04/10/2011, 2 ore. Argomento: Richiami sulla misura di Lebesgue. Cardinalita' di insiemi: insiemi equipotenti e "piu' grandi" di altri insiemi, insiemi numerabili e proprieta' relative, in particolare quelle collegate al fatto che il numerabile e' la piu' piccola cardinalita' infinita, teorema di Cantor-Bernstein. Algebre e sigma-algebre di insiemi.
05/10/2011, 2 ore. Argomento: Algebre e sigma-algebre su insiemi. Massimo e minimo limite di insiemi. Esempi. Funzioni additive, sigma-additive e sigma-subadditive di insiemi e proprieta' relative. Sigma-algebra generata da un insieme, sigma-algebra dei boreliani.
07/10/2011, 2 ore. Argomento: Misure, relazione con massimo e minimo limite di insiemi. Classi monotone, teorema di Halmos. Estensione di funzioni sigma-additive su un'algebra di insiemi. Misure esterne e insiemi misurabili rispetto ad esse. Misure esterne derivate da funzioni sigma-additive di insieme. Enunciato del teorema di Caratheodory.
12/10/2011, 2 ore. Argomento: Teorema di Caratheodory. Misure che estendono funzioni sigma-additive su un'algebra di insiemi. Misura di Lebesgue nell'intervallo [0,1[. Misura di Lebesgue in R (inizio). Boreliani sui sottoinsiemi.
14/10/2011, 2 ore. Argomento: Misura di Lebesgue in R e in R^n. Invarianza per traslazione. Qualche esempio. Ogni insieme aperto e' unione numerabile disgiunta di cubi diadici. Regolarita' di misure finite.
25/10/2011, 1 ora. Argomento: Regolarita' di misure finite e di Radon.
26/10/2011, 2 ore. Argomento: Misure invarianti per traslazioni. Invarianza per rotazione della misura di Lebesgue e generalizzazione. Spazi di misura e funzioni misurabili. Proprieta'delle funzioni misurabili, come per esempio misurabilita' di somma, prodotto, massimo, minimo, limite di funzioni misurabili. Caratterizzazioni anche se la funzione e' a valori non necessariamente finiti. Funzioni caratteristiche e semplici.
28/10/2011, 1 ora. Argomento: Funzioni caratteristiche e semplici. Approssimazione di una funzione misurabile con funzioni semplici. Convergenza quasi ovunque e convergenza quasi uniforme, e relazioni tra tali nozioni. Relazione tra misurabilita' di funzioni che coincidono quasi ovunque.
2/11/2011, 1 ora. Argomento: Relazione tra convergenza quasi ovunque e convergenza quasi uniforme, in particolare equivalenza su spazi di misura finita. Definizione di integrale di funzioni semplici non negative e di integrale di funzioni misurabili non negative. Prime proprieta' dell'integrale.
4/11/2011, 1 ora. Argomento: Teorema di Beppo Levi; sue semplici conseguenze. Integrale di Lebesgue di funzioni di segno variabile.
8/11/2011, 1 ora. Argomento: Proprieta' dell'integrale di Lebesgue.
9/11/2011, 2 ore. Argomento: Integrale di funzioni definite su un sottoinsieme. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale: teorema di Beppo Levi, lemma di Fatou, teorema della convergenza dominata. Applicazioni di tali teoremi. L'integrale di una funzione non negativa e' una misura. Assoluta continuita' dell'integrale di una funzione sommabile rispetto alla misura di Lebesgue. Continuita' e derivabilita' di funzioni integrali.
16/11/2011, 1 ora. Argomento: Derivata di funzioni integrali. Richiami su relazione tra integrale sulla sigma-algebra dei boreliani e su quella dei Lebesgue-misurabili e relazione tra integrale di Riemann e integrale di Lebesgue, anche per integrali impropri. Spazi L^p: norma p, classe di equivalenza che identifica due funzioni se sono uguali quasi ovunque, definizione di spazio L^p, introduzione alla disuguaglianza di Holder.
25/11/2011, 2 ore. Argomento: Disuguaglianze di Holder e di Minkowski. Inclusione tra spazi L^p. Completezza dello spazio normato L^p ed esistenza, per una successione di Cauchy in L^p, di una sottosuccessione convergente quasi ovunque. Spazio normato L^p con p infinito e dimostrazione della sua completezza. Spazi l^p con p in [1,infinito].
29/11/2011, 1 ora. Argomento: Convergenza in misura e relazione con la convergenza quasi uniforme, quasi ovunque e in L^p. Teorema di Lusin.
30/11/2011, 2 ore. Argomento: Teorema di Lusin, e applicazione sulla densita' delle funzioni continue a supporto compatto in L^p con p finito. Separabilita' di spazi L^p con p finito. Convergenza in L^p.
2/12/2011, 1 ora. Argomento: Separabilita' di spazi L^p con p finito (e non separabilita' se p=infinito). Sigma-algebra prodotto. Introduzione alla misura prodotto.
6/12/2011, 2 ore. Argomento: Misura prodotto. Teoremi di Tonelli e di Fubini. Funzioni monotone e proprieta' di locale limitatezza, misurabilita' e insieme dei punti di discontinuita' e di non derivabilita'. Funzioni a variazione limitata: definizione, semplici proprieta' della variazione totale. Relazioni tra variazione limitata e monotonia.
14/12/2011, 2 ore. Argomento: Semplici proprieta' della variazione totale. Le funzioni a variazione limitata formano uno spazio vettoriale. Relazioni tra variazione limitata e monotonia. Ogni funzione crescente e' derivabile quasi ovunque.
16/12/2011, 1 ora. Argomento: Relazione tra funzioni a variazione limitata e formula fondamentale del calcolo integrale. Funzioni assolutamente continue: definizione e relazioni con le funzioni a variazione limitata. Prime proprieta' delle funzioni assolutamente continue. Teorema fondamentale del calcolo integrale per funzioni sommabili.
20/12/2011, 1 ora. Argomento: Formula fondamentale del calcolo integrale per funzioni assolutamente continue e teorema fondamentale del calcolo integrale per funzioni sommabili. Funzioni assolutamente continue con derivata nulla quasi ovunque. Relazione tra variazione totale e integrale del modulo della derivata. Prodotto di funzioni assolutamente continue.
Esercitazioni del corso
11/10/2011, 1 ora. Argomento: Sigma-algebre e loro cardinalita'.
18/10/2011, 1 ora. Argomento: Sigma-algebre, boreliani, insieme di Vitali, sistemi di numerazione.
19/10/2011, 2 ore. Argomento: Sistemi di numerazione, insieme di Cantor, insiemi Lebesgue-misurabili e boreliani, cardinalita', misure generali, misura di Lebesgue.
28/10/2011, 1 ora. Argomento: Cenno a proprieta' generali delle misure. Insiemi boreliani e insiemi Lebesgue-misurabili in R^N. Funzioni misurabili.
2/11/2011, 1 ora. Argomento: Funzioni misurabili e operazioni su funzioni misurabili.
4/11/2011, 1 ora. Argomento: Funzioni misurabili, insiemi boreliani. Funzioni continue che coincidono quasi ovunque. Misura della differenza.
11/11/2011, 2 ore. Argomento: Relazioni tra integrali definiti in modo diverso, in particolare anche sulla sigma-algebra dei boreliani e su quella dei Lebesgue-misurabili. Relazione tra integrale di Riemann e integrale di Lebesgue, anche per integrali impropri.
15/11/2011, 1 ora. Argomento: Relazione tra integrale di Lebesgue e integrali impropri. Modo di definire l'integrale, integrale rispetto alla misura che conta. Cenno ai teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale.
16/11/2011, 1 ora. Argomento: Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Integrali su insiemi che differiscono per insiemi di misura nulla. Continuita' di funzioni integrali.
18/11/2011, 2 ore. Argomento: Continuita' e derivata di funzioni integrali. Insiemi misurabili. Funzioni misurabili, integrabili, sommabili, integrabili in senso improprio. Esercizi di ricapitolazione (essenzialmente primo esonero dell'anno scorso).
22/11/2011, 1 ora. Argomento: Continuita' e derivata di funzioni integrali. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale, anche usati sulla misura che conta.
2/12/2011, 1 ora. Argomento: Proprieta' dell'integrale, in particolare integrali definiti su sottoinsiemi. Spazi L^p.
7/12/2011, 2 ore. Argomento: Spazi L^p e convergenza in spazi L^p. Convergenza in misura. Derivate sotto integrale. Sigma-algebra prodotto e boreliani.
13/12/2011, 2 ore. Argomento: Sigma-algebre prodotto e misure prodotto. Teoremi di Tonelli e Fubini, anche per misura che conta. Applicazioni al calcolo di misure e integrali. Esempi di insiemi di misura nulla. Richiami di topologia.
16/12/2011, 2 ore. Argomento: Norma L^p con p=infinito per funzioni continue e funzione continue uguali quasi ovunque su insiemi i cui aperti hanno misura positiva. Frontiera di aperti di misura grande. Teoremi di Tonelli e Fubini. Misura di Dirac. Funzioni assolutamente continue e funzioni a variazione limitata.
20/12/2011, 1 ora. Argomento: Funzione di Cantor. Funzioni assolutamente continue e relativa formula di integrazione per parti. Relazione con lunghezza di una curva.
21/12/2011, 2 ore. Argomento: Funzioni assolutamente continue e funzioni a variazione limitata. Spazi L^p. Passaggio al limite sotto il segno di integrale. Convoluzioni.