Lezioni svolte nel corso di Matematica per biotecnologie A.A. 2007/08.

10 ottobre 2007, 2 ore. Argomento: Brevi richiami su insiemi numerici (naturali, interi, razionali, reali). Proprieta' dei numeri reali, definiti assiomaticamente.

12 ottobre 2007, 2 ore. Argomento: Ancora estremo superiore, estremo inferiore di insiemi di numeri reali. Insiemi limitati. Precisazioni sull'assiomatica. Grafici di funzioni. Grafici delle funzioni della forma ax+b e delle potenze di x di esponente intero positivo. Funzioni pari e dispari. Grafico di funzione polinomio di secondo grado con coefficiente direttivo 1, interpretazione geometrica di disequazioni di secondo grado quando il coefficiente direttivo del polinomio e' 1. Grafico di f(x)+c e di f(x+c), in base al grafico di f.

17 ottobre 2007, 2 ore. Argomento: Grafici di funzioni potenza (con esponente di vario tipo). Grafico della funzione modulo e piu' generalmente di funzioni definite a tratti. Richiamo sul grafico di f(x)+c e di f(x+c), in base al grafico di f. Potenze ad esponente reale, anche non razionale, e grafico delle funzioni esponenziali. Problema della definizione della radice ennesima. Estremo superiore e continuita' della retta reale. Proprieta' della funzione modulo e grafico della funzione |f(x)| noto quello di f.

22 ottobre 2007, 1 ora. Argomento: Grafico di seno, coseno e tangente e delle funzioni af(x), di f(ax), f(|x|), noto quello di f. Definizione di logaritmo. Densita' dei razionali.

23 ottobre 2007, 1 ora. Argomento: Alcune proprieta' delle diseguaglianze. Principio di induzione, principio del buon ordinamento e argomenti collegati. Richiamo su densita' dei razionali, e non densita' degli interi. Gli intervalli (non banali) hanno infiniti punti. Definizione della funzione parte intera. Relazione tra massimo ed estremo superiore e tra minimo ed estremo inferiore.

26 ottobre 2007, 2 ore. Argomento: Geometria analitica nel piano: Equazione della retta che passa per due punti distinti ed equazione della circonferenza di centro e raggio dati. Definizione di successione. Definizione di limite (finito o infinito) di una successione. Unicita' del limite. Successioni convergenti, divergenti e indeterminate. Qualche esempio. Cenno all' algebra dei limiti per successioni convergenti.

30 ottobre 2007, 2 ore. Argomento: Algebra dei limiti, anche quando il limite puo' essere +infinito o -infinito. Forme indeterminate. Teoremi di confronto. Limiti di successioni tipo potenza e cenno a quelle di tipo esponenziale. Qualche esempio e qualche osservazione sulla definizione di limite.

5 novembre 2007, 1 ora. Argomento: Limiti di successioni esponenziali. Limiti notevoli e confronto tra infiniti, fattoriale. Successioni superiormente limitate, inferiormente limitate, limitate, e applicazioni. Relazione tra limite di una successione e del suo modulo.

6 novembre 2007, 1 ora. Argomento: Confronto tra infiniti. Limiti particolari. Successioni monotone e strettamente monotone e limiti di successioni monotone; numero "e". Considerazioni sui primi termini di una successione. Certe proprieta' delle successioni riguardanti il limite dipendono solo dal comportamento della successione definitivamente.

7 novembre 2007, 1 ora. Argomento: Alcune spiegazioni (e anche dimostrazioni) sulle proprieta' dei limiti. Teorema della permanenza del segno e conseguenze. Richiami sul numero e. Le proprieta' delle successioni riguardanti il limite dipendono solo dal comportamento della successione definitivamente. Successioni che partono da un numero naturale diverso da 1. Relazione tra convergenza o divergenza e limitatezza di una successione.

8 novembre 2007, 2 ore. Argomento: Qualche ulteriore precisazione sui limiti di una successione, in particolare sulla definizione di limite. Limite della radice ennesima di un numero positivo e di n. Relazione tra successione convergente e successione limitata. Sommatorie: definizione, semplici esempi e semplici proprieta'. Esempi notevoli di sommatorie, in particolare somma dei primi n numeri interi positivi e somma di una progressione geometrica. Teorema del binomio. Serie: Definizioni ed esempi. Serie a termini non negativi.

14 novembre 2007, 2 ora. Argomento: Serie geometrica. Precisazioni su serie a termini non negativi. Linearita' della somma di una serie. Effetto del cambiamento dei primi termini su una serie. Serie che partono da un numero naturale qualunque. Relazione tra convergenza di una serie e convergenza a $0$ del termine generale della serie. Serie armonica e serie armoniche generalizzate. Criterio del confronto. Esempi.

16 novembre 2007, 2 ore. Argomento: Spezzamento di una serie in una somma di un numero finito di termini e di un'altra serie. Precisazioni sul criterio del confronto. Criterio del confronto asintotico e criterio del rapporto. Esempi. Cenno alla relazione tra serie e sviluppo decimale. Risoluzione dei sistemi di equazioni di primo grado col metodo di eliminazione di Gauss. Geometria analitica: rette parallele e coniche. Grafico della funzione parte intera e del logaritmo naturale. Discussione sulle proprieta' del logaritmo.

21 novembre 2007, 1 ora. Argomento: Proprieta' e grafico del logaritmo nelle diverse basi. Domini di funzioni. Funzioni monotone e strettamente monotone. Definizione di limite di funzione per x tendente a +infinito.

26 novembre 2007, 1 ora. Argomento: Definizione generale di limite di funzione e di funzione continua. Cenno a unicita' del limite. Semplici esempi.

27 novembre 2007, 2 ore. Argomento: Una precisazione sulla definizione di continuita' (e anche sulla definizione generale di limite di funzione). Unicita' del limite di funzione. Proprieta' dei limiti di funzioni analoghe a quelle per limiti di successioni, di tipo algebrico e anche di altro tipo (ad esempio di confronto). Definizione di funzione inferiormente limitata, superiormente limitata e limitata, con una precisazione sulla definizione di insieme limitato. Continuita' della somma, differenza, prodotto e quoziente di funzioni continue. Continuita' dei polinomi e di funzioni abituali (esponenziali, potenze, logaritmi, seno e coseno). Dipendenza di limiti e continuita' solo dai valori vicini al punto in cui si fa il limite. Funzioni composte. Qualche esempio.

28 novembre 2007, 1 ora. Argomento: Continuita' della composta di funzioni continue. Limite destro e sinistro. Teorema ponte. Esempi.

29 novembre 2007, 1 ora. Argomento: Teorema ponte e sua versione per funzioni continue. Esempi di applicazione del teorema ponte. La continuita' di una funzione dipende solo dai valori vicini al punto. Continuita' della funzione valore assoluto. Alcuni limiti notevoli di funzioni.

3 dicembre 2007, 1 ora. Argomento: Precisazioni su limite destro e sinistro. Alcuni limiti notevoli. Continuita' delle funzioni seno e coseno. Teorema dell'esistenza degli zeri.

4 dicembre 2007, 1 ora. Argomento: Teoremi fondamentali sulle funzioni continue: teoremi degli zeri, dei valori intermedi e di Weierstrass. Applicazione all'esistenza di soluzioni di equazioni di grado dispari. Concetto di funzione inversa.

5 dicembre 2007, 1 ora. Argomento: Funzioni monotone su intervalli e loro massimi, minimi, estremi superiori ed inferiori. Funzioni inverse di funzioni continue strettamente monotone, e loro monotonia e continuita'. Logaritmo e arcotangente. Cambio di variabile nei limiti e applicazioni. Qualche ulteriore limite notevole.

7 dicembre 2007, 1 ora. Argomento: Precisazioni sul cambio di variabili nei limiti. Teorema della permanenza del segno per funzioni continue. Definizione di derivata e sua interpretazione meccanica e geometrica. Notazioni sulla derivata e scrittura in diverse forme del limite definente la derivata. Derivata della funzione x e delle funzioni costanti.

10 dicembre 2007, 1 ora. Argomento: Relazione tra derivabilita' e continuita'. Derivate di quasi tutte le principali funzioni. Regole di derivazione della somma, della differenza, del prodotto, del quoziente.

11 dicembre 2007, 2 ore. Argomento: Derivata della funzione composta e della funzione inversa. Esempi di applicazioni delle regole di derivazione. Proprieta' di monotonia del limite di funzioni. Derivata in punti di massimo e di minimo di funzioni. Cenno a estremi relativi. Monotonia di funzioni e relazione col segno del rapporto incrementale. Relazione tra monotonia di una funzione e segno della sua derivata.

14 dicembre 2007, 2 ore. Argomento: Estremi relativi e derivata in punti di estremo relativo. Dipendenza della derivata solo dai valori vicini al punto in cui si fa la derivata. Teorema di Rolle, teorema di Lagrange con sua interpretazione meccanica. Conseguenze del teorema di Lagrange, in particolare relazione tra monotonia di una funzione e segno della sua derivata e relazione tra costanza di una funzione e annullamento della sua derivata. Applicazioni allo studio del grafico di una funzione. Derivate successive. Interpretazione della derivata seconda come accelerazione.

17 dicembre 2007, 1 ora. Argomento: Definizione di integrale definito per funzioni continue con sua interpretazione geometrica. Principali proprieta' dell'integrale definito. Introduzione al problema del calcolo degli integrali.

18 dicembre 2007, 2 ore. Argomento: Integrale definito quando l'ordine degli estremi di integrazione e' arbitrario. Teorema fondamentale del calcolo integrale e sua dimostrazione. Formula fondamentale del calcolo integrale. Integrale indefinito e primitive. Integrali fondamentali. Regole di integrazione: integrale della somma di due funzioni, del prodotto di una funzione per una costante, integrazione per sostituzione. Applicazioni ad esempi specifici delle regole date.

19 dicembre 2007, 1 ora. Argomento: Integrali per sostituzione e per parti. Esempi. Cenni ad altri argomenti vari.

Esercitazioni svolte nel corso di Matematica per biotecnologie A.A. 2007/08.

19 ottobre 2007, 3 ore. Argomento: Equazioni, disequazioni e grafici di funzioni.

23 ottobre 2007, 1 ora. Argomento: Disequazioni e grafici di funzioni.

24 ottobre 2007, 2 ore. Argomento: Equazioni e disequazioni anche di tipo esponenziale. Uso delle proprieta' delle potenze e dei logaritmi. Un grafico di funzione.

26 ottobre 2007, 1 ora. Argomento: Equazioni e disequazioni. Grafici di funzioni.

29 ottobre 2007, 1 ora. Argomento: Grafici di funzioni. Geometria analitica.

31 ottobre 2007, 2 ore. Argomento: Geometria analitica. Principio di induzione.

6 novembre 2007, 1 ora. Argomento: Limiti di successioni. Qualche precisazione su un esercizio visto in precedenza.

7 novembre 2007, 1 ora. Argomento: Limiti di successioni.

8 novembre 2007, 1 ora. Argomento: Limiti di successioni.

12 novembre 2007, 1 ora. Argomento: Limiti di successioni. Sommatorie. Una disequazione.

13 novembre 2007, 2 ora. Argomento: Limiti di successioni. Sommatorie. Esercizi di riepilogo: disequazioni, proprieta' delle potenze, principio di induzione.

16 novembre 2007, 1 ora. Argomento: Serie.

19 novembre 2007, 1 ora. Argomento: Serie.

20 novembre 2007, 2 ore. Argomento: Serie.

21 novembre 2007, 1 ora. Argomento: Esercizi di riepilogo: Serie successioni, disequazioni e forse altro.

28 novembre 2007, 1 ora. Argomento: Domini di funzioni. Limiti di funzioni. Cenno a una serie.

29 novembre 2007, 2 ore. Argomento: Domini di funzioni. Limiti di funzioni con applicazioni a successioni e a serie (usando il teorema ponte). In particolare casi in cui si usano limiti destri e sinistri.

4 dicembre 2007, 1 ora. Argomento: Limiti di funzioni e funzioni continue. Appplicazioni a una serie.

5 dicembre 2007, 1 ora. Argomento: Limiti di funzioni, in particolare uso del cambio di variabile nei limiti e del teorema ponte, ottenendo in tal modo anche un limite di successione.

7 dicembre 2007, 2 ore. Argomento: Disequazioni contenenti il logaritmo. Limiti di funzioni. Applicazione a una serie.

12 dicembre 2007, 2 ore. Argomento: Limiti di funzioni. Proprieta' del logaritmo. Calcolo di derivate. Proprieta' delle funzioni continue.

14 dicembre 2007, 1 ora. Argomento: calcolo di derivate.

17 dicembre 2007, 2 ore. Argomento: Calcolo di derivate, con anche un esercizio teorico. Studi di funzioni.

19 dicembre 2007, 1 ora. Argomento: Studi di funzioni.

20 dicembre 2007, 2 ore. Argomento: Limiti di funzioni. Calcolo di integrali.