Lezioni svolte nel corso di Matematica per Biotecnologie A.A. 2006/07

18 ottobre 2006, 2 ore. Argomento: Brevi richiami su insiemi e insiemi numerici (naturali, interi, razionali, reali). Proprieta' dei numeri reali, definiti assiomaticamente. Introduzione al concetto di estremo superiore.

20 ottobre 2006, 2 ore. Argomento: Estremo superiore ed estremo inferiore di insiemi di numeri reali. Assioma di continuita'. Grafici di funzioni. Grafici delle funzioni della forma ax+b e delle potenze di x di esponente intero positivo. Grafico di funzione tipo polinomio di secondo grado con coefficiente direttivo 1.

23 ottobre 2006, 1 ora. Argomento: Grafici di funzioni potenza (con esponente di vario tipo). Grafico della funzione modulo e piu' generalmente di funzioni definite a tratti. Grafico di f(x)+c e di f(x+c), in base al grafico di f, interpretazione geometrica di disequazioni di secondo grado quando il coefficiente direttivo del polinomio e' 1. Qualche osservazione sul modulo.

25 ottobre 2006, 2 ore. Argomento: Potenze ad esponente reale, anche non razionale e richiami sulle potenze in genere. Ulteriori proprieta' della funzione modulo. Densita' dei razionali. Grafici delle funzioni esponenziali e di funzioni -f(x) e di f(-x), |f(x)|, f(|x|), noto quello di f.

3 novembre 2006, 2 ore. Argomento: Grafici delle funzioni seno, coseno e tangente. Definizione di logaritmo. Grafico di af(x) e di f(ax), noto quello di f. Problema della definizione della radice ennesima. Principio di induzione, principio del buon ordinamento e argomenti collegati. Non densita' degli interi. Definizione della funzione parte intera. Relazione tra massimo ed estremo superiore e tra minimo ed estremo inferiore. Geometria analitica nel piano: Equazione della retta che passa per due punti distinti, ed equazione della circonferenza di centro e raggio dati.

7 novembre 2006, 2 ore. Argomento: Definizione di successione. Definizione di limite (finito o infinito) di una successione. Unicita' del limite. Successioni convergenti e divergenti. Qualche esempio. Algebra dei limiti per successioni convergenti. Somma dei limiti anche per successioni divergenti.

10 novembre 2006, 2 ore. Argomento: Successioni indeterminate o irregolari. Algebra dei limiti. Forme indeterminate. Successioni limitate (anche inferiormente o superiormente limitate) e relazione tra successione limitata e esistenza del limite della successione. Teoremi di confronto. Esempi di limite come applicazione dei risultati dati. Limiti di successioni tipo potenza ed esponenziale.

13 novembre 2006, 1 ora. Argomento: Limiti notevoli e confronto tra infiniti, fattoriale. Qualche esempio. Considerazioni sui primi termini di una successione.

17 novembre 2006, 2 ore. Argomento: Alcune spiegazioni (e anche dimostrazioni) sulle proprieta' dei limiti. Teorema della permanenza del segno e conseguenze. Successioni monotone e strettamente monotone e limiti di successioni monotone; numero "e". Le proprieta' delle successioni riguardanti il limite dipendono solo dal comportamento della successione definitivamente. Qualche ulteriore precisazione sui limiti di una successione. Limite della radice ennesima di un numero positivo. Introduzione al concetto di sommatoria: definizione, semplici esempi, e semplici proprieta'.

21 novembre 2006, 2 ore. Argomento: Proprieta' delle sommatorie. Esempi di sommatorie, in particolare somma dei primi n numeri interi positivi e somma di una progressione geometrica. Teorema del binomio. Serie: Definizioni ed esempi. Serie geometrica. Serie a termini non negativi.

24 novembre 2006, 2 ore. Argomento: Linearita' della somma di una serie. Effetto del cambiamento dei primi termini su una serie. Relazione tra convergenza di una serie e convergenza a $0$ del termine generale della serie. Serie armonica e serie armoniche generalizzate. Criteri del confronto e del confronto asintotico. Cenno al criterio del rapporto. Esempi.

28 novembre 2006, 2 ore. Argomento: Criterio del rapporto e applicazioni. Cenno a somme e serie telescopiche. Soluzione dei sistemi di equazioni di primo grado col metodo di eliminazione di Gauss. Sistemi di due equazioni in due incognite e rette parallele. Brevi cenni sulle coniche. Grafico della funzione parte intera e della funzione logaritmo.

6 dicembre 2006, 2 ore. Domini di funzioni. Limiti di funzioni: definizione per x tendente a +infinito e a -infinito, e (non completo) per x tendente a un numero reale. Proprieta' algebriche dei limiti di funzioni. Definizione di funzione continua.

11 dicembre 2006, 1 ora. Completamento della definizione di limite di funzioni (in tutti i casi). Continuita' dei polinomi. Esempi di limiti di polinomi a +infinito e a -infinito. Unicita' del limite di funzione. Continuita' della somma, differenza, prodotto e quoziente di funzioni continue. Proprieta' dei limiti di funzioni analoghe a quelle per limiti di successioni (ad esempio di confronto).

12 dicembre 2006, 2 ore. Argomento: Continuita' di funzioni abituali (esponenziali, potenze, logaritmi, seno e coseno). Dipendenza di limiti e continuita' solo dai valori vicini al punto in cui si fa il limite. Limite destro e sinistro. Funzioni composte e continuita' della composta di funzioni continue. Cenno a un limite notevole. Teorema ponte e applicazioni. Una precisazione sulla definizione di continuita'.

13 dicembre 2006, 2 ore. Argomento: Limiti notevoli di funzioni. Teoremi fondamentali sulle funzioni continue: teoremi della permanenza del segno, degli zeri, dei valori intermedi e di Weierstrass. Applicazione all'esistenza di soluzioni di equazioni di grado dispari.

15 dicembre 2006, 2 ore. Argomento: Precisazione sul teorema ponte. Confronto tra limiti di funzioni e teorema della permanenza del segno per limiti di funzioni. Funzioni monotone su intervalli e loro massimi, minimi, estremi superiori ed inferiori. Funzioni inverse di funzioni continue strettamente monotone, e loro monotonia e continuita'. Logaritmo ed arcotangente. Proprieta' del logaritmo. Cambio di variabile nei limiti e applicazioni.

20 dicembre 2006, 2 ore. Argomento: Definizione di derivata e sua interpretazione meccanica e geometrica. Notazioni sulla derivata e scrittura in diverse forme del limite definente la derivata. Relazione tra derivabilita' e continuita'. Derivate di quasi tutte le principali funzioni. Regole di derivazione della somma, della differenza, del prodotto, del quoziente, della composizione di funzioni. Esempi di applicazioni di tali regole.

22 dicembre 2006, 2 ore. Argomento: Ancora regola di derivazione della funzione composta e applicazioni. Regola di derivazione della funzione inversa e applicazioni. Derivata in punti di massimo e di minimo di funzioni. Estremi relativi e derivata in punti di estremo relativo. Monotonia di funzioni e relazione col segno del rapporto incrementale. Relazione tra monotonia di una funzione e segno della sua derivata. Teorema di Rolle, teorema di Lagrange con sua interpretazione meccanica. Dipendenza di limiti e continuita' e della derivata solo dai valori vicini al punto in cui si fa il limite, o la derivata .

8 gennaio 2007, 3 ore. Argomento: Richiami sul teorema di Lagrange e sue conseguenze, in particolare relazione tra monotonia di una funzione e segno della sua derivata e relazione tra costanza di una funzione e annullamento della sua derivata. Applicazioni allo studio del grafico di una funzione. Derivate successive. Interpretazione della derivata seconda come accelerazione. Definizione di integrale definito per funzioni continue con sua interpretazione geometrica. Principali proprieta' dell'integrale definito. Teorema fondamentale del calcolo integrale e sua dimostrazione.

10 gennaio 2007, 2 ore (ultima lezione). Argomento: Formula fondamentale del calcolo integrale. Integrale indefinito e primitive. Integrali fondamentali. Regole di integrazione: integrale della somma di due funzioni, del prodotto di una funzione per una costante, integrazione per parti e per sostituzione. Applicazioni ad esempi specifici delle regole date. Ancora un esempio di calcolo di derivata.