Lezioni svolte nel corso di Matematica per biotecnologie A.A. 2009/10.

14 ottobre 2009, 2 ore. Argomento: Brevi richiami su teoria degli insiemi. Proprieta' dei numeri reali, definiti assiomaticamente. Massimo, minimo, maggioranti, minoranti, estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme. Assioma dell'estremo superiore, e proprieta' analoga per l'estremo inferiore.

16 ottobre 2009, 2 ore. Argomento: Insiemi limitati. Richiami sul significato dell'assiomatica. Grafici di funzioni. Grafici delle funzioni della forma ax+b e delle potenze di x di esponente intero positivo. Funzioni pari e dispari. Grafico di funzione polinomio di secondo grado con coefficiente direttivo 1, interpretazione geometrica di disequazioni di secondo grado quando il coefficiente direttivo del polinomio e' 1. Grafico di f(x)+c e di f(x+c), in base al grafico di f. Densita' dei razionali e non densita' degli interi. Qualche richiamo e aggiunta su argomenti visti, ad esempio relazione tra inf e minimo e tra sup e massimo.

19 ottobre 2009, 2 ore. Argomento: Problema della definizione della radice quadrata. Richiami su grafico di funzione polinomio di secondo grado con coefficiente direttivo 1 e interpretazione geometrica di disequazioni di secondo grado quando il coefficiente direttivo del polinomio e' 1. Grafici di funzioni potenza (con esponente di vario tipo). Grafico della funzione modulo e piu' generalmente di funzioni definite a tratti. Potenze ad esponente reale, anche non razionale, e grafico delle funzioni esponenziali. Proprieta' della funzione modulo. Grafico della funzione |f(x)| e della funzione f(|x|), noto quello di f. Grafico di seno, coseno e tangente. Gli intervalli (non banali) hanno infiniti punti.

21 ottobre 2009, 1 ora. Argomento: Richiami su equazioni e disequazioni. Grafico di af(x), di f(ax), noto quello di f. Richiami sulla definizione delle radici ennesime. Definizione di logaritmo. Alcune proprieta' delle diseguaglianze.

26 ottobre 2009, 1 ora. Argomento: Alcune considerazioni sui grafici di funzione, ad esempio loro uso per interpreatre equazioni, disequazioni, e funzioni. Alcune proprieta' delle diseguaglianze. Principio di induzione, principio del buon ordinamento e argomenti collegati. Definizione della funzione parte intera. Distanza tra due punti del piano. Equazione della retta che passa per due punti distinti ed equazione della circonferenza di centro e raggio dati.

27 ottobre 2009, 1 ora. Argomento: Equazione della retta che passa per due punti distinti del piano. Grafici di funzioni e rette. Coniche. Risoluzione dei sistemi di equazioni di primo grado col metodo di eliminazione di Gauss. Rette parallele ed interpretazione geometrica dei sistemi lineari in due incognite. Numeri primi.

28 ottobre 2009, 2 ore. Argomento: Definizione di successione. Definizione di limite (finito o infinito) di una successione. Unicita' del limite. Successioni convergenti, divergenti e indeterminate. Qualche esempio. Algebra dei limiti per successioni convergenti.

02 novembre 2009, 2 ore. Argomento: Algebra dei limiti, anche quando il limite puo' essere +infinito o -infinito. Forme indeterminate. Teoremi di confronto. Limiti di successioni di tipo potenza e di tipo esponenziale. Qualche esempio e qualche osservazione sulla definizione di limite.

04 novembre 2009, 2 ore. Argomento: Limiti di successioni esponenziali. Limiti notevoli e confronto tra infiniti, fattoriale. Successioni superiormente limitate, inferiormente limitate, limitate, e applicazioni. Relazione tra limite di una successione e del suo modulo. Limiti particolari. Successioni monotone e strettamente monotone e limiti di successioni monotone; numero "e". Considerazioni sui primi termini di una successione. Certe proprieta' delle successioni riguardanti il limite dipendono solo dal comportamento della successione definitivamente. Cenno a teorema della permanenza del segno e sue conseguenze.

06 novembre 2009, 1 ora. Argomento: Teorema della permanenza del segno e conseguenze. Successioni che partono da un numero naturale diverso da 1. Relazione tra convergenza o divergenza e limitatezza di una successione. Qualche ulteriore precisazione sui limiti di una successione, in particolare sulla definizione di limite e qualche dimostrazione sui limiti di successioni. Limite della radice ennesima di un numero positivo e di n.

10 novembre 2009, 2 ore. Argomento: Sommatorie: definizione, semplici esempi e semplici proprieta'. Esempi notevoli di sommatorie, in particolare somma dei primi n numeri interi positivi e somma di una progressione geometrica. Teorema del binomio. Serie: Definizioni ed esempi. Serie a termini non negativi. Serie geometrica. Relazione tra convergenza di una serie e convergenza a 0 del termine generale della serie.

13 novembre 2009, 2 ore. Argomento: Linearita' della somma di una serie. Effetto del cambiamento dei primi termini su una serie. Spezzamento di una serie in una somma di un numero finito di termini e di un'altra serie. Richiamo su relazione tra convergenza di una serie e convergenza a 0 del termine generale della serie. Serie armonica e serie armoniche generalizzate. Criteri del confronto, del confronto asintotico e del rapporto. Esempi.

17 novembre 2009, 2 ore. Argomento: Precisazioni sui criteri visti sulle serie e sulla serie geometrica. Dimostrazione del criterio del rapporto. Cenno alla relazione tra serie e sviluppo decimale e all'uso delle serie per ottenere numeri e funzioni specifici. Grafico della funzione parte intera e del logaritmo. Discussione sulle proprieta' del logaritmo. Domini di funzioni con esempi. Funzioni monotone e strettamente monotone. Definizione di limite di funzione per x tendente a +infinito.

20 novembre 2009, 2 ore. Argomento: Definizione generale di limite di funzione e di funzione continua. Semplici esempi. Unicita' del limite di funzione. Proprieta' dei limiti di funzioni analoghe a quelle per limiti di successioni, di tipo algebrico e anche di altro tipo (ad esempio di confronto). Definizione di funzione inferiormente limitata, superiormente limitata e limitata, con una precisazione sulla definizione di insieme limitato.

23 novembre 2009, 2 ore. Argomento: Relazione tra limite di una funzione e del suo modulo. Continuita' della somma, differenza, prodotto e quoziente di funzioni continue. Continuita' dei polinomi e di funzioni abituali (esponenziali, potenze, logaritmi, seno e coseno). Dipendenza di limiti e continuita' solo dai valori vicini al punto in cui si fa il limite. Funzioni composte. Continuita' della composta di funzioni continue. Limite destro e sinistro. Teorema della permanenza del segno e questioni collegate. Qualche esempio.

25 novembre 2009, 1 ora. Argomento: Teorema ponte e sua versione per funzioni continue. Esempi di applicazione del teorema ponte. Alcuni limiti notevoli di funzioni. Precisazioni su limite destro e sinistro.

30 novembre 2009, 2 ore. Argomento: Alcuni limiti notevoli. Continuita' delle funzioni seno e coseno. Teoremi fondamentali sulle funzioni continue: teoremi della permanenza del segno, degli zeri, dei valori intermedi e di Weierstrass. Applicazione all'esistenza di soluzioni di equazioni di grado dispari. Concetto di funzione inversa e continuita' della funzione inversa.

02 dicembre 2009, 2 ore. Argomento: Funzioni monotone su intervalli e loro massimi, minimi, estremi superiori ed inferiori. Funzioni inverse di funzioni continue strettamente monotone, e loro monotonia e continuita'. Logaritmo e arcotangente. Cambio di variabile nei limiti e applicazioni. Qualche ulteriore limite notevole. Definizione di derivata e sua interpretazione meccanica. Scrittura in diverse forme del limite definente la derivata.

07 dicembre 2009, 2 ore. Argomento: Notazioni sulla derivata. Interpretazione geometrica della derivata. Relazione tra derivabilita' e continuita'. Derivata delle principali funzioni. Regole di derivazione della somma, della differenza, del prodotto, del quoziente, della funzione composta e della funzione inversa. Esempi di applicazioni delle regole di derivazione.

09 dicembre 2009, 2 ore. Argomento: Esempi di calcolo delle derivate. Derivata in punti di massimo e di minimo di funzioni. Monotonia di funzioni e relazione col segno del rapporto incrementale. Relazione tra monotonia di una funzione e segno della sua derivata. Dipendenza della derivata solo dai valori vicini al punto in cui si fa la derivata. Teorema di Rolle, teorema di Lagrange con sua interpretazione meccanica; conseguenza che una funzione con derivata nulla e' costante.

14 dicembre 2009, 1 ora. Argomento: Estremi relativi e derivata in punti di estremo relativo. Conseguenze del teorema di Lagrange, in particolare relazione tra monotonia di una funzione e segno della sua derivata. Applicazioni allo studio del grafico di una funzione. Derivate successive. Interpretazione della derivata seconda come accelerazione.

15 dicembre 2009, 2 ore. Argomento: Definizione di integrale definito per funzioni continue con sua interpretazione geometrica. Principali proprieta' dell'integrale definito. Introduzione al problema del calcolo degli integrali. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula fondamentale del calcolo integrale. Integrale indefinito e primitive.

18 dicembre 2009, 2 ore. Argomento: Integrale definito quando l'ordine degli estremi di integrazione e' arbitrario. Dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrali fondamentali. Regole di integrazione: integrale della somma di due funzioni, del prodotto di una funzione per una costante, integrazione per sostituzione e per parti. Applicazioni ad esempi specifici delle regole date.

Esercitazioni svolte nel corso di Matematica per biotecnologie A.A. 2009/10.

20 ottobre 2009, 2 ore. Argomento: Disequazioni anche contenenti il valore assoluto. Grafici di fuznioni.

21 ottobre 2009, 1 ora. Argomento: Disequazioni, anche con radicali. Grafici di funzioni.

23 ottobre 2009, 2 ore. Argomento: Disequazioni di vario tipo. Grafici di funzioni.

26 ottobre 2009, 1 ora. Argomento: Equazioni di vario tipo, una disequazione. Grafici di funzione.

27 ottobre 2009, 1 ora. Argomento: Disequazioni. Proprieta' delle potenze. Applicazioni del principio di induzione. Geometria analitica.

30 ottobre 2009, 2 ore. Argomento: Geometria analitica anche in connessione con grafici di funzioni. Disequazioni.

03 novembre 2009, 2 ore. Argomento: Grafici di funzioni. Potenze e logaritmi con richiami sulle rispettive proprieta'. Equazioni e disequazioni. Principio di induzione. Limiti di successioni.

06 novembre 2009, 1 ora. Argomento: Limiti di successioni.

09 novembre 2009, 2 ore. Argomento: Limiti di successioni.

11 novembre 2009, 2 ore. Argomento: Limiti di successioni. Sommatorie. Una serie.

16 novembre 2009, 2 ore. Argomento: Serie.

18 novembre 2009, 2 ore. Argomento: Serie.

24 novembre 2009, 2 ore. Argomento: Serie. Successioni. Domini di funzioni.

25 novembre 2009, 1 ora. Argomento: Una serie. Un dominio di funzione. Limiti di funzioni. Disuguaglianze. Logaritmi.

01 dicembre 2009, 2 ore. Argomento: Disequazioni contenenti i logaritmi. Limiti di funzioni con applicazioni a successioni e serie.

04 dicembre 2009, 2 ore. Argomento: Equazioni e disequazioni di vario tipo. Domini di funzioni. Limiti di funzioni. Uso del teorema degli zeri per risolvere un'equazione.

07 dicembre 2009, 2 ore. Argomento: Limiti di funzioni e relazione con successioni e serie. Funzioni continue e discontinue.

11 dicembre 2009, 2 ore. Argomento: Limiti di funzioni e limiti di successioni. Esercizi teorici sulle funzioni continue. Calcolo di derivate.

14 dicembre 2009, 1 ora. Argomento: Calcolo di derivate.

17 dicembre 2009, 2 ore. Argomento: Studi di funzione. Esercizi un po' teorici sulle derivate.

18 dicembre 2009, 2 ore. Argomento: Calcolo di integrali.