01/04/2008, 2 ore. Argomento: Cenno a condizione sufficiente del secondo ordine per minimi di funzionali integrali. Problemi di tipo isoperimetrico. Richiami sulle serie di Fourier e inizio della soluzione del problema isoperimetrico nel piano con il metodo di Hurwitz.
08/04/2008, 2 ore. Argomento: Fine della soluzione del problema isoperimetrico nel piano con il metodo di Hurwitz. Richiami di topologia, teorema di Ascoli-Arzela' e questioni collegate.
10/04/2008, 2 ore. Argomento: Ancora una questione collegata col teorema di Ascoli-Arzela'. Lunghezza di una curva, introduzione al problema di curve di minima lunghezza congiungenti due punti in un insieme. Funzioni inferiormente semicontinue e semicontinuita' della funzione lunghezza.
15/04/2008, 2 ore. Argomento: Curve continue "equivalenti" a curve continue date parametrizzate per lunghezza d'arco. Teorema dell'esistenza di una curva di lunghezza minima congiungente due punti dati in un chiuso di uno spazio euclideo (quando esiste una curva di lunghezza finita che congiunge tali due punti). Esistenza del minimo per funzioni inferiormente semicontinue, o definite su un compatto, o coercive su uno spazio non necessariamente compatto. Superficie.
18/04/2008, 2 ore. Argomento: Geodetiche su superficie. Funzioni assolutamente continue.
29/04/2008, 2 ore. Argomento: Funzioni assolutamente continue e loro proprieta'. Funzioni equiintegrabili. Lemmi di compattezza. Lemma preliminare al teorema di esistenza del minimo per funzionali del calcolo delle variazioni (inizio).
06/05/2008, 2 ore. Argomento: Lemmi preliminari al teorema di esistenza del minimo per funzionali del calcolo delle variazioni, enunciato e parte della dimostrazione di tale teorema.
08/05/2008, 2 ore. Argomento: Fine della dimostrazione del teorema di esistenza del minimo per funzionali del calcolo delle variazioni. Equazione di Eulero per funzioni assolutamente continue. Regolarita' di minimi assolutamente continui di funzionali integrali.
15/05/2008, 2 ore. Argomento: Regolarita' di minimi assolutamente continui di funzionali integrali. Osservazioni sulle ipotesi dei teoremi del calcolo delle variazioni per funzioni assolutamente continue. Regolarita' delle geodetiche su superficie regolari, parametrizzate per un multiplo della lunghezza d'arco.
Esercitazioni del corso
07/03/2008, 1 ora. Argomento: Minimi di funzionali integrali. Esempi di funzionali integrali senza minimo.
11/03/2008, 2 ore. Argomento: Minimi di funzionali integrali. Problema di Wirtinger.
13/03/2008, 1 ora. Argomento: Problema di Wirtinger. Minimi di funzionale integrale che dipende esplicitamente dal tempo.
20/03/2008, 2 ore. Argomento: Ancora problemi di minimo per funzionali integrali. Funzionali integrali dipendenti solo dalla derivata, in particolare casi in cui il minimo non esiste.
28/03/2008, 2 ore. Argomento: Problema della brachistocrona.
03/04/2008, 2 ore. Argomento: Problema di Didone.
04/04/2008, 2 ore. Argomento: Problema di Didone. Problema delle bolle di sapone.
11/04/2008, 2 ore. Argomento: Esercizi sul teorema di Ascoli-Arzela'. Fine di un esercizio precedente sui minimi di funzionali integrali.
17/04/2008, 2 ore. Argomento: Esercizio collegato col teorema di Ascoli-Arzela'. Curve di minima lunghezza in insiemi aperti nel piano. Esercizi per casa.
22/04/2008, 2 ore. Argomento: Geodetiche sulla sfera e sul complementare di un cerchio aperto nel piano.
24/04/2008, 2 ore. Argomento: Geodetiche sulla sfera e sul cilindro. Funzioni assolutamente continue.
09/05/2008, 2 ore. Argomento: Funzioni assolutamente continue.
13/05/2008, 2 ore. Argomento: Funzione di Cantor. Teoria della misura. Minimi di funzionali integrali, in particolare esercizi teorici.
16/05/2008, 2 ore. Argomento: Minimi di funzionale integrale studiati anche con l'uso dei teoremi sui funzionali integrali per funzioni assolutamente continue. Fenomeno di Lavrentviev e problemi collegati. Disuguaglianza di Jensen.
20/05/2008, 2 ore. Argomento: Minimi ed estremali di funzionali integrali, in particolare anche esempio in relazione con le ipotesi del teorema di Tonelli ed esempi per funzioni a valori vettoriali. Relazione dei risultati visti con problemi di meccanica su traiettorie che minimizzano energia.