Lezioni corso di CAM1 per Matematica 2019/20
30/09/2019, 2 ore. Argomento: Richiami sulla misura di Lebesgue. Cardinalità di insiemi: insiemi equipotenti e "più grandi" di altri insiemi, insiemi numerabili e proprietà relative, in particolare quelle collegate al fatto che il numerabile è la più piccola cardinalità infinita, teorema di Cantor-Bernstein. Cardinalità dell'insieme delle parti di un insieme. Cardinalità del continuo.
02/10/2019, 2 ore. Argomento: Ancora insiemi numerabili. Insiemi con la cardinalità del continuo. Algebre e sigma-algebre su insiemi. Massimo e minimo limite di insiemi. Esempi. Sigma-algebra generata da un insieme, sigma-algebra dei boreliani. Funzioni additive, sigma-additive e sigma-subadditive di insiemi e alcune proprietà relative.
04/10/2019, 2 ore. Argomento: Funzioni additive, sigma-additive e sigma-subadditive di insiemi e proprietà relative. Misure, relazione con massimo e minimo limite di insiemi. Classi monotone, teorema di Halmos. Estensione di funzioni sigma-additive su un'algebra di insiemi e unicità dell'estensione nel caso di funzioni sigma-additive sigma-finite. Concetto di misura esterna.
07/10/2019, 2 ore. Argomento: Esistenza e unicità della misura estensione di una funzione sigma-additiva su un'algebra di insiemi. Misure esterne e insiemi misurabili rispetto ad esse. Misure esterne derivate da funzioni sigma-additive di insieme. Teorema di Caratheodory. Premesse alla definizione della misura di Lebesgue su [0,1[.
14/10/2019, 2 ore. Argomento: Misura di Lebesgue nell'intervallo [0,1[. Misura di Lebesgue in R e in R^n. Boreliani sui sottoinsiemi. Invarianza per traslazione.
16/10/2019, 2 ore. Argomento: Alcuni esempi di misura di Lebesgue di insiemi, in particolare gli aperti non vuoti hanno misura positiva. Ogni insieme aperto è unione numerabile disgiunta di cubi diadici. Regolarità di misure finite e di Radon.
21/10/2019, 2 ore. Argomento: Regolarità di misure di Radon. Misure invarianti per traslazioni. Invarianza per rotazione della misura di Lebesgue e generalizzazione. Spazi di misura e funzioni misurabili. Prime proprietà delle funzioni misurabili. Proprietà delle funzioni misurabili, come per esempio misurabilità di somma, prodotto, massimo e minimo limite di funzioni misurabili. Caratterizzazioni della misurabilità di una funzione anche se la funzione è a valori non necessariamente finiti.
28/10/2019, 2 ore. Argomento: Funzioni caratteristiche e semplici. Approssimazione di una funzione misurabile con funzioni semplici. Convergenza quasi ovunque e convergenza quasi uniforme, e relazioni tra tali nozioni, in particolare equivalenza su spazi di misura finita. Relazione tra misurabilità di funzioni che coincidono quasi ovunque. Definizione di integrale di funzioni semplici non negative con alcune proprietà e di integrale di funzioni misurabili non negative.
30/10/2019, 2 ore. Argomento: Teorema di Beppo Levi. Integrale di Lebesgue di funzioni di segno variabile. Proprietà dell'integrale di Lebesgue.
06/11/2019, 2 ore. Argomento: Integrale di funzioni definite su un sottoinsieme, Proprietà dell'integrale di Lebesgue con richiami su proprietà viste in precedenza. L'integrale di una funzione non negativa è una misura. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale: teorema di Beppo Levi, lemma di Fatou, teorema della convergenza dominata. Assoluta continuità dell'integrale di una funzione sommabile rispetto alla misura di Lebesgue.
11/11/2019, 2 ore. Argomento: Continuità e derivabilità di funzioni integrali. Spazi L^p: norma p, classe di equivalenza che identifica due funzioni se sono uguali quasi ovunque, definizione di spazio L^p, spazio l^p, disuguaglianza di Holder, disuguaglianza di Minkowski. Inclusione tra spazi L^p (in parte).
15/11/2019, 2 ore. Argomento: Inclusione tra spazi L^p. Completezza dello spazio normato L^p ed esistenza, per una successione di Cauchy in L^p, di una sottosuccessione convergente quasi ovunque. Spazio normato L^p con p infinito e dimostrazione della sua completezza. Spazio l^p con p=infinito. Convergenza in misura e relazione con la convergenza quasi uniforme. La convergenza in L^p implica quella in misura Una successione convergente in misura ha un'estratta che converge quasi uniformemente.
20/11/2019, 2 ore. Argomento: Teorema di Lusin e applicazione. Densità delle funzioni continue a supporto compatto in L^p con p finito (ma non per p infinito).
25/11/2019, 2 ore. Argomento: Densità delle funzioni continue a supporto compatto in L^p con p finito. Separabilità di spazi L^p con p finito (e non separabilità se p=infinito). Sigma-algebra prodotto. Introduzione alla misura prodotto.
27/11/2019, 2 ore. Argomento: Misura prodotto. Teoremi di Tonelli e di Fubini. Funzioni monotone e proprietà: insieme dei punti di discontinuità è finito o numearbile. Definizione di funzioni a variazione limitata. Relazioni tra variazione limitata e monotonia. Le funzioni a variazione limitata formano uno spazio vettoriale; relazione tra variazione di una funzione e di un suo multiplo, e disuguaglianza triangolare per la variazione.
02/12/2019, 2 ore. Argomento: Ogni funzione a variazione limitata è differenza di due funzioni crescenti. Altre semplici proprietà della variazione totale. Ogni funzione crescente è derivabile quasi ovunque. Formula fondamentale del calcolo integrale per funzioni crescenti.
04/12/2019, 2 ore. Argomento: Formula fondamentale del calcolo integrale per funzioni crescenti. Relazione tra funzioni a variazione limitata e formula fondamentale del calcolo integrale. Funzioni assolutamente continue: definizione e relazioni con le funzioni a variazione limitata. Prime proprietà delle funzioni assolutamente continue. Formula fondamentale del calcolo integrale per funzioni assolutamente continue e teorema fondamentale del calcolo integrale per funzioni sommabili. Funzioni assolutamente continue con derivata nulla quasi ovunque. Relazione tra variazione totale e integrale del modulo della derivata. Prodotto di funzioni assolutamente continue (cenno).
11/12/2019, 2 ore. Argomento: Teorema di rappresentazione di Riesz sul fatto che ogni funzionale lineare positivo sulle funzioni continue a supporto compatto è rappresentabile come misura di Radon (la dimostrazione è stata data in R^N e in sostanza anche l'enunciato, il caso di spazi localmente compatti è stato solo accennato).
Esercitazioni e tutorati09/10/2019, 2 ore. Argomento: Cardinalità di insiemi: in particolare la numerabilità dell'insieme dei numeri algebrici, insiemi con la cardinalità del continuo. Sigma-algebre e loro cardinalità. Misure invarianti per traslazione e insieme di Vitali.
18/10/2019, 2 ore. Argomento: Insieme di Vitali. Proprietà generali delle misure e della misura di Lebesgue in particolare. Misura di Lebesgue di insiemi specifici. Caratterizzazione degli insiemi Lebesgue misurabili come unione di un boreliano e di un sottoinsieme di un boreliano di misura nulla (inizio). I punti di continuità di una qualunque funzione costituiscono un boreliano. Sistemi di numerazione. Insieme di Cantor.
25/10/2019, 2 ore. Argomento: Caratterizzazione degli insiemi Lebesgue-misurabili. Funzioni misurabili e operazioni su funzioni misurabili. Cardinalità di insiemi Lebesgue misurabili, aperti e (cenno) boreliani in R^n
04/11/2019, 2 ore. Argomento: Funzioni misurabili. Insiemi aperti di misura positiva e funzioni continue che coincidono quasi ovunque. L'insieme dei punti ove una funzione è derivabile è un boreliano. Integrale rispetto alla misura che conta e applicazioni.
08/11/2019, 2 ore. Argomento: Funzioni misurabili e insiemi misurabili. Relazioni tra integrali definiti in modo diverso, in particolare anche sulla sigma-algebra dei boreliani e su quella dei Lebesgue-misurabili. Relazione tra integrale di Riemann e integrale di Lebesgue, anche per integrali impropri. Misura di unione quasi disgiunta. Integrali su insiemi che differiscono per insiemi di misura nulla.
13/11/2019, 2 ore. Argomento: Esempio di funzione Lebesgue-integrabile (anzi sommabile) che non coincide quasi ovunque con alcuna funzione Riemann-integrabile. Integrale di funzioni su insiemi che differiscono per insiemi di misura nulla. Esempi di calcolo di integrali. Insiemi boreliani. Passaggio al limite sotto il segno di integrale.
18/11/2019, 2 ore. Argomento: Sigma-algebre. Esempio di applicazione di derivata sotto integrale e continuità di funzione integrale. Richiami di topologia (in particolare, questioni connesse alla separabilità, base numerabile di aperti e proprietà di Lindelof)
22/11/2019, 2 ore. Argomento: Richiami di topologia (in particolare, questioni connesse alla separabilità, base numerabile di aperti e proprietà di Lindelof) e applicazione a misure localmente nulle. Misura di Dirac e integrale rispetto ad essa. Boreliani. Teoremi di passaggio al limite sotto integrale. Misura di Lebesgue di insiemi e funzioni in L^p.
29/11/2019, 2 ore. Argomento: Densità di insiemi rispetto alla misura di Lebesgue. Misura di Lebesgue di insiemi. Convergenza quasi ovunque, quasi uniforme, in misura e in L^p. Sigma-algebra dei boreliani del prodotto coincide con la sigma-algebra del prodotto delle sigma-algebre dei boreliani in spazi metrici separabili (non finito).
09/12/2019, 2 ore. Argomento: Sigma-algebra dei boreliani del prodotto coincide con la sigma-algebra del prodotto delle sigma-algebre dei boreliani in spazi metrici separabili (fine). L'analogo è falso se prendiamo i Lebesgue misurabili invece dei borelioani (in R^N). Teoremi di Fubini e di Tonelli, in particolare anche sulla misura che conta. 16/12/2019, 2 ore. Argomento: Teoremi di Fubini e di Tonelli, con applicazioni alla misura di grafici, sopragrafici, sottografici. Le varietè hanno misura nulla. Funzioni A.C. e B.V.. Formula di integrazione per parti per funzioni A.C.. 18/12/2019, 2 ore. Argomento: Ancora funzioni A.C. e B.V.. Logica. Teorema di partizione dell'unità. Cenno ad argomenti più avanzati di teoria della misura.