Lezioni del corso

02/03/2009, 2 ore. Argomento: Esempi di problemi di calcolo delle variazioni. Introduzione ai metodi tipici del calcolo delle variazioni. Introduzione all'equazione di Eulero.

04/03/2009, 2 ore. Argomento: Dimostrazione dell'equazione di Eulero per minimi di funzionali integrali.

06/03/2009, 1 ora. Argomento: Qualche ulteriore considerazione sull'equazione di Eulero. Dimostrazione della sufficienza dell'equazione di Eulero per avere un minimo in caso di funzioni convesse e cenno a condizioni per la convessita' di una funzione su aperti euclidei.

09/03/2009, 1 ora. Argomento: Caratterizzazioni delle funzioni convesse su aperti euclidei con l'hessiano. Cenno a lemma per funzioni continue a tratti analogo a uno visto in precedenza per funzioni continue.

13/03/2009, 2 ore. Argomento: Minimi ed estremali con derivate continue a tratti e relativa equazione di Eulero. Regolarita' degli estremali. Equazione di Eulero nel caso autonomo.

20/03/2009, 2 ore. Argomento: Regolarita' degli estremali. Condizione necessaria del secondo ordine per minimi di funzionali integrali. Cenno a condizione sufficiente del secondo ordine per minimi di funzionali integrali.

25/03/2009, 2 ore. Argomento: Problemi di tipo isoperimetrico. Richiami sulle serie di Fourier. Soluzione del problema isoperimetrico nel piano con il metodo di Hurwitz.

27/03/2009, 2 ore. Argomento: Richiami di topologia. Teorema di Ascoli-Arzela' e questioni collegate.

03/04/2009, 2 ore. Argomento: Lunghezza di una curva, introduzione al problema di curve di minima lunghezza congiungenti due punti in un insieme. Funzioni inferiormente semicontinue e semicontinuita' della funzione lunghezza. Continuita' della funzione lunghezza d'arco di una curva continua di lunghezza finita.

08/04/2009, 2 ore. Argomento: Curve continue "equivalenti" a curve continue date parametrizzate per lunghezza d'arco. Teorema dell'esistenza di una curva di lunghezza minima congiungente due punti dati in un chiuso di uno spazio euclideo (quando esiste una curva di lunghezza finita che congiunge tali due punti). Esistenza del minimo per funzioni inferiormente semicontinue, o definite su un compatto, o coercive su uno spazio non necessariamente compatto.

15/04/2009, 2 ore. Argomento: Superficie.Geodetiche su superficie. Funzioni assolutamente continue.

22/04/2009, 1 ora. Argomento: Funzioni assolutamente continue e loro proprieta'. Funzioni equiintegrabili.

24/04/2009, 1 ora. Argomento: Lemmi di compattezza su funzioni equiintegrabili o con derivate equiintegrabili. Lemma di calcolo delle variazioni per funzioni assolutamente continue.

27/04/2009, 2 ore. Argomento: Lemmi preliminari al teorema di esistenza del minimo per funzionali del calcolo delle variazioni, enunciato e parte della dimostrazione di tale teorema.

29/04/2009, 2 ore. Argomento: Fine della dimostrazione del teorema di esistenza del minimo per funzionali del calcolo delle variazioni. Equazione di Eulero per funzioni assolutamente continue. Regolarita' di minimi assolutamente continui di funzionali integrali.

06/05/2009, 2 ore. Argomento: Regolarita' di minimi assolutamente continui di funzionali integrali. Regolarita' delle geodetiche su superficie regolari, parametrizzate per un multiplo della lunghezza d'arco.

Esercitazioni del corso

06/03/2009, 1 ora. Argomento: Minimi di funzionali integrali. Esempi di funzionali integrali senza minimo.

09/03/2009, 1 ora. Argomento: Minimi di funzionali integrali. Problema di Wirtinger.

11/03/2009, 2 ore. Argomento: Problema di Wirtinger. Minimi di funzionali integrali, tra cui uno che dipende esplicitamente dal tempo.

16/03/2009, 2 ore. Argomento: Problema della brachistocrona.

18/03/2009, 2 ore. Argomento: Minimi di funzionali integrali. Esempi di funzionali integrali senza minimo.

23/03/2009, 2 ore. Argomento: Problema delle bolle di sapone. Minimi di funzionali integrali anche in casi astratti. Richiami sulle soluzioni di equazioni differenziali lineari non omogenee.

30/03/2009, 2 ore. Argomento: Problema di Didone.

01/04/2009, 2 ore. Argomento: Considerazioni topologiche concernenti la soluzione del problema di Didone. Esercizi sul teorema di Ascoli-Arzela'.

06/04/2009, 2 ore. Argomento: Esercizi sul teorema di Ascoli-Arzela'. Geodetiche sulla sfera.

17/04/2009, 2 ore. Argomento: Geodetiche sulla sfera e su aperti del piano.

20/04/2009, 2 ore. Argomento: Geodetiche su aperti del piano, sul cilindro e sul complementare di un cerchio aperto nel piano.

22/04/2009, 1 ora. Argomento: Funzioni assolutamente continue ed esempi relativi.

24/04/2009, 1 ora. Argomento: Funzione di Cantor.

04/05/2009, 2 ore. Argomento: Funzione di Cantor. Esercizi di teoria della misura, anche collegati con le funzioni assolutamente continue.

08/05/2009, 2 ore. Argomento: Disuguaglianza di Jensen. Fenomeno di Lavrentiev e problemi collegati. Osservazioni sulle ipotesi dei teoremi del calcolo delle variazioni per funzioni assolutamente continue. Minimi di funzionale integrale studiati con l'uso dei teoremi sui funzionali integrali per funzioni assolutamente continue (cenno).

11/05/2009, 2 ore. Argomento: Minimi ed estremali di funzionali integrali anche usando i teoremi sui funzionali integrali per funzioni assolutamente continue, ed esempio in relazione con le ipotesi del teorema di Tonelli, ed esempi per funzioni a valori vettoriali. Relazione dei risultati visti con problemi di meccanica su traiettorie che minimizzano energia.