Lezioni svolte nel corso di Matematica per biotecnologie A.A. 2008/09.

15 ottobre 2008, 2 ore. Argomento: Brevi richiami su insiemi numerici (naturali, interi, razionali, reali). Proprieta' dei numeri reali, definiti assiomaticamente. Massimo, maggioranti ed estremo superiore di un insieme. Assioma dell'estremo superiore.

17 ottobre 2008, 2 ore. Argomento: Ancora estremo superiore, estremo inferiore di insiemi di numeri reali. Insiemi limitati. Precisazioni sull'assiomatica. Grafici di funzioni. Grafici delle funzioni della forma ax+b e delle potenze di x di esponente intero positivo. Funzioni pari e dispari. Grafico di funzione polinomio di secondo grado con coefficiente direttivo 1, interpretazione geometrica di disequazioni di secondo grado quando il coefficiente direttivo del polinomio e' 1. Grafico di f(x)+c e di f(x+c), in base al grafico di f. Problema della definizione della radice quadrata.

21 ottobre 2008, 1 ora. Argomento: Grafici di funzioni. Grafici di funzioni potenza (con esponente di vario tipo). Grafico della funzione modulo e piu' generalmente di funzioni definite a tratti. Richiamo sul grafico di f(x)+c e di f(x+c), in base al grafico di f. Potenze ad esponente reale, anche non razionale, e grafico delle funzioni esponenziali.

22 ottobre 2008, 1 ora. Argomento: Proprieta' della funzione modulo e grafico della funzione |f(x)| e della funzione f(|x|), noto quello di f. Grafico di seno, coseno e tangente.

24 ottobre 2008, 2 ore. Argomento: Modulo del quoziente e richiami sulle equazioni e disequazioni. Grafico di af(x), di f(ax), noto quello di f. Solo le funzioni lineari hanno come grafico una retta. Richiami sulla definizione delle radici ennesime. Definizione di logaritmo. Alcune proprieta' delle diseguaglianze. Principio di induzione, principio del buon ordinamento e argomenti collegati. Densita' dei razionali e non densita' degli interi. Gli intervalli (non banali) hanno infiniti punti. Definizione della funzione parte intera. Distanza tra due punti del piano.

28 ottobre 2008, 2 ore. Argomento: Geometria analitica nel piano: Equazione della retta che passa per due punti distinti ed equazione della circonferenza di centro e raggio dati; coniche. Cenno su discreto e continuo. Definizione di successione ed esempi. Definizione di limite, finito o + infinito, di una successione.

4 novembre 2008, 2 ore. Argomento: Definizione di limite -infinito di una successione. Unicita' del limite. Notazioni sul limite di successione. Successioni convergenti, divergenti e indeterminate. Algebra dei limiti, anche quando il limite puo' essere +infinito o -infinito. Forme indeterminate. Qualche esempio.

5 novembre 2008, 2 ore. Argomento: Teoremi di confronto. Limiti di successioni di tipo potenza e di tipo esponenziale. Limiti notevoli e confronto tra infiniti, fattoriale. Successioni superiormente limitate, inferiormente limitate, limitate, e applicazioni. Certe proprieta' delle successioni riguardanti il limite dipendono solo dal comportamento della successione definitivamente. Esempi vari.

11 novembre 2008, 2 ore. Argomento: Ancora limiti notevoli e confronto tra infiniti. Ancora successioni superiormente limitate, inferiormente limitate, limitate, e applicazioni. Relazione tra convergenza o divergenza e limitatezza di una successione. Successioni monotone e strettamente monotone e limiti di successioni monotone; numero "e". Una dimostrazione sull'algebra dei limiti. Teorema della permanenza del segno e conseguenze. Relazione tra limite di una successione e del suo modulo. Qualche ulteriore precisazione sui limiti di una successione, in particolare sulla definizione di limite. Limite della radice ennesima di 2.

12 novembre 2008, 2 ore. Argomento: Limite della radice ennesima di un numero positivo e di n. Successioni che partono da un numero naturale diverso da 1. Le proprieta' delle successioni riguardanti il limite dipendono solo dal comportamento della successione definitivamente. Precisazioni sulla definizione di limite. Sommatorie: definizione, semplici esempi e semplici proprieta'. Esempi notevoli di sommatorie, in particolare somma dei primi n numeri interi positivi e somma di una progressione geometrica. Teorema del binomio. Serie: Definizioni ed esempi. Serie geometrica. Serie a termini non negativi. Se la serie converge il termine generale tende a 0.

18 novembre 2008, 2 ore. Argomento: Linearita' della somma di una serie. Effetto del cambiamento dei primi termini su una serie. Spezzamento di una serie in una somma di un numero finito di termini e di un'altra serie. Relazione tra convergenza di una serie e convergenza a $0$ del termine generale della serie. Serie armonica e serie armoniche generalizzate. Criterio del confronto, criterio del confronto asintotico e criterio del rapporto. Esempi.

21 novembre 2008, 1 ora. Argomento: Criterio del rapporto. Spiegazioni sulla serie geometrica. Cenno alla relazione tra serie e sviluppo decimale. Cenno sull'uso delle serie per descrivere funzioni e numeri noti. Risoluzione dei sistemi di equazioni di primo grado col metodo di eliminazione di Gauss. Geometria analitica: rette parallele. Grafico della funzione parte intera.

25 novembre 2008, 2 ore. Argomento: Proprieta' e grafico del logaritmo nelle diverse basi. Domini di funzioni. Funzioni monotone e strettamente monotone. Definizione di limite di funzione per x tendente a +infinito e a -infinito, e di limite finito per x tendente a un numero reale.

26 novembre 2008, 1 ora. Argomento: Ultimi casi della definizione di limite di funzione, definizione di funzione continua. Semplici esempi. Unicita' del limite di funzione. Proprieta' dei limiti di funzioni analoghe a quelle per limiti di successioni, di tipo algebrico. Continuita' della somma, differenza, prodotto e quoziente di funzioni continue.

1 dicembre 2008, 2 ore. Argomento: Proprieta' dei limiti di funzioni analoghe a quelle per limiti di successioni, ad esempio di confronto. Teorema della permanenza del segno e argomenti collegati. Definizione di funzione inferiormente limitata, superiormente limitata e limitata, con una precisazione sulla definizione di insieme limitato. Continuita' dei polinomi e di funzioni abituali (esponenziali, potenze, logaritmi, seno e coseno). Dipendenza di limiti e continuita' solo dai valori vicini al punto in cui si fa il limite. Qualche esempio di limite. Funzioni composte. Continuita' della composta di funzioni continue.

2 dicembre 2008, 2 ore. Argomento: Continuita' della composta di funzioni continue. Limiti destro e sinistro ed esempi. Teorema ponte ed esempi. Limiti notevoli di funzioni.

5 dicembre 2008, 2 ore. Argomento: Teoremi fondamentali sulle funzioni continue: teoremi della permanenza del segno, degli zeri, dei valori intermedi e di Weierstrass. Applicazione all'esistenza di soluzioni di equazioni di grado dispari. Concetto di funzione inversa. Funzioni monotone su intervalli e loro massimi, minimi, estremi superiori ed inferiori. Funzioni inverse di funzioni continue strettamente monotone, e loro monotonia e continuita'. Logaritmo e arcotangente.

9 dicembre 2008, 1 ora. Argomento: Richiami sulle funzioni inverse. Cambio di variabile nei limiti ed esempi. Definizione di derivata e suo significato geometrico e meccanico.

10 dicembre 2008, 2 ore. Argomento: Notazioni sulla derivata e scrittura in diverse forme del limite definente la derivata. Dipendenza della derivata solo dai valori vicini al punto in cui si fa la derivata. Relazione tra derivabilita' e continuita'. Derivate delle principali funzioni. Regole di derivazione della somma, della differenza, del prodotto, del quoziente. Derivata della funzione composta. Esempi di applicazioni delle regole di derivazione.

12 dicembre 2008, 2 ore. Argomento: Ancora derivata della funzione composta. Derivata della funzione inversa. Monotonia di funzioni e relazione col segno del rapporto incrementale. Relazione tra monotonia di una funzione e segno della sua derivata. Derivata in punti di massimo e di minimo di funzioni. Estremi relativi e derivata in punti di estremo relativo. Teorema di Rolle e teorema di Lagrange.

16 dicembre 2008, 1 ora. Argomento: Ancora teorema di Lagrange, con sua interpretazione meccanica. Conseguenze del teorema di Lagrange, in particolare relazione tra monotonia di una funzione e segno della sua derivata e relazione tra costanza di una funzione e annullamento della sua derivata. Applicazioni allo studio del grafico di una funzione. Derivate successive. Interpretazione della derivata seconda come accelerazione.

17 dicembre 2008, 2 ore. Argomento: Definizione di integrale definito per funzioni continue con sua interpretazione geometrica. Principali proprieta' dell'integrale definito. Introduzione al problema del calcolo degli integrali. Integrale definito quando l'ordine degli estremi di integrazione e' arbitrario. Teorema fondamentale del calcolo integrale e sua dimostrazione.

20 dicembre 2008, 2 ore. Argomento: Formula fondamentale del calcolo integrale. Integrale indefinito e primitive. Integrali fondamentali. Regole di integrazione: integrale della somma di due funzioni, del prodotto di una funzione per una costante, integrazione per sostituzione e per parti. Applicazioni ad esempi specifici delle regole date. Cenni ad altri argomenti.

Esercitazioni svolte nel corso di Matematica per biotecnologie A.A. 2008/09.

20 ottobre 2008, 2 ore. Argomento: Esercizi di riepilogo, in particolare su proprieta' delle potenze e divisione tra polinomi. Disequazioni di vario tipo, anche con radicali e coi moduli.

21 ottobre 2008, 1 ora. Argomento: Disequazioni varie, anche di tipo esponenziale.

22 ottobre 2008, 1 ora. Argomento: Disequazioni e grafici di funzioni.

27 ottobre 2008, 2 ore. Argomento: Grafici di funzioni, e uso dei grafici. Equazioni.

31 ottobre 2008, 2 ore. Argomento: Equazioni e disequazioni.

3 novembre 2008, 2 ore. Argomento: Equazioni e disequazioni. Proprieta' delle potenze. Principio di induzione. Geometria analitica.

7 novembre 2008, 2 ore. Argomento: Principio di induzione. Geometria analitica. Limiti di successioni.

10 novembre 2008, 2 ore. Argomento: Limiti di successioni.

17 novembre 2008, 2 ore. Argomento: Limiti di successioni. Sommatorie.

19 novembre 2008, 2 ore. Argomento: Sommatorie. Serie.

21 novembre 2008, 1 ora. Argomento: Serie.

24 novembre 2008, 2 ore. Argomento: Serie.

26 novembre 2008, 1 ora. Argomento: Serie.

28 novembre 2008, 2 ore. Argomento: Domini. Riepilogo di vari argomenti, in particolare disequazioni e serie.

3 dicembre 2008, 2 ore. Argomento: Limiti di funzioni con applicazioni a successioni e a serie.

9 dicembre 2008, 1 ora. Argomento: Limiti di funzioni con applicazioni a successioni e a serie.

10 dicembre 2008, 2 ore. Argomento: Richiami su un esercizio visto in precedenza sulle serie. Limiti di funzioni e limiti di successioni.

15 dicembre 2008, 2 ore. Argomento: Disequazioni logaritmiche e cenno a quelle trigonometriche. Proprieta' dei logaritmi. Applicazioni dei teoremi sulle funzioni continue. Calcolo di derivate.

16 dicembre 2008, 1 ora. Argomento: Cenno a equazioni logaritmiche e a limiti di funzioni. Calcolo di derivate.

19 dicembre 2008, 2 ore. Argomento: Esercizi teorici sulle derivate, e anche esempi con ragionamenti analoghi su algebra di funzioni continue e algebra dei numeri reali. Studi di funzione.

20 dicembre 2008, 2 ore. Argomento: Studi di funzione. Calcolo di integrali.