01/10/2012, 2 ore. Argomento: Cenno a funzioni di piu' variabili e loro domini. Norma in R^n, metrica relativa e spazi metrici. Basi e prodotto scalare in R^n. Disuguaglianza di Schwarz. Palle, sfere, insiemi aperti e insiemi chiusi. Interno, parte esterna, frontiera e chiusura di un insieme. Insiemi limitati.
02/10/2012, 2 ore. Argomento: Proprieta' di insiemi aperti, chiusi, limitati, e di chiusura e frontiera di un insieme in R^n (e in generale in spazi metrici). Punti di accumulazione e isolati. Successioni e loro limiti in spazi metrici. Caratterizzazione della chiusura di un insieme e di un insieme chiuso mediante successioni in spazi metrici. Limiti di successioni in R^n in relazione al limite delle loro proiezioni. Limiti di funzioni e funzioni continue in spazi metrici. Continuita' di somma, prodotto, differenza e quoziente di funzioni continue a valori reali, e delle proiezioni in R^n. Continuita' della composizione di funzioni continue e delle funzioni costanti. Esempio. Elemento infinito in R^n.
08/10/2012, 2 ore. Argomento: Limiti e continuita' di funzioni a valori in R^n si riducono alla proprietra' analoghe delle componenti. Successioni di Cauchy, convergenti, limitate; successioni convergenti sono limitate, e successioni limitate hanno estratta convergente. Insiemi compatti (per successioni) e insiemi chiusi e limitati. Funzioni uniformemente continue e Lipschitziane. Teoremi sulle funzioni continue sui compatti. Teorema ponte.
09/10/2012, 2 ore. Argomento: Limiti e continuita' in spazi metrici: Richiami sul teorema ponte; limiti di funzioni e limiti delle loro restrizioni, cambio di variabile nei limiti, proprieta' dei limiti; le funzioni lineari sono continue; limiti in coordinate polari. Derivate parziali e direzionali e differenziabilita' e relazione di tali nozioni con la continuita'. Curve in R^n (QUESTO ARGOMENTO LO HO AGGIUNTO DOPO PERCHE' SUBITO MI ERO SCORDATO DI AVERLO FATTO).
15/10/2012, 2 ore. Argomento: Differenziabilita' implica derivate direazionali, e scrittura di queste in base al gradiente. Teorema del differenziale totale, funzioni C^1. Insiemi convessi, teorema di Lagrange sul segmento. Derivate di ordine superiore e funzioni C^k. Matrice hessiana, teorema di Schwarz (enunciato).
16/10/2012, 2 ore. Argomento: Teorema di Schwarz (dimostrazione). Piano tangente. Derivate direzionali di secondo ordine e relazione con matrice hessiana. Polinomio di Taylor del secondo ordine, e resto di Peano e di Lagrange. Punti di massimo e di minimo (assoluto e realtivo); condizioni del primo ordine e punti stazionari, punti di sella; condizioni necessarie e condizioni sufficienti del secondo ordine in termini della matrice hessiana.
23/10/2012, 2 ore. Argomento: Calcolo differenziale e continuita' per funzioni a valori vettoriali. In particolare derivate parziali e direzionali, differenziale. Matrice Jacobiana e scrittura del differenziale con essa. Relazioni tra differenziabilita' e continuita', e tra derivate prime continue e differenziabilita' (teorema del differenziale totale). Regola della catena e applicazioni. Funzioni di classe C^k. Richiami sugli estremi relativi (ed assoluti) per funzioni di piu' variabili. Ricerca di estremi assoluti per funzioni di piu' variabili, con un esempio.
25/10/2012, 2 ore. Argomento: Estremi assoluti per funzioni di piu' variabili. Sommatorie: definizione, semplici esempi e semplici proprieta'. Esempi notevoli di sommatorie, in particolare somma dei primi n numeri interi positivi e somma di una progressione geometrica. Serie: definizioni ed esempi. Serie a termini non negativi. Serie geometrica. Relazione tra convergenza di una serie e convergenza a 0 del termine generale della serie. Effetto del cambiamento dei primi termini su una serie. Spezzamento di una serie in una somma di un numero finito di termini e di un'altra serie. Linearita' della somma di una serie.
29/10/2012, 2 ore. Argomento: Serie convergente e resto ennesimo che tende a 0. Criteri del confronto, del confronto asintotico, del rapporto, della radice, e di condensazione (per serie a termini non negativi o positivi). Alcuni esempi, in particolare serie armonica generalizzata.
30/10/2012, 2 ore. Argomento: Criterio di Cauchy per le serie. Serie a termini di segno variabile. Relazione tra convergenza assoluta di una serie e converegenza (semplice) della serie stessa. Criterio di Leibniz. Criteri del rapporto e della radice per serie a termini di segno variabile. Serie telescopiche. Serie e sviluppo decimale di un numero, con un esempio di appliicazione alla ricerca dela frazione generatrice di un numero periodico. Esempi.
06/11/2012, 2 ore. Argomento: Esempi di Serie. Criterio integrale per le serie. Cenno ai riordinamenti di una serie. Serie di Taylor. Condizioni perche' una funzione sia sviluppabile in serie di Taylor. Serie di Taylor delle principali funzioni. Esempio di una funzione la cui serie di Taylor converge ma non alla funzione stessa. Convergenza puntuale e uniforme di successioni di funzioni.
08/11/2012, 2 ore. Argomento: Convergenza puntuale e uniforme di successioni e serie di funzioni, e loro relazione con continuita', derivata e integrale. Esempi. Criterio di Cauchy uniforme. Cenno alla convergenza totale. Esempi di serie numeriche.
13/11/2012, 2 ore. Argomento: Convergenza totale e relazione tra convergenza uniforme di una serie di funzioni e convergenza uniforme a 0 della successione associata. Serie di potenze: insieme di convergenza; raggio di convergenza; integrazione termine a termine e derivazione termine a termine; il raggio di convergenza di una serie di potenze e' lo stesso di quello della serie delle derivate; convergenza uniforme in intervalli chiusi dentro il cerchio di convergenza; qualche esempio. Ogni serie di potenze e' una serie di Taylor; concetto di funzione analitica.
15/11/2012, 2 ore. Argomento: Serie di potenze: Richiami ed esempi, calcolo della serie di Taylor di alcune funzioni specifiche con relativo intervallo di convergenza. Richiami sulle serie numeriche ed esempi. Serie di Fourier: coefficienti di Fourier, teorema della convergenza puntuale, serie di Fourier di funzioni pari e di funzioni dispari.
20/11/2012, 2 ore. Argomento: Curve, curve semplici, piane, chiuse, di Jordan. Nozione di insieme connesso e caratterizzazione (solo enunciata) mediante curve continue o poligonali; teorema delle curve di Jordan (enunciato), orientazione di una curva di Jordan. Esempi di curve. Curve C^1, regolari, C^1 a tratti, regolari a tratti. Vettore tangente a una curva, vettore velocita'. Derivate di funzioni lungo curve e, piu' in generale derivate di funzioni composte. Cambiamento di parametro in una curva. Lunghezza di una curva. Integrali di funzioni a valori vettoriali, semplici proprieta', in particolare la norma dell'integrale e' minore o uguale dell'integrale della norma. Una serie.
27/11/2012, 2 ore. Argomento: Formula per la lunghezza di una curva con integrale della norma della derivata. Curve rettificabili. Esempi. Integrale curvilineo di prima specie, e invarianza della lunghezza e dell'integrale curvilineo per cambio di parametrizzazione. Parametrizzazione per lunghezza d'arco. Definizione di integrale curvilineo di seconda specie.
29/11/2012, 2 ore. Argomento: Integrale curvilineo di seconda specie e sua formulazione in ternini di integrale di forma differenziale. Invarianza (a meno del segno) di tale integrale per cambio di parametrizzazione. Forme differenziali esatte (o campi conservativi) e formulazione equivalenti: esistenza di una primitiva, integrali lungo cammini; costruzione di una primitiva (o potenziale). Forme differenzili chiuse (o campi irrotazionali), definizione di rotore per funzioni da R^3 in R^3. Ogni forma esatta e' chiusa, ma non vale il viceversa. Cenno al fatto che sugli insiemi semplicemente connessi ogni forma chiusa e' esatta.
04/12/2012, 2 ore. Argomento: Definizione di curve omotope e di insieme semplicemente connesso. I convessi sono semplicemente connessi. L'integrale di una forma chiusa e' invariante per omotopia; sui semplicemente connessi ogni forma chiusa e' esatta. Esempi di forme chiuse ed esatte e calcolo della loro primitiva. Esempi di serie di funzione. Integrali doppi: definizione di integrale e di integrabilita' su un rettangolo, ogni funzione continua su un rettangolo e' integrabile, integrale delle funzioni costanti.
06/12/2012, 2 ore. Argomento: Principali proprieta' delle funzioni Riemann-integrabili e degli integrali di Riemann su un rettangolo. Formula di riduzione per integrali di Riemann su un rettangolo. Definizione di integrale di Riemann di funzioni su un insieme limitato.
11/12/2012, 2 ore. Argomento: Formula di riduzione per integrali di Riemann su un rettangolo (dimostrazione). Insiemi misurabili e insiemi di misura nulla e loro proprieta'. Qualche esempio. Prime proprieta' delle funzioni integrabili su insiemi limitati.
13/12/2012, 2 ore. Argomento: Proprieta' delle funzioni integrabili e degli integrali su insiemi limitati. Domini normali e formula di riduzione degli integrali doppi su domini normali, con un esempio.
18/12/2012, 2 ore. Argomento: Ancora esempi di domini normali ed integrali su di essi. Integrali su unioni quasi disgiunte di domini semplici. Cambio di variabile in integrali doppi: formula ed idea del motivo per cui la tale formula e' ragionevole. Coordinate polari: formula ed esempi, integrale della gaussiana.
20/12/2012, 2 ore. Argomento: Integrali dipendenti da un parametro: continuita' e derivata della funzione integrale. Formule di Green nel piano: dimostrazione per domini normali rispetto ad entrambi gli assi, e spiegazione in casi concreti di come la formula si estende in domini piu' generali. Teorema della divergenza nel piano. Relazione del teorema di Green con l'enunciato che in certi insiemi (nel piano) ogni forma chiusa e' esatta.
08/01/2013, 2 ore. Argomento: Integrali tripli, visti in analogia con gli integrali doppi: Definizioni e principali proprieta' analoghe a quelle degli integrali doppi, incluse definizioni e proprieta' di insiemi misurabili, di misura di un insieme e di insiemi di misura nulla. Formule di riduzione per integrali tripli sia su prodotti di intervalli, sia su domini normali, integrazione per fili e per strati; alcuni esempi di integrali tripli e in particolare di volumi di insiemi.
10/01/2013, 2 ore. Argomento: Area delll'immagine di un insieme tramite omotetia. Cambio di variabile negli integrali tripli, coordinate cilindriche e coordinate sferiche. Ancora esempi di integrali tripli. Superfici e parametrizzazione di superfici, superfici regolari, punti interni e punti di bordo di una superficie. Piano tangente e normale ad una superficie regolare in un punto. Area di una superficie. Qualche esempio.
14/01/2013, 2 ore. Argomento: Area di una superficie e motivazione della formula che definisce l'area. Integrali superficiali. Versori noramli ad una superficie regolare. Orientazioni di superfici e superfici orientabili, orientazione del bordo di una superficie. Superfici "composte" e loro orientazione. Flusso lungo una superficie e teorema della divergenza nello spazio.
17/01/2013, 2 ore. Argomento: Teorema di Stokes e considerazioni collegate. Teoremi dell'inversione locale e delle funzioni implicite con casi particolari ed esempi.
18/01/2013, 2 ore. Argomento: Teorema delle funzioni implicite con casi particolari e considerazioni collegate, ad esempio curve e superfici in forma implicita. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange (enunciato) con casi particolari ed esempio.
22/01/2013, 2 ore. Argomento: Metodo dei moltiplicatori di Lagrange (dimostrazione) ed esempi relativi. Calcolo delle derivate parziali di funzioni composte.
24/01/2013, 2 ore. Argomento: Richiami e precisazioni di cose viste e cose collegate.