Lezioni svolte nel corso di Matematica per biotecnologie A.A. 2005/06.

24 ottobre 2005, 1 ora. Argomento: Brevi richiami su insiemi e insiemi numerici (naturali, interi, razionali, reali). Proprieta' dei numeri reali, definiti assiomaticamente.

25 ottobre 2005, 2 ore. Argomento: Proprieta' dei numeri reali. Massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore di insiemi di numeri reali. Grafici di funzioni, e in particolare grafici delle funzioni della forma ax+b e delle potenze di x di esponente 2 e 3.

28 ottobre 2005, 3 ore. Argomento: Grafici di funzioni potenza (con esponente di vario tipo). Grafico della funzione modulo e piu' generlamente di funzioni definite a tratti. Grafico di f(x)+c e di f(x+c), in base al grafico di f, applicazione al grafico di funzione tipo polinomio di secondo grado con coefficiente direttivo 1, interpretazione geometrica di collegate disequazioni di secondo grado. Relazione tra massimo ed estremo superiore e tra minimo ed estremo inferiore. Potenze ad esponente reale, anche non razionale e richiami sulle potenze in genere. Problema della definizione della radice ennesima. Proprieta' della funzione modulo.

4 novembre 2005, 2 ore. Argomento: Ancora un cenno alle proprieta' del modulo. Principio di induzione, principio del buon ordinamento e argomenti collegati. Densita' dei razionali e non densita' degli interi. Definizione della funzione parte intera. Grafici delle funzioni esponenziali, delle funzioni seno, coseno e tangente. Definizione di logaritmo. Grafico di af(x) e di f(ax), |f(x)|, f(|x|), noto quello di f. Geometria analitica nel piano: Equazione della retta che passa per due punti distinti, ed equazione della circonferenza di centro e raggio dati.

8 novembre 2005, 2 ore. Argomento: Definizione di successione. Definizione di limite (finito o infinito) di una successione. Unicita' del limite. Successioni convergenti, divergenti e indeterminate. Qualche esempio. Algebra dei limiti per successioni convergenti. circonferenza di centro e raggio dati.

11 novembre 2005, 2 ore. Argomento: Algebra dei limiti anche per successioni non convergenti. Forme indeterminate. Teoremi di confronto. Successioni limitate (anche inferiormente o superiormente limitate). Esempi di limite come applicazione dei risultati dati. Limiti notevoli (in particolare successioni tipo potenza ed esponenziale). circonferenza di centro e raggio dati.

15 novembre 2005, 2 ore. Argomento: Alcune spiegazioni (e anche dimostrazioni) sulle proprieta' dei limiti. Limiti notevoli e confronto tra infiniti, fattoriale. Teorema della permanenza del segno e conseguenze. Successioni monotone e strettamente monotone e limiti di successioni monotone; numero "e". Considerazioni sui primi termini di una successione.

18 novembre 2005, 1 ora. Argomento: Ultime precisazioni sui limiti di successioni (ad esempio il fatto che le proprieta' delle successioni riguardanti il limite dipendono solo dal comportamento della successione definitivamente). Limite della radice ennesima di un numero positivo. Introduzione al concetto di sommatoria: definizione ed esempi.

21 novembre 2005, 1 ora. Argomento: Esempi di sommatorie, in particolare somma dei primi n numeri interi positivi e somma di una progressione geometrica. Teorema del binomio. Serie: Definizioni ed esempi.

22 novembre 2005, 2 ore. Argomento: Serie geometrica e serie armonica. Linearita' della somma di una serie. Effetto del cambiamento dei primi termini su una serie. Serie a termini non negativi. Relazione tra convergenza di una serie e convergenza a $0$ del termine generale della serie. Criteri del confronto e del confronto asintotico.

25 novembre 2005, 1 ora. Argomento: Ancora criterio del confronto asintotico. Criterio del rapporto. Serie armoniche generalizzate. Esempi. della serie. Criteri del confronto e del confronto asintotico.

28 novembre 2005, 1 ora. Argomento: Riassunto generale sulle serie. Cenno a somme e serie telescopiche. Soluzione dei sistemi di equazioni di primo grado col metodo di eliminazione di Gauss. Sistemi di due equazioni in due incognite e rette parallele.

29 novembre 2005, 2 ore. Argomento: Brevi cenni sulle coniche. Qualche grafico di funzione, in particolare grafico della funzione tangente, della funzione parte intera e della funzione logaritmo. Domini di funzioni. Limiti di funzioni: definizione per x tendente a +infinito e a -infinito, e cenno per x tendente a un numero reale. Proprieta' algenriche dei limiti di funzioni.

5 dicembre 2005, 1 ora. Argomento: Completamento della definizione di limite di funzioni (in tutti i casi). Definizione di funzione continua. Continuita' dei polinomi. Esempi di limiti di polinomi a +infinito e a -infinito.

6 dicembre 2005, 2 ore. Argomento: Proprieta' dei limiti di funzioni analoghe a quelle per limiti di successioni (ad esempio di confronto). Continuita' di funzioni abituali (esponenziali, potenze, logaritmi, seno e coseno). Dipendenza di limiti e continuita' solo dai valori vicini al punto in cui si fa il limite. Limite destro e sinistro. Funzioni composte e continuita' della composta di funzioni continue. Verifica della continuita' del seno in 0.

7 dicembre 2005, 2 ore. Argomento: Molti limiti notevoli. Teorema ponte e applicazioni. Cenno al cambio di variabile nei limiti. Teorema dell'esistenza degli zeri per funzioni continue.

12 dicembre 2005, 1 ora. Argomento: Teoremi fondamentali sulle funzioni continue. Cambio di variabile nei limiti ed esempi.

13 dicembre 2005, 2 ore. Argomento: Altre applicazioni del cambio di variabile nei limiti. Confronto tra lmiti di funzioni e teorema della permanenza del segno per limiti di funzioni. Funzioni monotone su intervalli e loro massimi, minimi, estremi superiori ed inferiori. Funzioni inverse di funzioni strettamente monotone, e loro monotonia e continuita'. Logaritmo ed arcotangente. Proprieta' del logaritmo.

16 dicembre 2005, 2 ore. Argomento: Definizione di derivata e sua interpretazione meccanica e geometrica. Notazioni sulla derivata e scrittura in diverse forme del limite definente la derivata. Relazione tra derivabilita' e continuita'. Derivate delle principali funzioni. Regole di derivazione della somma, della differenza, del prodotto, del quoziente, della composizione di funzioni. Esempi di applicazioni di tali regole.

9 gennaio 2006, 1 ora. Argomento: Ancora spiegazioni su relazione tra derivabilita' e continuita' e su regola di derivazione della composizione di funzioni. Derivata della funzione inversa. Applicazioni. Richiami sulle derivate delle funzioni elementari. Derivata in punti di massimo e di minimo di funzioni.

10 gennaio 2006, 2 ore. Argomento: Derivata in punti di massimo e di minimo di funzioni. Estremi relativi e derivata in punti di estremo relativo. Monotonia di funzioni e relazione col segno del rapporto incrementale. Relazione tra monotonia di una funzione e segno della sua derivata. Teorema di Rolle, teorema di Lagrange con sua interpretazione meccanica. Relazione tra costanza di una funzione e annullamento della sua derivata. Applicazioni allo studio del grafico di una funzione.

12 gennaio 2006, 2 ore. Argomento: Derivate successive. Interpretazione della derivata seconda come accelerazione. Definizione di integrale definito per funzioni continue con sua interpretazione geometrica. Principali proprieta' dell'integrale definito. Teorema fondamentale del calcolo integrale e un'applicazione.

16 gennaio 2006, 2 ore. Argomento: Dimostrazione del teorema fondamntale del calcolo integrale. Formula fondamentale del calcolo integrale. Integrale indefinito. Integrali fondamentali. Regole di integrazione: integrale della somma di due funzioni, del prodotto di una funzione per una costante, integrazione per parti e per sostituzione. Applicazioni ad esempi specifici delle regole date.

17 gennaio 2006, 1 ora. Argomento: Precisazioni sul concetto di integrale. Precisazioni e cenni su altri argomenti. Esempi.