Lezioni svolte nel corso di Matematica per biotecnologie A.A. 2010/11.

27 ottobre 2010, 2 ore. Argomento: Brevi richiami su teoria degli insiemi. Proprieta' dei numeri reali, definiti assiomaticamente. Massimo, minimo, maggioranti ed estremo superiore di un insieme. Assioma dell'estremo superiore.

29 ottobre 2010, 2 ore. Argomento: Minoranti ed estremo inferiore di un insieme. Insiemi inferiormente limitati e limitati. Relazione tra inf e minimo e tra sup e massimo. Esistenza dell'estremo inferiore. Estremo superiore ed inferiore di intervalli e numero decimale come estremo superiore di decimali finiti.. Grafici di funzioni. Grafici delle funzioni della forma ax+b e delle potenze di x di esponente intero positivo. Funzioni pari e dispari. Grafico di funzione polinomio di secondo grado con coefficiente direttivo 1, interpretazione geometrica di disequazioni di secondo grado quando il coefficiente direttivo del polinomio e' 1. Grafico di f(x)+c e di f(x+c), in base al grafico di f.

03 novembre 2010, 2 ore. Argomento: Problema della definizione della radice ennesima. Interpretazione dell'assioma di continuita'. Richiami su interpretazione geometrica di disequazioni di secondo grado quando il coefficiente direttivo del polinomio e' 1. Interpretazione grafica di disequazioni tipo x elevato a n minore di a. Grafici di funzioni potenza (con esponente di vario tipo). Grafico della funzione modulo e piu' generalmente di funzioni definite a tratti. Potenze ad esponente reale, anche non razionale, e grafico delle funzioni esponenziali. Proprieta' della funzione modulo. Grafico della funzione |f(x)| e della funzione f(|x|), noto quello di f. Grafico delle funzioni seno, coseno e tangente. Densita' dei razionali e non densita' degli interi.

08 novembre 2010, 2 ore. Argomento: Gli intervalli (non banali) hanno infiniti punti. Richiami su equazioni e disequazioni. Grafico di af(x), di f(ax), noto quello di f. Definizione di logaritmo e alcune sue proprieta'. Alcune considerazioni sui grafici di funzione, ad esempio loro uso per interpretare equazioni e disequazioni. Alcune proprieta' delle diseguaglianze. Principio di induzione, principio del buon ordinamento e argomenti collegati. Definizione della funzione parte intera. Distanza tra due punti del piano. Equazione della retta che passa per due punti distinti ed equazione della circonferenza di centro e raggio dati.

10 novembre 2010, 2 ore. Argomento: Definizione di successione. Esempi. Definizione di limite (finito o infinito) di una successione. Unicita' del limite. Successioni convergenti, divergenti e indeterminate. Qualche esempio. Algebra dei limiti per successioni convergenti. Limite della somma, anche quando il limite puo' essere +infinito o -infinito.

15 novembre 2010, 2 ore. Argomento: Algebra dei limiti, anche quando il limite puo' essere +infinito o -infinito. Forme indeterminate. Teoremi di confronto. Limiti di successioni di tipo potenza e di tipo esponenziale. Confronto tra di loro. Qualche esempio. Successioni superiormente limitate, inferiormente limitate, limitate, e applicazioni.

17 novembre 2010, 2 ore. Argomento: Relazione tra limite di una successione e del suo modulo. Limiti notevoli e confronto tra infiniti, fattoriale. Successione esponenziale. Limiti particolari. Successioni monotone e strettamente monotone e limiti di successioni monotone; numero "e". Considerazioni sui primi termini di una successione. Certe proprieta' delle successioni riguardanti il limite dipendono solo dal comportamento della successione definitivamente. Teorema della permanenza del segno e conseguenze. Successioni che partono da un numero naturale diverso da 1. Relazione tra convergenza o divergenza e limitatezza di una successione.

22 novembre 2010, 2 ore. Argomento: Relazione tra convergenza o divergenza e limitatezza di una successione. Qualche ulteriore precisazione sui limiti di una successione, in particolare sulla definizione di limite e qualche dimostrazione sui limiti di successioni. Limite della radice ennesima di un numero positivo e di n. Sommatorie: definizione, semplici esempi e semplici proprieta'. Esempi notevoli di sommatorie, in particolare somma dei primi n numeri interi positivi e somma di una progressione geometrica. Teorema del binomio. Introduzione al concetto di serie.

24 novembre 2010, 2 ore. Argomento: Serie: definizioni ed esempi. Serie a termini non negativi. Serie geometrica. Relazione tra convergenza di una serie e convergenza a 0 del termine generale della serie. Effetto del cambiamento dei primi termini su una serie. Spezzamento di una serie in una somma di un numero finito di termini e di un'altra serie. Serie armonica e serie armoniche generalizzate. Criteri del confronto e del confronto asintotico.

29 novembre 2010, 1 ora. Argomento: Linearita' della somma di una serie. Spiegazioni e richiami sul criterio del confronto asintotico. Criterio del rapporto. Esempi.

06 dicembre 2010, 2 ore. Argomento: Serie geometrica con ragione minore o uguale a -1, e relativo limite di successione. Serie e sviluppo decimale. Coniche. Risoluzione dei sistemi di equazioni di primo grado col metodo di eliminazione di Gauss. Rette parallele ed interpretazione geometrica dei sistemi lineari in due incognite. Grafico della funzione parte intera. Discussione sulle proprieta' del logaritmo. Cenno ai domini di funzioni. Funzioni monotone e strettamente monotone.

07 dicembre 2010, 2 ore. Argomento: Ancora proprieta' del logaritmo, Grafico del logaritmo. Domini di funzioni con esempi. Definizione generale di limite di funzione e di funzione continua. Unicita' del limite di funzione. Algebra del limiti di funzione. Forme indeterminate.

09 dicembre 2010, 2 ore. Argomento: Esempi di limiti di funzione. Teoremi di confronto per limiti di funzioni. Definizione di funzione inferiormente limitata, superiormente limitata e limitata, con una precisazione sulla definizione di insieme limitato, e uso di tali nozioni per i limiti di funzione. Relazione tra limite di una funzione e del suo modulo. Continuita' della somma, differenza, prodotto e quoziente di funzioni continue. Continuita' dei polinomi e di funzioni abituali (esponenziali, potenze, logaritmi, seno e coseno). Dipendenza di limiti e continuita' solo dai valori vicini al punto in cui si fa il limite. Funzioni composte. Una precisazione sulla definizione di continuita'.

13 dicembre 2010, 2 ore. Argomento: Funzioni composte. Continuita' della composta di funzioni continue. Limite destro e sinistro. Qualche esempio. Teorema ponte e sua versione per funzioni continue. Esempi di applicazione del teorema ponte. Limiti notevoli di funzioni.

15 dicembre 2010, 2 ore. Argomento: Alcuni limiti notevoli. Continuita' delle funzioni seno e coseno. Aggiunta sul teorema ponte. Teoremi fondamentali sulle funzioni continue: teoremi della permanenza del segno (anche per limiti di funzione), degli zeri, dei valori intermedi e di Weierstrass. Applicazione all'esistenza di soluzioni di equazioni di grado dispari, e all'esistenza della radice. Funzioni monotone su intervalli e loro massimi, minimi, estremi superiori ed inferiori.

20 dicembre 2010, 2 ore. Argomento: Funzioni inverse di funzioni continue strettamente monotone, e loro monotonia e continuita'. Logaritmo e arcotangente. Cambio di variabile nei limiti e applicazioni. Qualche ulteriore limite notevole. Definizione di derivata e sua interpretazione meccanica e geometrica. Notazioni per la derivata.

22 dicembre 2010, 2 ore. Argomento: Scrittura in diverse forme del limite definente la derivata. Relazione tra derivabilita' e continuita'. Derivata delle principali funzioni. Regole di derivazione della somma, della differenza, del prodotto, del quoziente, della funzione composta. Esempi di applicazioni delle regole di derivazione. della funzione inversa. Esempi di applicazioni delle regole di derivazione.

23 dicembre 2010, 1 ora. Argomento: Derivata della funzione inversa. Esempi di calcolo delle derivate. Derivata in punti di massimo e di minimo di funzioni. Monotonia di funzioni e relazione col segno del rapporto incrementale. Relazione tra monotonia di una funzione e segno della sua derivata.

10 gennaio 2011, 2 ore. Argomento: Estremi relativi e derivata in punti di estremo relativo. Teorema di Rolle, teorema di Lagrange con sua interpretazione meccanica. Conseguenze del teorema di Lagrange, in particolare relazione tra monotonia di una funzione e segno della sua derivata e relazione tra costanza di una funzione e annullamento della sua derivata. Applicazioni allo studio del grafico di una funzione e al numero di soluzioni di un'equazione. Derivate successive. Interpretazione della derivata seconda come accelerazione.

11 gennaio 2011, 2 ore. Argomento: Definizione di integrale definito per funzioni continue con sua interpretazione geometrica. Principali proprieta' dell'integrale definito. Introduzione al problema del calcolo degli integrali. Integrale definito quando l'ordine degli estremi di integrazione e' arbitrario. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula fondamentale del calcolo integrale. Primitive.

13 gennaio 2011, 2 ore. Argomento: Integrale indefinito e primitive. Integrali fondamentali. Regole di integrazione: integrale della somma di due funzioni, del prodotto di una funzione per una costante, integrazione per sostituzione e per parti. Applicazioni ad esempi specifici delle regole date.

Esercitazioni svolte nel corso di Matematica per biotecnologie A.A. 2010/11.

02 novembre 2010, 2 ore. Argomento: Esercizi di riepilogo. Disequazioni, di cui una contenente il valore assoluto.

05 novembre 2010, 2 ore. Argomento: Disequazioni, anche con radicali o con modulo. Grafici di funzioni.

09 novembre 2010, 2 ore. Argomento: Disequazioni di tipo vario. Equazioni. Grafici di funzioni.

12 novembre 2010, 2 ore. Argomento: Disequazioni. Equazioni. Grafici di funzioni. Manipolazioni algebriche. Disuguaglianza di Bernoulli.

16 novembre 2010, 2 ore. Argomento: Principio di induzione. Geometria analitica. Esercizi di riepilogo (manipolazioni algebriche, logaritmi, equazioni e disequazioni, grafici).

19 novembre 2010, 2 ore. Argomento: Geometria analitica. Limiti di successioni.

23 novembre 2010, 2 ore. Argomento: Limiti di successioni.

26 novembre 2010, 2 ore. Argomento: Limiti di successioni. Sommatorie. Serie.

29 novembre 2010, 1 ora. Argomento: Serie.

01 dicembre 2010, 3 ore. Argomento: Serie e considerazioni collegate sui limiti di successioni.

02 dicembre 2010, 1 ora. Argomento: Esercizi di riepilogo: Successioni, sommatorie, serie e disequazioni.

10 dicembre 2010, 2 ore. Argomento: Serie, limiti di successioni, domini di funzioni, disequazioni logaritmiche, limiti di funzioni.

17 dicembre 2010, 2 ore. Argomento: Limiti di funzioni, funzioni continue, limiti di successioni, serie.

21 dicembre 2010, 2 ore. Argomento: Limiti di funzioni con applicazioni ad una serie.

22 dicembre 2010, 2 ore. Argomento: Limiti di funzioni con qualche applicazione.

23 dicembre 2010, 1 ora. Argomento: Calcolo di derivate.

10 gennaio 2011, 1 ora. Argomento: Calcolo di derivate.

11 gennaio 2011, 1 ora. Argomento: Limiti di funzioni, funzioni continue. Successioni e serie. Equazioni logaritmiche e trigonometriche. Esercizio teorico sulle derivate.

12 gennaio 2011, 2 ore. Argomento: Derivate e studi di funzione.

14 gennaio 2011, 2 ore. Argomento: Studi di funzione. Calcolo di integrali (sia indefiniti, sia definiti).