Lezioni del corso

12/10/2010, 2 ore. Argomento: Richiami sulla misura di Lebesgue. Cardinalita' di insiemi: insiemi equipotenti e "piu' grandi" di altri insiemi, insiemi numerabili e proprieta' relative, in particolare quelle collegate al fatto che il numerabile e' la piu' piccola cardinalita' infinita, teorema di Cantor-Bernstein. Algebre di insiemi.

13/10/2010, 2 ore. Argomento: Algebre e sigma-algebre su insiemi. Massimo e minimo limite di insiemi. Esempi. Funzioni additive, sigma-additive e sigma-subadditive di insiemi e proprieta' relative. Sigma-algebra generata da un insieme, sigma-algebra dei boreliani.

15/10/2010, 2 ore. Argomento: Funzioni sigma-additive su insiemi, misure, relazione con massimo e minimo limite di insiemi. Classi monotone, teorema di Halmos. Estensione di funzioni sigama-additive su un'algebra di insiemi. Misure esterne e insiemi misurabili rispetto ad esse. Misure esterne derivate da funzioni monotone di insieme.

19/10/2010, 2 ore. Argomento: Misure derivate da misure esterne. Teorema di Caratheodory. Misure che estendono funzioni sigma-additive su un'algebra di insiemi. Misura di Lebesgue nell'intervallo [0,1[.

20/10/2010, 2 ore. Argomento: Misura di Lebesgue in R e in R^n. Invarianza per traslazione. Qualche esempio. Ogni insieme aperto e' unione numerabile disgiunta di cubi diadici. Regolarita' di misure finite.

26/10/2010, 2 ore. Argomento: Regolarita' delle misure finite e di Radon. Misure invarianti per traslazioni. Invarianza per rotazione della misura di Lebesgue e generalizzazione. Richiami di cardinalita'.

02/11/2010, 2 ore. Argomento: Spazi di misura e funzioni misurabili. Loro proprieta', come somma, prodotto, massimo, minimo, limite di funzioni misurabili. Caratterizzazioni anche se la funzione e' a valori non necessariamente finiti. Funzioni caratteristiche e semplici. Approssimazione di una funzione misurabile con funzioni semplici. Convergenza quasi ovunque.

03/11/2010, 2 ore. Argomento: Convergenza quasi ovunque e convergenza quasi uniforme, e relazioni tra tali nozioni. Funzioni semplici. Definizione di integrale di funzioni semplici non negative e di integrale di funzioni misurabili non negative. Prime proprieta' dell'integrale. Passaggio al limite sotto il segno di integrale e teorema di Beppo Levi.

10/11/2010, 2 ore. Argomento: Integrale di Lebesgue di funzioni di segno variabile, e relative proprieta' (linearita', finitezza quasi ovunque di funzioni sommabili, relazione tra integrale del modulo e modulo dell'integrale ecc.). Funzioni integrabili e funzioni sommabili. Integrale di funzioni definite su un sottoinsieme. Relazione tra misurabilita' di funzioni che coincidono quasi ovunque. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale: teorema di Beppo Levi, lemma di Fatou, teorema della convergenza dominata.

16/11/2010, 2 ore. Argomento: Applicazioni dei teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Relazione tra integrale di Lebesgue e integrale di Riemann o integrale improprio. Integrali di funzioni che coincidono quasi ovunque. Richiamo che l'integrale di una funzione non negativa e' una misura. Assoluta continuita' dell'integrale di una funzione sommabile rispetto alla misura di Lebesgue. Continuita' e derivabilita' di funzioni integrali. Spazi L^p: norma p, classe di equivalenza che identifica due funzioni se sono uguali quasi ovunque, definizione di spazio L^p, introduzione alla disuguaglianza di Holder.

17/11/2010, 2 ore. Argomento: Disuguaglianze di Holder e di Minkowski. Inclusione tra spazi L^p. Completezza dello spazio normato L^p ed esistenza, per una successione di Cauchy in L^p, di una sottosuccessione convergente quasi ovunque. Spazio normato L^p con p infinito e dimostrazione della sua completezza. Cenno agli spazi l^p con p in [1,infinito].

30/11/2010, 2 ore. Argomento: Convergenza in misura e relazione con la convergenza quasi uniforme, quasi ovunque e in L^p. Teorema di Lusin, e applicazione sulla densita' delle funzioni continue a supporto compatto in L^p con p finito.

01/12/2010, 2 ore. Argomento: Densita' delle funzioni continue a supporto compatto in L^p con p finito. Separabilita' di spazi L^p con p finito. Sigma-algebra prodotto. Introduzione alla misura prodotto.

07/12/2010, 2 ore. Argomento: Misura prodotto. Teoremi di Tonelli e di Fubini. Funzioni monotone e proprieta' di locale limitatezza, misurabilita' e insieme dei punti di discontinuita' e di non derivabilita'. Funzioni a variazione limitata: definizione, semplici proprieta' della variazione totale. Le funzioni a variazione limitata formano uno spazio vettoriale. Relazioni tra variazione limitata e continuita' e monotonia.

14/12/2010, 2 ore. Argomento: Ogni funzione crescente, e quindi ogni funzione a variazione limitata, e' derivabile quasi ovunque. Relazione col teorema fondamentale del calcolo integrale. Funzioni assolutamente continue: definizione e relazioni con le funzioni a variazione limitata. Prime proprieta' delle funzioni assolutamente continue. Funzioni nulle quasi ovunque.

17/12/2010, 1 ora. Argomento: Formula fondamentale del calcolo integrale per funzioni assolutamente continue e variante per funzioni a variazione limitata. Teorema fondamentale del calcolo integrale per funzioni sommabili.

21/12/2010, 1 ora. Argomento: Funzioni assolutamente continue con derivata nulla quasi ovunque. Relazione tra variazione totale e integrale del modulo della derivata.

Esercitazioni del corso

27/10/2010, 2 ore. Argomento: Sigma-algebre. Boreliani e insiemi misurabili in R^N. Misura di certi insiemi e insiemi di misura nulla. Insieme di Vitali.

29/10/2010, 2 ore. Argomento: Cardinalita' di insiemi. Sviluppo decimale o piu' generalmente M-ario di numeri. Insieme di Cantor e sue proprieta'. Cardinalita' degli insiemi Lebesgue-misurabili in dimensione 1.

05/11/2010, 2 ore. Argomento: Sigma-algebre. Boreliani. Funzioni misurabili e operazioni tra funzioni misurabili. Misure in cui i punti hanno misura positiva.

10/11/2010, 2 ore. Argomento: Limite puntuale di funzioni continue. Funzioni coincidenti quasi ovunque. Relazioni tra integrali definiti in modo diverso. Relazione tra integrale di Riemann e integrale di Lebesgue, anche per integrali impropri. Qualche esempio di integrale di Lebesgue di funzioni. Funzioni misurabili, integrabili, sommabili. Integrale di una funzione integrabile come funzione di insieme.

12/11/2010, 2 ore. Argomento: Relazione tra integrale di Riemann e integrale di Lebesgue, anche per integrali impropri. Definizione e proprieta' dell'integrale di Lebesgue. Integrale rispetto alla misura che conta, e relazione con la somma di una serie. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Misurabilita' dell'insieme dei punti di derivabilita' di una funzione.

23/11/2010, 2 ore. Argomento: Relazione tra integrale di Lebesgue e integrale improprio. Funzioni misurabili, integrabili, sommabili, integrabili in senso improprio. Insiemi misurabili. Continuita' e derivabilita' di funzioni integrali e applicazioni al calcolo di integrali.

24/11/2010, 2 ore. Argomento: Continuita' e derivabilita' di funzioni integrali e applicazioni al calcolo di integrali. Applicazione del teorema della convergenza monotona alla misura che conta. Precisazione su cose vecchie. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Misure di Radon.

03/12/2010, 2 ore. Argomento: Integrali. Passaggio al limite sotto il segno di integrale. Spazi L^p. Sigma-algebra prodotto e prodotto di Boreliani.

10/12/2010, 2 ore. Argomento: Sigma-algebra prodotto dei Boreliani e degli insiemi Lebesgue misurabili e cose collegate. Nozione di separabilita' e nozioni collegate in spazi topologici e metrici; non separabilita' dello spazio L^p per p infinito. Sigma-algebre. Controesempi ai teoremi di Tonelli e di Fubini.

15/12/2010, 2 ore. Argomento: Misure prodotto di misure di Lebesgue. Convergenza in L^p. Disuguaglianza di Minkowski. Funzioni assolutamente continue e a variazione limitata.

17/12/2010, 1 ora. Argomento: Funzioni assolutamente continue e a variazione limitata.

21/12/2010, 1 ora. Argomento: Funzioni assolutamente continue e a variazione limitata.

22/12/2010, 2 ore. Argomento: Esercizi di riepilogo su vari argomenti.