Lezioni svolte nel corso di Matematica per biotecnologie A.A. 2011/12.

12 ottobre 2011, 2 ore. Argomento: Proprieta' dei numeri reali, definiti assiomaticamente. Massimo, minimo, maggioranti, minoranti, estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme. Assioma dell'estremo superiore e analogo per l'estremo inferiore. Insiemi superiormente limitati e inferiormente limitati. Numero decimale come estremo superiore di decimali finiti.

14 ottobre 2011, 2 ore. Argomento: Insiemi limitati. Relazione tra inf e minimo e tra sup e massimo. Estremo superiore ed inferiore di intervalli. Potenze ad esponente reale. Grafici di funzioni. Grafici delle funzioni della forma ax+b e delle potenze di x di esponente intero positivo. Funzioni pari e dispari. Grafico di funzione polinomio di secondo grado con coefficiente direttivo 1, interpretazione geometrica di disequazioni di secondo grado quando il coefficiente direttivo del polinomio e' 1. Grafico di f(x)+c e di f(x+c), in base al grafico di f.

18 ottobre 2011, 2 ore. Argomento: Problema della definizione della radice ennesima. Interpretazione grafica di disequazioni tipo x elevato a n minore di a. Grafici di funzioni potenza (con esponente di vario tipo). Grafico della funzione modulo e piu' generalmente di funzioni definite a tratti. Grafico delle funzioni esponenziali. Proprieta' della funzione modulo. Grafico della funzione |f(x)| e della funzione f(|x|), noto quello di f. Densita' dei razionali e degli irrazionali. Gli intervalli (non banali) hanno infiniti punti. Definizione di logaritmo, suo grafico e alcune sue proprieta'.

24 ottobre 2011, 2 ore. Argomento: Grafico delle funzioni seno, coseno e tangente. Grafico di af(x) e di f(ax), noto quello di f. Alcune considerazioni sui grafici di funzione, ad esempio loro uso per interpretare equazioni e disequazioni. Alcune proprieta' delle diseguaglianze. Principio di induzione, principio del buon ordinamento e argomenti collegati. Definizione della funzione parte intera. Distanza tra due punti del piano. Equazione della retta che passa per due punti distinti ed equazione della circonferenza di centro e raggio dati.

26 ottobre 2011, 2 ore. Argomento: Definizione di successione. Esempi. Definizione di limite (finito o infinito) di una successione. Unicita' del limite. Successioni convergenti, divergenti e indeterminate. Qualche esempio. Algebra dei limiti per successioni convergenti. Limite della somma, anche quando il limite puo' essere +infinito o -infinito.

31 ottobre 2011, 1 ora. Argomento: Algebra dei limiti, anche quando il limite puo' essere +infinito o -infinito. Forme indeterminate. Teoremi di confronto. Qualche esempio.

4 novembre 2011, 2 ore. Argomento: Limiti di successioni di tipo potenza e di tipo esponenziale. Confronto tra di loro. Limiti notevoli e confronto tra infiniti, fattoriale. Successioni superiormente limitate, inferiormente limitate, limitate, e applicazioni. Relazione tra divergenza e limitatezza di una successione. Relazione tra limite di una successione e del suo modulo. Limiti particolari. Qualche esempio.

7 novembre 2011, 1 ora. Argomento: Successioni monotone e strettamente monotone e cenno ai limiti di successioni monotone. Considerazioni sui primi termini di una successione. Certe proprieta' delle successioni riguardanti il limite dipendono solo dal comportamento della successione definitivamente. Teorema della permanenza del segno e conseguenze. Limiti "a pezzi".

8 novembre 2011, 2 ore. Argomento: Limiti di successioni monotone; numero "e". Successioni che partono da un numero naturale diverso da 1. Relazione tra convergenza e limitatezza di una successione. Qualche ulteriore precisazione sui limiti di una successione, in particolare sulla definizione di limite e qualche dimostrazione sui limiti di successioni. Limite della radice ennesima di un numero positivo e di n. Sommatorie: definizione, semplici esempi e semplici proprieta'. Esempi notevoli di sommatorie, in particolare somma dei primi n numeri interi positivi e somma di una progressione geometrica. Teorema del binomio.

9 novembre 2011, 1 ora. Argomento: Serie: definizioni ed esempi. Serie a termini non negativi. Serie geometrica. Relazione tra convergenza di una serie e convergenza a 0 del termine generale della serie.

14 novembre 2011, 1 ora. Argomento: Relazione tra convergenza di una serie e convergenza a 0 del termine generale della serie. Effetto del cambiamento dei primi termini su una serie. Spezzamento di una serie in una somma di un numero finito di termini e di un'altra serie. Serie armonica e serie armoniche generalizzate. Criterio del confronto. Esempi.

15 novembre 2011, 2 ore. Argomento: Spezzamento di una serie in una somma di un numero finito di termini e di un'altra serie. Linearita' della somma di una serie. Criterio del confronto asintotico e criterio del rapporto. Esempi. Serie e sviluppo decimale.

18 novembre 2011, 1 ora. Argomento: Risoluzione dei sistemi di equazioni di primo grado col metodo di eliminazione di Gauss. Rette parallele ed interpretazione geometrica dei sistemi lineari in due incognite. Coniche. Grafico della funzione parte intera. Domini di funzioni.

22 novembre 2011, 2 ore. Argomento: Dimostrazione delle proprieta' del logaritmo. Funzioni monotone e strettamente monotone. Definizione generale di limite di funzione e di funzione continua.

28 novembre 2011, 2 ore. Argomento: Unicita' del limite di funzione. Algebra del limiti di funzione. Forme indeterminate. Esempi di limiti di funzione. Teoremi di confronto per limiti di funzioni. Definizione di funzione inferiormente limitata, superiormente limitata e limitata, con una precisazione sulla definizione di insieme limitato, e uso di tali nozioni per i limiti di funzione. Relazione tra limite di una funzione e del suo modulo. Continuita' della somma, differenza, prodotto e quoziente di funzioni continue. Continuita' dei polinomi e di funzioni abituali (esponenziali, potenze, logaritmi, seno e coseno). Dipendenza di limiti solo dai valori vicini al punto in cui si fa il limite. Una precisazione sulla definizione di continuita'.

29 novembre 2011, 2 ore. Argomento: Funzioni composte. Continuita' della composta di funzioni continue. Limite destro e sinistro. Qualche esempio. Teorema ponte e sua versione per funzioni continue. Esempi di applicazione del teorema ponte. Limiti notevoli di funzioni. Dipendenza della continuita' solo dai valori vicini al punto.

2 dicembre 2011, 2 ore. Argomento: Alcuni limiti notevoli. Continuita' delle funzioni seno e coseno. Teoremi fondamentali sulle funzioni continue: teoremi della permanenza del segno (anche per limiti di funzione), degli zeri, dei valori intermedi e di Weierstrass. Applicazione all'esistenza di soluzioni di equazioni di grado dispari, e all'esistenza della radice. Funzioni monotone su intervalli e loro massimi, minimi, estremi superiori ed inferiori. Introduzione al concetto di funzione inversa.

5 dicembre 2011, 2 ore. Argomento: Funzioni inverse di funzioni continue strettamente monotone, e loro monotonia e continuita'. Logaritmo e arcotangente. Cambio di variabile nei limiti e applicazioni. Qualche ulteriore limite notevole. Definizione di derivata e sua interpretazione meccanica.

12 dicembre 2011, 2 ore. Argomento: Interpretazione geometrica della derivata. Notazioni per la derivata. Scrittura in diverse forme del limite definente la derivata. Relazione tra derivabilita' e continuita'. Derivata delle principali funzioni. Regole di derivazione della somma, della differenza, del prodotto, del quoziente, della funzione composta. Esempi di applicazioni delle regole di derivazione.

14 dicembre 2011, 2 ore. Argomento: Derivata della funzione composta e della funzione inversa e applicazioni. Derivata in punti di massimo e di minimo di funzioni. Monotonia di funzioni e relazione col segno del rapporto incrementale. Relazione tra monotonia di una funzione e segno della sua derivata. Teorema di Rolle, teorema di Lagrange con sua interpretazione meccanica e funzioni con derivata nulla.

19 dicembre 2011, 3 ore. Argomento: Conseguenze del teorema di Lagrange, in particolare relazione tra monotonia di una funzione e segno della sua derivata. Applicazioni allo studio del grafico di una funzione e al numero di soluzioni di un'equazione. Derivate successive. Interpretazione della derivata seconda come accelerazione. Definizione di integrale definito per funzioni continue con sua interpretazione geometrica. Principali proprieta' dell'integrale definito. Introduzione al problema del calcolo degli integrali. Integrale definito quando l'ordine degli estremi di integrazione e' arbitrario. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula fondamentale del calcolo integrale. Primitive.

20 dicembre 2011, 2 ore. Argomento: Integrale indefinito e primitive. Integrali fondamentali. Regole di integrazione: integrale della somma di due funzioni, del prodotto di una funzione per una costante, integrazione per sostituzione e per parti. Applicazioni ad esempi specifici delle regole date.

Esercitazioni svolte nel corso di Matematica per biotecnologie A.A. 2011/12.

17 ottobre 2011, 2 ore. Argomento: Varie disequazioni.

19 ottobre 2011, 2 ore. Argomento: Disequazioni ed equazioni di vario tipo. Grafici di funzioni.

25 ottobre 2011, 2 ore. Argomento: Disequazioni ed equazioni. Grafici di funzioni.

28 ottobre 2011, 1 ora. Argomento: Grafici di funzioni, potenze e logaritmi, una disequazione.

31 ottobre 2011, 1 ora. Argomento: Equazioni e disequazioni. Principio di induzione.

2 novembre 2011, 2 ore. Argomento: Grafici di funzioni. Equazioni e disequazioni. Proprieta' delle potenze. Uso del principio di induzione. Geometria analitica.

7 novembre 2011, 1 ora. Argomento: Geometria analitica.

9 novembre 2011, 1 ora. Argomento: Riassunto di geometria analitica. Limiti di successioni.

11 novembre 2011, 2 ore. Argomento: Limiti di successioni.

14 novembre 2011, 1 ora. Argomento: Limiti di successioni. Sommatorie.

16 novembre 2011, 2 ore. Argomento: Sommatorie. Serie.

18 novembre 2011, 1 ora. Argomento: Serie.

21 novembre 2011, 2 ore. Argomento: Serie.

23 novembre 2011, 2 ore. Argomento: Esercizi di riepilogo, in particolare disequazioni, geometria analitica, limiti di successioni, serie.

30 novembre 2011, 2 ore. Argomento: Serie (in particolare telescopiche). Disequazioni logaritmiche. Domini di funzioni. Limiti di funzioni.

6 dicembre 2011, 2 ore. Argomento: Limiti di funzione. Applicazioni alle serie.

7 dicembre 2011, 2 ore. Argomento: Limiti di funzioni e funzioni continue, e applicazioni varie tipo serie, successioni e soluzioni di equazioni.

13 dicembre 2011, 2 ore. Argomento: Limiti di funzioni e funzioni continue, e applicazioni varie. Calcolo di derivate.

16 dicembre 2011, 2 ore. Argomento: Calcolo di derivate. Casi di non derivabilita'.

19 dicembre 2011, 1 ora. Argomento: Studio di funzioni.

20 dicembre 2011, 1 ora. Argomento: Studi di funzione. Derivabilita' di funzioni. Equazioni e disequazioni contenenti il logaritmo o le funzioni trigonometriche.

21 dicembre 2011, 2 ore. Argomento: Integrali indefiniti e definiti. Considerazioni sugli studi di funzioni. Calcolo di derivate.