.
13/11/2013, 2 ore. Argomento: Esercizi sui seguenti argomenti: disequazioni trigonometriche, proprieta' del logaritmo, limiti di successioni, limiti di funzioni, funzioni continue.
14/11/2013, 2 ore. Argomento: Richiami su proprieta' discusse in precedenza sui limiti, in particolare limite del prodotto e del quoziente. Relazione tra convergenza o divergenza di una funzione in un punto e limitatezza, superiore limitatezza, inferiore limitatezza. Relazione tra limite di successioni e limiti all'infinito di funzioni associate, ed applicazioni a limiti notevoli. Limite destro e sinistro. Funzioni composte. Continuita' della composizione di funzioni continue ed esempi. Cambio di variabile nei limiti ed esempi.
15/11/2013, 2 ore. Argomento: Limiti di funzioni, funzioni continue; in particolare uso di limite destro e sinistro e del cambio di variabile nei limiti.
19/11/2013, 2 ore. Argomento: Cambio di variabile nei limiti ed esemnpi e precisazioni. Teorema "ponte" su limiti di successioni e limiti di funzioni con esempi. Dimostrazione di limiti notevoli sulle funzioni trigonometriche, e della continuita' delle funzioni trigonometriche, esponenziali e potenze.
20/11/2013, 2 ore. Argomento: Limiti di funzioni, funzioni continue e punti di continuita' di funzioni. Limiti di successioni, in particolare con l'uso del teorema ponte.
21/11/2013, 2 ore. Argomento: Teorema dell'esistenza degli zeri e teorema dei valori intermedi, e qualche applicazione. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive (o corrispondenze biunivoche) tra insiemi; funzione inversa di una funzione biiettiva tra insiemi; immagine di una funzione. Funzioni monotone e loro limiti. Funzioni inverse di funzioni continue e strettamente monotone su intervalli, e loro monotonia (e cenno alla loro continuita').
22/11/2013, 2 ore. Argomento: Ancora funzioni inverse di funzioni continue e strettamente monotone su intervalli e loro continuita'. Esempi; definizione di funzioni trigonometriche inverse: arcoseno, arcocoseno, e arcotangente. L'estremo superiore e' limite di elementi dell'insieme. Teorema di Weierstrass sull'esistenza dei valori estremi di una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato. Funzioni uniformemente continue e teorema di Heine-Cantor.
26/11/2013, 2 ore. Argomento: Esercizi sui seguenti argomenti: limiti di funzioni, funzioni continue e punti di continuita' di funzioni; limiti di successioni.
27/11/2013, 2 ore. Argomento: Definizione di derivata e sua interpretazione meccanica e geometrica. Notazioni per la derivata. Rapporto incrementale. Scrittura in diverse forme del limite definente la derivata. Relazione tra derivabilita' e continuita'. Derivata delle principali funzioni. Regole di derivazione della somma, della differenza, del prodotto, del quoziente, della funzione composta. Esempi di applicazioni delle regole di derivazione.
28/11/2013, 2 ore. Argomento: esercizi sugli argomenti che seguono. Limiti, in particolare limiti di funzioni. Applicazioni del teorema degli zeri all'esistenza di soluzione di equazioni date, minimi di funzioni continue.
29/11/2013, 2 ore. Argomento: Derivata della funzione composta e della funzione inversa e applicazioni, in particolare dimostrazione della formula della derivata di funzioni inverse note (logaritmo e funzioni trigonometriche inverse). Qualche esempio di calcolo di derivate. Approssimazione di una funzione con l'equazione della retta tangente (ossia formula di Taylor del primo ordine con resto di Peano). La derivata di una funzione in un punto dipende solo dai valori della funzione in un intorno del punto. Derivata in punti di massimo e di minimo di funzioni. Monotonia di funzioni e relazione col segno del rapporto incrementale. Relazione tra monotonia di una funzione e segno della sua derivata.
03/12/2013, 2 ore. Argomento: Esercizi su limiti di funzioni, massimi e minimi di funzioni continue, funzioni uniformemente continue, calcolo di derivate.
04/12/2013, 2 ore. Argomento: Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange con sua interpretazione geometrica e meccanica. Conseguenze del teorema di Lagrange, in particolare: funzioni con derivata nulla, relazione tra monotonia di una funzione e segno della sua derivata. Applicazioni allo studio del grafico di una funzione e al numero di soluzioni di un'equazione. Estremi relativi e derivata in punti di estremo relativo. Teorema di Cauchy. Formula di L'Hopital per limite finito al finito.
05/12/2013, 2 ore. Argomento: Formule di L'Hopital per tutti i tipi di limiti, e conseguenze e cose collegate, in particolare la derivata di una funzione non e' necessariamente continua. Derivate successive. Funzioni convesse: interpretazione geometrica, definizione, formulazioni equivalenti, anche in termini di crescenza del rapporto incrementale. Infine una funzione derivabile su un intervallo e' convessa se e solo se la derivata e' crescente su tale intervallo.
10/12/2013, 2 ore. Argomento: Calcolo di derivate. Altri esercizi sulle derivate. Un esercizio sul teorema ponte.
11/12/2013, 2 ore. Argomento: Ancora funzioni convesse, in particolare una funzione e' convessa se e solo se il suo grafico "sta sopra" la tangente al grafico stesso. Funzioni strettamente convesse, concave, e strettamente concave, e proprieta' analoghe a quelle delle funzioni convesse. Funzioni di classe C^n, anche con n=infinito. Polinomio di Taylor, e formula di Taylor col resto di Peano, ed un esempio di applicazione al calcolo di limiti di funzioni. Teorema del binomio ricavato dalla formula di Taylor.
12/12/2013, 2 ore. Argomento: Esempi di domini di funzioni. Esempi di limiti, continuita' e derivabilita' di funzioni definite "a pezzi". Casi di non derivabilita'. Esempi di studi di funzione, in particolare intervalli di monotonia, estremi relativi e assoluti, limiti all'infinito.
13/12/2013, 2 ore. Argomento: Derivate di polinomi. Teorema del binomio, anche dal punto di vista del calcolo combinatorio. Esempi di polinomi di Taylor di varie funzioni (esponenziale, seno, coseno, potenza di 1+x, logaritmo di 1+x). Formula di Taylor col resto di Lagrange (senza dimostrazione per ora) e cenno alla serie di Taylor (non chiamata cosi').
17/12/2013, 2 ore. Argomento: Esempi del teorema del binomio e sue applicazioni. Studio di funzione.
18/12/2013, 2 ore. Argomento: Integrale di Riemann: motivazione e definizione con formulazione equivalente. Suddivisioni di un intervallo con proprieta' relative. Le funzioni continue sono integrabili. Proprieta' dell'estremo superiore ed estremo inferiore.
19/12/2013, 2 ore. Argomento: Esempi di studi di funzione e questioni collegate. Uso in casi concreti della formula di Taylor per il calcolo dei limiti.
20/12/2013, 2 ore. Argomento: Ancora proprieta' di estremo superiore ed estremo inferiore. Proprieta' dell'integrale definito: ad esempio linearita', monotonia, spezzamento dell'integrale sugli intervalli, integrale del modulo e modulo dell'integrale. Cenno al teorema fondamentale del calcolo integrale in un caso concreto.
07/01/2014, 2 ore. Argomento: Integrabilita' delle funzioni continue tranne un numero finito di punti. Integrale definito quando l'ordine degli estremi di integrazione e' arbitrario. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula fondamentale del calcolo integrale. Primitive. Integrali fondamentali. Regole di integrazione: integrale della somma di due funzioni, del prodotto di una funzione per una costante, integrazione per sostituzione. Qualche esempio.
08/01/2014, 2 ore. Argomento: Esercizi su uso della derivata per lo studio di funzioni e su limiti con la formula di Taylor.
09/01/2014, 2 ore. Argomento: Integrazione per parti. Precisazioni sulla formula fondamentale del calcolo integrale. Uso delle formule di integrazione per sostituzione e per parti per integrali definiti. Qualche esempio di integrale indefinito. Formule di media integrale. Monotonia e stretta monotonia dell'integrale. Cenno al resto integrale della formula di Taylor. Seno e coseno iperbolico e loro funzioni inverse. Derivate relative e uso per il calcolo di integrali.
10/01/2014, 2 ore. Argomento: Esercizi su studi di funzioni e calcolo di integrali.
13/01/2014, 2 ore. Argomento: Resto integrale e resto di Lagrange della formula di Taylor. Esempi di applicazioni della formula di Taylor per approssimare o calcolare precisamente (mediante una serie) i valori di funzioni in un punto. L'integrale di una funzione non cambia se la funzione cambia solo in un numero finito di punti. Integrali impropri a +infinito. Qualche esempio. Caso di funzioni non negative.
14/01/2014, 2 ore. Argomento: Approssimazione della funzione arcotangente mediante polinomi (che saranno polinomi di Taylor), e applicazione al calcolo di pi greco. Esempi ed esercizi di calcolo di integrali (soprattutto indefiniti).
15/01/2014, 2 ore. Argomento: Integrali impropri: Definizioni in tutti i casi, qualche calcolo esplicito, criteri per avere integrale finito.
16/01/2014, 2 ore. Argomento: Calcolo di integrali.
17/01/2014, 2 ore. Argomento: Cenno a funzioni di piu' variabili. Insieme R^n. Norma in R^n e sue proprieta'. Palle, insiemi aperti e insiemi chiusi. Interno, parte esterna, frontiera e chiusura di un insieme e loro proprieta'. Successioni e loro limiti in R^n e relazione col limite delle loro proiezioni. Caratterizzazione di un insieme chiuso mediante successioni in R^n.
21/01/2014, 2 ore. Argomento: Limiti e continuita' per funzioni di piu' variabili. Caratterizzazione della chiusura di un insieme e di un insieme chiuso in R^n mediante limiti di successioni. Algebra dei limiti per funzioni di n variabili a valori in R, e altre generalizzazioni di proprieta' dei limiti di funzioni reali. Continuita' di somma, prodotto, differenza e quoziente di funzioni continue a valori reali, e delle proiezioni in R^n. Continuita' della composizione di funzioni continue e cambio di variabile nei limiti. Continuita' delle funzioni costanti. Esempi di funzioni continue. Successioni di Cauchy, convergenti, limitate; successioni limitate hanno estratta convergente. Insiemi limitati in R^n e caratterizzazione con la limitatezza delle proiezioni. Insiemi compatti (per successioni) e insiemi chiusi e limitati. Funzioni uniformemente continue e Lipschitziane. Teoremi sulle funzioni continue sui compatti. Teorema ponte. Insiemi aperti e chiusi in R^n con esempi.
22/01/2014, 2 ore. Argomento: Esercizi su integrali definiti, indefiniti, integrali impropri e derivata di funzioni integrali. Un esercizio su cose varie: formula di Taylor, integrale improprio, disuguaglianze, e limitatezza di funzioni usando il teorema di Weierstrass.
23/01/2014, 2 ore. Argomento: Definizione di prodotto scalare con proprieta' fondamentali, e cenno a interpretazione geometrica. Disuguaglianza di Schwarz, e dimostrazione della disuguaglianza triangolare. Definizione di derivate parziali e qualche esempio di calcolo. Definizione di derivata direzionale. L'esistenza delle derivate parziali in un punto (e anche di tutte le derivate direzionali in quel punto) non implica la continuita' in quel punto. Definizione di funzione differenziabile e di gradiente. Una funzione differenziabile in un punto ha in quel punto le derivate parziali con differenziale uguale al gradiente; ha inoltre tutte le derivate direzionali calcolate in base al gradiente. Una funzione differenziabile in un punto e' continua in quel punto. Teorema del differenziale totale e funzioni di calsse C^1. Cenno a funzioni di classe C^n con n=2,3,4,..., infinito. NOTA BENE: Le funzioni considerate in questa lezione sono TUTTE da un sottoinsieme (aperto) di R^n a valori in R.
24/01/2014, 2 ore. Argomento: Studi di funzione, insiemi aperti, chiusi limitati in esempi concreti, soprattutto nel piano, esempi di domini di funzioni di due variabili. Calcolo di derivate parziali.
27/01/2014, 2 ore. Argomento: Equazioni differenziali. Motivazione. Equazioni a variabili separabili. Equazioni lineari del primo ordine (sia omogenee sia non omogenee). Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti, sia omogenee, sia non omogenee trattate col metodo della variazione delle costanti.
27/01/2014, 2 ore. (Ultima lezione) Argomento: Esercizi su equazioni differenziali: a varibili separabili, lineari del primo ordine, lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.