01/10/2012, 2 ore. Argomento: Richiami sulla misura di Lebesgue. Cardinalita' di insiemi: insiemi equipotenti e "piu' grandi" di altri insiemi, insiemi numerabili e proprieta' relative, in particolare quelle collegate al fatto che il numerabile e' la piu' piccola cardinalita' infinita, teorema di Cantor-Bernstein. Algebre e sigma-algebre di insiemi.
03/10/2012, 2 ore. Argomento: Algebre e sigma-algebre su insiemi. Massimo e minimo limite di insiemi. Esempi. Funzioni additive, sigma-additive e sigma-subadditive di insiemi e proprieta' relative. Sigma-algebra generata da un insieme, sigma-algebra dei boreliani.
05/10/2012, 2 ore. Argomento: Misure, relazione con massimo e minimo limite di insiemi. Classi monotone, teorema di Halmos. Estensione di funzioni sigma-additive su un'algebra di insiemi. Misure esterne e insiemi misurabili rispetto ad esse. Misure esterne derivate da funzioni sigma-additive di insieme. Enunciato del teorema di Caratheodory.
08/10/2012, 2 ore. Argomento: Teorema di Caratheodory. Misure che estendono funzioni sigma-additive su un'algebra di insiemi. Misura di Lebesgue nell'intervallo [0,1[. Misura di Lebesgue in R (inizio). Boreliani sui sottoinsiemi.
10/10/2012, 2 ore. Argomento: Misura di Lebesgue in R e in R^n. Invarianza per traslazione. Qualche esempio. Ogni insieme aperto e' unione numerabile disgiunta di cubi diadici.
17/10/2012, 2 ore. Argomento: Regolarita' di misure finite e di Radon. Misure invarianti per traslazioni. Invarianza per rotazione della misura di Lebesgue e generalizzazione. Spazi di misura e funzioni misurabili. Prime proprieta' delle funzioni misurabili.
19/10/2012, 2 ore. Argomento: Proprieta'delle funzioni misurabili, come per esempio misurabilita' di somma, prodotto, massimo, minimo, limite di funzioni misurabili. Caratterizzazioni della misurabilita' di una funzione anche se la funzione e' a valori non necessariamente finiti. Funzioni caratteristiche e semplici. Approssimazione di una funzione misurabile con funzioni semplici. Convergenza quasi ovunque e convergenza quasi uniforme, e cenno a relazioni tra tali nozioni.
26/10/2012, 2 ore. Argomento: Relazione tra misurabilita' di funzioni che coincidono quasi ovunque. Relazione tra convergenza quasi ovunque e convergenza quasi uniforme, in particolare equivalenza su spazi di misura finita. Definizione di integrale di funzioni semplici non negative e di integrale di funzioni misurabili non negative. Prime proprieta' dell'integrale. Teorema di Beppo Levi.
29/10/2012, 1 ora. Argomento: Integrale di Lebesgue di funzioni di segno variabile. Proprieta' dell'integrale di Lebesgue.
31/10/2012, 1 ora. Argomento: Integrale di funzioni definite su un sottoinsieme. Proprieta' dell'integrale di Lebesgue. L'integrale di una funzione non negativa e' una misura. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale: teorema di Beppo Levi, lemma di Fatou, teorema della convergenza dominata.
07/11/2012, 2 ore. Argomento: Alcune precisazioni e richiami. Assoluta continuita' dell'integrale di una funzione sommabile rispetto alla misura di Lebesgue. Continuita' e derivabilita' di funzioni integrali. Spazi L^p: norma p, classe di equivalenza che identifica due funzioni se sono uguali quasi ovunque, definizione di spazio L^p, spazio l^p, disuguaglianza di Holder.
21/11/2012, 2 ore. Argomento: Disuguaglianza di Minkowski. Inclusione tra spazi L^p. Completezza dello spazio normato L^p ed esistenza, per una successione di Cauchy in L^p, di una sottosuccessione convergente quasi ovunque. Spazio normato L^p con p infinito e dimostrazione della sua completezza. Spazio l^p con p=infinito. Convergenza in misura e relazione con la convergenza quasi uniforme.
23/11/2012, 2 ore. Argomento: Convergenza in misura e relazione con la convergenza quasi uniforme, quasi ovunque e in L^p. Teorema di Lusin e applicazione. Densita' delle funzioni continue a supporto compatto in L^p con p finito.
28/11/2012, 2 ore. Argomento: Densita' delle funzioni continue a supporto compatto in L^p con p finito. Separabilita' di spazi L^p con p finito (e non separabilita' se p=infinito). Sigma-algebra prodotto. Introduzione alla misura prodotto.
03/12/2012, 2 ore. Argomento: Misura prodotto. Teoremi di Tonelli e di Fubini. Funzioni monotone e proprieta' di locale limitatezza, misurabilita' e insieme dei punti di discontinuita' e di non derivabilita'. Definizione di funzioni a variazione limitata. Relazioni tra variazione limitata e monotonia. Le funzioni a variazione limitata formano uno spazio vettoriale; relazione tra variazione di una funzione e di un suo multiplo, e disuguaglianza triangolare per la variazione.
05/12/2012, 2 ore. Argomento: Semplici proprieta' della variazione totale. Relazioni tra variazione limitata e monotonia. Ogni funzione crescente e' derivabile quasi ovunque. Formula fondamentale del calcolo integrale per funzioni crescenti.
10/12/2012, 2 ore. Argomento: Relazione tra funzioni a variazione limitata e formula fondamentale del calcolo integrale. Funzioni assolutamente continue: definizione e relazioni con le funzioni a variazione limitata. Prime proprieta' delle funzioni assolutamente continue. Formula fondamentale del calcolo integrale per funzioni assolutamente continue e teorema fondamentale del calcolo integrale per funzioni sommabili. Funzioni assolutamente continue con derivata nulla quasi ovunque. Relazione tra variazione totale e integrale del modulo della derivata. Prodotto di funzioni assolutamente continue.
Esercitazioni del corso
12/10/2012, 2 ore. Argomento: Sigma-algebre, loro cardinalita', insiemi boreliani, insiemi Lebesgue-misurabili; caratterizzazioni degli insiemi Lebesgue-misurabili. Proprieta' semplici e generali delle misure e della misura di Lebesgue in particolare. Insieme di Vitali. Sistemi di numerazione.
15/10/2012, 2 ore. Argomento: Sistemi di numerazione, insieme di Cantor, cardinalita', misure positive sui punti.
24/10/2012, 2 ore. Argomento: Insiemi boreliani negli intervalli [a,b[, e insiemi boreliani in genere. Funzioni misurabili e operazioni su funzioni misurabili. Regolarita' per insiemi Lebesgue-misurabili.
29/10/2012, 1 ora. Argomento: Insiemi boreliani. Insiemi aperti di misura positiva e funzioni continue che coincidono quasi ovunque. Integrale della serie uguale serie degli integrali per funzioni non negative. Integrale rispetto alla misura che conta. Richiami generali sulla teoria della misura.
31/10/2012, 1 ora. Argomento: Integrale rispetto alla misura che conta. Funzioni misurabili, integrabili e sommabili.
05/11/2012, 2 ore. Argomento: Relazioni tra integrali definiti in modo diverso, in particolare anche sulla sigma-algebra dei boreliani e su quella dei Lebesgue-misurabili. Relazione tra integrale di Riemann e integrale di Lebesgue, anche per
09/11/2012, 2 ore. Argomento: Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Funzioni integrabili Lebesgue ma non integrabili Riemann. Integrali su insiemi che differiscono per insiemi di misura nulla. Calcolo di integrali. Continuita' e derivata di funzioni integrali, e applicazioni al calcolo di integrali. Teorema di Beppo Levi sulla misura che conta. Misura di Dirac e integrale rispetto alla misura di Dirac. Insiemi misurabili e funzioni misurabili (per casa). Funzioni integrabili, sommabili, integrabili in senso improprio.
12/11/2012, 2 ore. Argomento: Relazione tra integrale sull'unione disgiunta e serie degli integrali. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Continuita' e derivata di funzioni integrali, e applicazioni al calcolo di integrali. Insiemi misurabili e boreliani, integrale di Lebesgue su insiemi. Funzioni misurabili, integrabili, sommabili, integrabili in senso improprio.
26/11/2012, 2 ore. Argomento: Convergenza puntuale, uniforme, quasi ovunque, quasi uniforme, in misura e in L^p di successioni di funzioni. Passaggio al limite sotto integrale. Spazi L^p. Disuguaglianza di Minkowski. Richiami di topologia (in particolare, questioni connesse alla separabilita'). Approssimazione di boreliani con aperti.
30/11/2012, 2 ore. Argomento: Spazi L^p e convergenza in spazi L^p. Convergenza in misura e convergenza quasi ovunque e in L^p. Richiami di topologia, in particolare relazione tra base numerabile di aperti e proprieta' di Lindelof.
07/12/2012, 2 ore. Argomento: Boreliani del prodotto e prodotto dei boreliani. In genere sigma-algebre prodotto e misure prodotto. Teoremi di Tonelli e Fubini, anche per misura che conta. Applicazioni al calcolo di misure e integrali. Esempi di insiemi di misura nulla. Funzioni assolutamente continue e funzioni a variazione limitata.
12/12/2012, 2 ore. Argomento: Funzioni assolutamente continue e funzioni a variazione limitata. Relazione con lunghezza di una curva. Esempi, in particolare funzione di Cantor. Relazione tra quasi ovunque (rispetto alla misura di Lebesgue) e densita'.
14/12/2012, 2 ore. Argomento: Spazi L^p. Convoluzioni. Funzioni A.C. e B.V.