Lezioni del corso

06/03/2006, 1 ora. Argomento: Introduzione all' equazione di Eulero.

07/03/2006, 2 ore. Argomento: Dimostrazione dell'equazione di Eulero per minimi di funzionali integrali.

09/03/2006, 1 ora. Argomento: Qualche ulteriore considerazione sull'equazione di Eulero. Dimostrazione della sufficienza della equazione di Eulero per avere un minimo in caso di funzioni convesse.

13/03/2006, 1 ora. Argomento: Caratterizzazioni delle funzioni convesse su aperti euclidei con l'hessiano. Estremali con derivate continue a tratti.

16/03/2006, 1 ora. Argomento: Precisazioni su estremali con derivate continue a tratti. Sufficienza della equazione di Eulero per avere un minimo in caso di funzioni convesse per estremali con derivate continue a tratti. Regolarita' degli estremali.

20/03/2006, 1 ora. Argomento: Regolarita' degli estremali.

21/03/2006, 1 ora. Argomento: Una precisazione sulla regolarita' degli estremali. Equazione di Eulero nel caso autonomo. Condizione necessaria del secondo ordine per minimi di funzionali.

27/03/2006, 1 ora. Argomento: Un richiamo sull'equazione di Eulero per estremali con derivate continue a tratti. Condizione necessaria del secondo ordine per minimi di funzionali. Cenno alla corrispondente condizione sufficiente.

28/03/2006, 2 ore. Argomento: Ancora condizioni del secondo ordine per i minimi locali. Problemi di tipo isoperimetrico.

04/04/2006, 1 ora. Argomento: Soluzione del problema isoperimetrico nel piano con il metodo di Hurwitz.

06/04/2006, 1 ora. Argomento: Richiami di topologia, preliminari al teorema di Ascoli-Arzela'.

13/04/2006, 2 ore. Argomento: Teorema di Ascoli-Arzela', lunghezza di una curva, introduzione al problema di curve di minima lunghezza congiungenti due punti in un insieme. Funzioni inferiormente semicontinue.

18/04/2006, 2 ore. Argomento: Teorema dell'esistenza di una curva di lunghezza minima congiungente due punti dati in un chiuso di uno spazio euclideo (quando esiste una curva di lunghezza finita che congiunge tali due punti). Esistenza del minimo per funzioni inferiormente semicontinue, o definite su un compatto, o coercive su uno spazio non necessariamente compatto.

27/04/2006, 2 ore. Argomento: Superficie e geodetiche su superficie.

04/05/2006, 1 ora. Argomento: Curve continue "equivalenti" a curve continue date parametrizzate per lunghezza d'arco. Funzioni assolutamente continue e compattezza di loro sottoinsiemi.

08/05/2006, 1 ora. Argomento: Lemmi preliminari al teorema di esistenza del minimo per funzionali del calcolo delle variazioni.

09/05/2006, 1 ora. Argomento: Lemma preliminare al teorema di esistenza del minimo per funzionali del calcolo delle variazioni, e inizio della dimostrazione del teorema stesso.

11/05/2006, 2 ore. Argomento: Precisazioni su lemma preliminare al teorema di esistenza del minimo per funzionali del calcolo delle variazion. Fine della dimostrazione del teorema stesso. Equazione di Eulero per minimi assolutamente continui di funzionali.

16/05/2006, 2 ore. Argomento: Regolarita' di minimi assolutamente continui di funzionali integrali. Precisazioni sulle ipotesi di tali risultati. Disuguaglianza di Jensen.

18/05/2006, 2 ore. Argomento: Precisazione sulla regolarita' di minimi assolutamente continui di funzionali integrali. Regolarita' delle geodetiche su superficie regolari, parametrizzate per un multiplo della lunghezza d'arco. Breve cenno sulle problematiche del calcolo delle variazioni per integrali multipli.

Esercitazioni del corso

09/03/2006, 1 ora. Argomento: Minimi di funzionali integrali.

14/03/2006, 2 ora. Argomento: Minimi di funzionali integrali. Problema di Wirtinger.

16/03/2006, 1 ora. Argomento: Minimi di funzionali integrali. Problema di Wirtinger.

21/03/2006, 1 ora. Argomento: Minimi di funzionali integrali.

23/03/2006, 2 ore. Argomento: Problema della brachistocrona.

30/03/2006, 2 ore. Argomento: Un minimo concreto di funzionale integrale. Alcuni casi in cui il minimo non esiste. Uso delle condizioni del secondo ordine per funzionali integrali.

03/04/2006, 1 ora. Argomento: Problema delle bolle di sapone.

04/04/2006, 1 ora. Argomento: Ancora problema delle bolle di sapone. Un minimo di funzionale integrale con studio di equazioni differenziali lineari non omogenee a coefficienti costanti.

06/04/2006, 1 ora. Argomento: Problema di Didone.

13/04/2006, 2 ore. Argomento: Problemi ed esempi collegati col teorema di Ascoli-Arzela'. Problema di Didone.

20/04/2006, 2 ore. Argomento: Problema di Didone. Considerazioni topologiche che giustificano la soluzione del problema di Didone collegandolo col problema degli isoperimetri. Curve di minima lunghezza in insiemi aperti nel piano.

24/04/2006, 1 ora. Argomento: Curve di minima lunghezza in insiemi aperti nel piano, e in uno specifico insieme chiuso del piano.

27/04/2006, 1 ora. Argomento: Curve di minima lunghezza in specifici insiemi chiusi del piano. Geodetiche sulla sfera.

02/05/2006, 1 ora. Argomento: Geodetiche sulla sfera e sul cilindro.

04/05/2006, 2 ore. Argomento: Esercizi di riepilogo. Ancora problema di Didone.

16/05/2006, 1 ora. Argomento: Esempi collegati al teorema di esistenza del minimo di funzionali integrali.

08/06/2006, 2 ore. Argomento: Esempi collegati al teorema di esistenza del minimo di funzionali integrali. Fenomeno di Laurentviev.

12/06/2006, 2 ore. Argomento: Esempi collegati al teorema di esistenza del minimo di funzionali integrali. Uso della disuguaglianza di Jensen per lo studio del minimo di un funzionale integrale. Collegamento tra problemi variazionali e soluzione di problemi al bordo per equazioni differenziali ordinarie. Esempio di funzione assolutamente continua non derivabile sui razionali. Collegamento tra estremo inferiore sulle funzioni con derivata continua ed estremo inferiore sulle funzioni con derivata continua a tratti di funzionali integrali.

13/06/2006, 2 ore. Argomento: Minimo ed estremo inferiore di funzionali integrali. Uso della disuguaglianza di Jensen per lo studio del minimo di un funzionale integrale. Esercizi di uno scritto dell'anno scorso.