Lezioni corso di CAM1 per Matematica 2018/19
01/10/2018, 2 ore. Argomento: Richiami sulla misura di Lebesgue. Cardinalità di insiemi: insiemi equipotenti e "più grandi" di altri insiemi, insiemi numerabili e proprietà relative, in particolare quelle collegate al fatto che il numerabile è la più piccola cardinalita' infinita, teorema di Cantor-Bernstein. Cardinalità del continuo.
04/10/2018, 2 ore. Argomento: Cardinalità dell'insieme delle parti di un insieme. Sottoinsiemi di R^n con la cardinalità del continuo. Algebre e sigma-algebre su insiemi. Massimo e minimo limite di insiemi. Esempi. Funzioni additive, sigma-additive e sigma-subadditive di insiemi. Sigma-algebra generata da un insieme, sigma-algebra dei boreliani.
05/10/2018, 2 ore. Argomento: Funzioni additive, sigma-additive e sigma-subadditive di insiemi e proprietà relative. Misure, relazione con massimo e minimo limite di insiemi. Classi monotone, teorema di Halmos. Estensione di funzioni sigma-additive su un'algebra di insiemi.
08/10/2018, 2 ore. Argomento: Esistenza e unicità della misura estensione di una funzione sigma-additiva su un'algebra di insiemi. Misure esterne e insiemi misurabili rispetto ad esse. Misure esterne derivate da funzioni sigma-additive di insieme. Teorema di Caratheodory. Premesse alla definizione della misura di Lebesgue su [0,1[.
15/10/2018, 2 ore. Argomento: Misura di Lebesgue nell'intervallo [0,1[. Misura di Lebesgue in R e in R^n. Boreliani sui sottoinsiemi. Invarianza per traslazione. Gli aperti non vuoti hanno misura positiva.
18/10/2018, 2 ore. Argomento: Ogni insieme aperto è unione numerabile disgiunta di cubi diadici. Regolarità di misure finite e di Radon. Qualche esempio.
22/10/2018, 2 ore. Argomento: Misure invarianti per traslazioni. Invarianza per rotazione della misura di Lebesgue e generalizzazione. Spazi di misura e funzioni misurabili. Prime proprietà delle funzioni misurabili. Proprietà delle funzioni misurabili, come per esempio misurabilità di somma, prodotto, massimo e minimo limite di funzioni misurabili. Caratterizzazioni della misurabilità di una funzione anche se la funzione è a valori non necessariamente finiti. Funzioni caratteristiche e semplici.
25/10/2018, 2 ore. Argomento: Funzioni caratteristiche e semplici. Approssimazione di una funzione misurabile con funzioni semplici. Convergenza quasi ovunque e convergenza quasi uniforme, e relazioni tra tali nozioni, in particolare equivalenza su spazi di misura finita. Relazione tra misurabilità di funzioni che coincidono quasi ovunque. Definizione di integrale di funzioni semplici non negative e di integrale di funzioni misurabili non negative.
05/11/2018, 2 ore. Argomento: Prime proprietà dell'integrale di Lebsegue di funzioni non negative. Teorema di Beppo Levi. Integrale di Lebesgue di funzioni di segno variabile. Proprietà dell'integrale di Lebesgue.
08/11/2018, 2 ore. Argomento: Integrale di funzioni definite su un sottoinsieme. Proprietà dell'integrale di Lebesgue. L'integrale di una funzione non negativa è una misura. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale: teorema di Beppo Levi, lemma di Fatou, teorema della convergenza dominata.
12/11/2018, 2 ore. Argomento: Assoluta continuità dell'integrale di una funzione sommabile rispetto alla misura di Lebesgue. Continuità e derivabilità di funzioni integrali. Spazi L^p: norma p, classe di equivalenza che identifica due funzioni se sono uguali quasi ovunque, definizione di spazio L^p, spazio l^p, disuguaglianza di Holder, disuguaglianza di Minkowski (enunciato e inizio della dimostrazione).
19/11/2018, 2 ore. Argomento: Disuguaglianza di Minkowski (fine della dimostrazione). Inclusione tra spazi L^p. Completezza dello spazio normato L^p ed esistenza, per una successione di Cauchy in L^p, di una sottosuccessione convergente quasi ovunque. Spazio normato L^p con p infinito e dimostrazione della sua completezza. Spazio l^p con p=infinito. Convergenza in misura e relazione con la convergenza quasi uniforme. La convergenza in L^p implica quella in misura (dimostrato se p diverso da infinito).
22/11/2018, 2 ore. Argomento: Dimostrazione che la convergenza in L^p implica quella in misura se p=infinito. Una successione convergente in misura ha un'estratta che converge quasi uniformemente. Teorema di Lusin e applicazione. Densità delle funzioni continue a supporto compatto in L^p con p finito.
26/11/2018, 2 ore. Argomento: Densità delle funzioni continue a supporto compatto in L^p con p finito. Separabilità di spazi L^p con p finito (e non separabilità se p=infinito). Sigma-algebra prodotto. Introduzione alla misura prodotto.
30/11/2018, 2 ore. Argomento: Misura prodotto. Teoremi di Tonelli e di Fubini. Funzioni monotone e proprietà: insieme dei punti di discontinuità è finito o numearbile. Definizione di funzioni a variazione limitata. Relazioni tra variazione limitata e monotonia. Cenno a prime proprietà dell'insieme delle funzioni a variazione limitata.
06/12/2018, 2 ore. Argomento: Relazioni tra variazione limitata e monotonia. Le funzioni a variazione limitata formano uno spazio vettoriale; relazione tra variazione di una funzione e di un suo multiplo, e disuguaglianza triangolare per la variazione. Altre semplici proprietà della variazione totale. Ogni funzione crescente è derivabile quasi ovunque. Formula fondamentale del calcolo integrale per funzioni crescenti.
10/12/2018, 2 ore. Argomento: Relazione tra funzioni a variazione limitata e formula fondamentale del calcolo integrale. Funzioni assolutamente continue: definizione e relazioni con le funzioni a variazione limitata. Prime proprietà delle funzioni assolutamente continue. Formula fondamentale del calcolo integrale per funzioni assolutamente continue e teorema fondamentale del calcolo integrale per funzioni sommabili. Funzioni assolutamente continue con derivata nulla quasi ovunque. Relazione tra variazione totale e integrale del modulo della derivata. Prodotto di funzioni assolutamente continue.
14/12/2018, 2 ore. Argomento: Teorema di rappresentazione di Riesz sul fatto che ogni funzionale lineare positivo sulle funzioni continue a supporto compatto è rappresentabile come misura di Radon (la dimostrazione è stata data in R^N e in sostanza anche l'enunciato, il caso di spazi localmente compatti è stato solo accennato).
Esercitazioni e tutorati11/10/2018, 2 ore. Argomento: Sigma-algebre, loro cardinalità, insiemi boreliani. Insiemi numerabili. Alcune proprietà generali delle misure, misure invarianti per traslazione. Insieme di Vitali.
19/10/2018, 2 ore. Argomento: Proprietà generali delle misure e della misura di Lebesgue in particolare. Misura di Lebesgue di insiemi specifici. Caratterizzazione degli insiemi Lebesgue misurabili come unione di un boreliano e di un sottoinsieme di un boreliano di misura nulla. Approssimazione di boreliani (e di Lebesgue misurabili) con insiemi F_sigma. Sistemi di numerazione. Insieme di Cantor (inizio).
26/10/2018, 2 ore. Argomento: Insieme di Cantor e funzione di Cantor. Funzioni misurabili, in particolare le funzioni crescenti e le derivate sono misurabili. Operazioni tra funzioni misurabili, anche quando le funzioni sono a valori reali estesi.
09/11/2018, 2 ore. Argomento: Aperti densi di misura di Lebesgue arbitrariamente piccola. Boreliani in [0,1[. Esempi di funzioni misurabili. Relazioni tra integrali definiti in modo diverso, in particolare sui sottoinisemi. Relazione tra integrale di Riemann e integrale di Lebesgue, anche per integrali impropri.
15/11/2018, 2 ore. Argomento: Integrale rispetto alla misura che conta e applicazione sullo scambio tra serie se gli addendi sono positivi. Dimostrazione che ogni funzione integrabile Riemann è integrabile Lebesgue. Funzioni integrabili Lebesgue che non coincidono quasi ovunque con integrabili Riemann. Insiemi boreliani, in particolare, l'insieme ove una qualunque funzione da R in R è derivabile è un boreliano.
16/11/2018, 2 ore. Argomento: Funzioni integrabili (anzi sommabili) Lebesgue che non coincidono quasi ovunque con integrabili Riemann. Integrali di funzioni definite a pezzi (semplici). Esercizi sui teoremi di passaggio al limite sotto integrale. Esempio di applicazione di derivata sotto integrale e continuità di funzione integrale. Integrale rispetto alla delta di Dirac.
23/11/2018, 2 ore. Argomento: Funzioni integrabili e sommabili. Relazione tra norma p e norma infinito. Uso dei teoremi di passaggio al limite sotto integrale. Esercizi su insiemi traslati e loro intersezione usando anche la misura di Lebesgue e la sua invarianza per traslazioni.
29/11/2018, 2 ore. Argomento: Convergenza puntuale, quasi ovunque, quasi uniforme, in misura e in L^p di successioni di funzioni. Passaggio al limite sotto integrale. Spazi L^p. Richiami di topologia (in particolare, questioni connesse alla separabilità, base numerabile di aperti e proprietà di Lindelof) e applicazione a misure localmente nulle. Approssimazione di boreliani con aperti e con compatti. Funzioni misurabili e insiemi misurabili.
03/12/2018, 2 ore. Argomento: Convergenza in misura e in L^p. Sigma-algebra dei boreliani del prodotto coincide con la sigma-algebra del prodotto delle sigma-algebre dei boreliani in spazi metrici separabili. Misura di Lebesgue sul prodotto e prodotto delle misure di Lebesgue. Misurabilità e misura nulla del grafico. Forse integrali rispetto a misura ristretta.
07/12/2018, 2 ore. Argomento: Convergenza in misura e in L^p. Teoremi di Tonelli e di Fubini applicati alla misura che conta. Esempio sul teorema di Fubini in R^2. Sottoinsiemi di R^N ove gli aperti non vuoti hanno misura positiva. Funzioni a variazione limitata, anche relazione con le curve rettificabili.
13/12/2018, 2 ore. Argomento: Funzione di Cantor, dimostrazione che non è assolutamente continua. Esempio di insieme Lebesgue misurabile ma non boreliano in R usando la funzione di Cantor. Funzioni A.C. e B.V. e calcolo della variazione totale di funzioni B.V.
20/12/2018, 2 ore. Argomento: Ancora funzioni A.C. e fuznioni B.V. Relazione per funzioni A.C. tra derivata nulla e costanza della funzione. Questi sono gli argomenti definitivi di quseat esercitazione.
Ore di spiegazioni-tutorati dopo la fine del corso (in genere spiegazioni di esercizi a richiesta degli studenti)18/01/2019, 3 ore.