Lezioni corso di Calcolo delle variazioni 2014/15
02/03/2015, 2 ore. Argomento: Introduzione all'argomento, qualche esempio. Cenno all'equazione di Eulero.
06/03/2015, 2 ore. Argomento: Dimostrazione dell'equazione di Eulero. Sufficienza dell'equazione di Eulero per avere un minimo in caso di funzionali convessi. Funzioni continue a tratti e C^1 a tratti.
09/03/2015, 2 ore. Argomento: Equazione di Eulero in forma integrale nel caso di funzioni C^1 a tratti. Un esempio di minimo C^1 a tratti ma non C^1. Regolarita' degli estremali. Cenno alle condizioni del secondo ordine.
13/03/2015, 2 ore. Argomento: Esercizi su minimi ed estremali di funzionali integrali. Uso dell'equazione di Eulero. Casi particolari dove il funzionale dipende solo dalla funzione o solo dalla derivata della funzione.
16/03/2015, 2 ore. Argomento: Condizioni del secondo ordine: dimostrazione della condizione necessaria e cenno alla condizione. Equazione di Eulero nel caso autonomo. Problemi di tipo isoperimetrico.
19/03/2015, 2 ore. Argomento: Problemi di tipo isoperimetrico. Richiami sulle serie di Fourier. Soluzione del problema isoperimetrico nel piano con il metodo di Hurwitz. Richiami sul teorema di Ascoli-Arzela'.
09/04/2015, 2 ore. Argomento: Esempio: Il problema della brachistocrona.
13/04/2015, 2 ore. Argomento: Richiami sul teorema di Ascoli-Arzela'. Funzioni inferiormente semicontinue. Lunghezza di una curva, parametrizzazioni opportune di curve, introduzione al problema di curve di minima lunghezza congiungenti due punti in un insieme.
16/04/2015, 2 ore. Argomento: Esercizi; in particolare soluzione del problema di Wirtinger, esercizi anche teorici di minimo di funzionali integrali, esercizi collegati col teorema di Ascoli-Arzela'.
20/04/2015, 2 ore. Argomento: Esercizi collegati col teorema di Ascoli-Arzela'. Problema delle bolle di sapone.
23/04/2015, 2 ore. Argomento: Teorema dell'esistenza di una curva di lunghezza minima congiungente due punti dati in un chiuso di uno spazio euclideo (quando esiste una curva di lunghezza finita che congiunge tali due punti). Esistenza del minimo per funzioni inferiormente semicontinue, o definite su un compatto, o coercive su uno spazio non necessariamente compatto. Superficie. Geodetiche su superficie.
28/04/2015, 2 ore. Argomento: Esempi su curve di minima lunghezza in insiemi del piano; in particolare su aperti non convessi (ove in genere non esistono) e sul complementare di un cerchio. Problema di Didone (inizio).
30/04/2015, 2 ore. Argomento: Problema di Didone. Geodetiche in particolare su cilindro e sfera.
04/05/2015, 2 ore. Argomento: Funzioni assolutamente continue. Funzioni equiintegrabili. Lemma di compattezza.
07/05/2015, 2 ore. Argomento: Lemmi preliminari al teorema di esistenza del minimo per funzionali del calcolo delle variazioni, enunciato del teorema stesso, e inizio della sua dimostrazione.
11/05/2015, 2 ore. Argomento: Ancora geodetiche su sfera. Dimostrazione che una funzione crescente e' derivabile quasi ovunque.
14/05/2015, 2 ore. Argomento: Funzioni assolutamente continue e dimostrazione che sono differenza di due funzioni continue e crescenti, quindi sono derivabili quasi ovunque. Insieme di Cantor e funzione di Cantor come esempio di funzione crescente e continua ma non assolutamente continua.
18/05/2015, 2 ore. Argomento: Fine della dimostrazione del teorema di esistenza del minimo per funzionali del calcolo delle variazioni. Equazione di Eulero per funzioni assolutamente continue (enunciato e inizio di dimostrazione).
20/05/2015, 2 ore. Argomento: Fine della dimostrazione del teorema sull'equazione di Eulero per funzioni assolutamente continue. Regolarita' di minimi assolutamente continui di funzionali integrali. Curve equivalenti a curve date, ma parametrizzate per lunghezza d'arco.
21/05/2015, 2 ore. Argomento: Esempi ed esercizi su: assoluta continuita' dell'integrale, funzioni assolutamente continue, relazione tra integrale della derivata e differenza tra i valori di una funzione crescente, convergenza debole in L^1, funzioni ausiliarie nei teoremi di calcolo delle variazioni per funzioni assolutamente continue.
25/05/2015, 2 ore. Argomento: Regolarita' delle geodetiche su superficie regolari, parametrizzate per un multiplo della lunghezza d'arco.
26/05/2015, 2 ore. Argomento: Fenomeno di Lavrentiev. Funzioni assolutamente continue e derivate. Sapzio L^1 e densita' delle funzioni continue.
27/05/2015, 2 ore. Argomento: Ancora funzioni assolutamente continue, un lemma di teoria della misura. Minimi ed estremali di funzionali integrali anche usando i teoremi sui funzionali integrali per funzioni assolutamente continue, ed esempio in relazione con le ipotesi del teorema di Tonelli.
28/05/2015, 2 ore. Argomento: Minimi ed estremali di funzionali integrali anche usando i teoremi sui funzionali integrali per funzioni assolutamente continue, ed esempio in relazione con le ipotesi del teorema di Tonelli. Esempi di equazione di Eulero per estremali a valori vettoriali.