Lezioni corso di Analsi Reale e Complessa Matematica 2024/25
01/10/2024, 2 ore. Argomento: Funzioni periodiche. L'insieme dei periodi costistuisce un sottogruppo del gruppo additivo dei numeri reali. Una funzione continua periodica non costante ha un minimo periodo positivo. L'integrale di una funzione periodica su un intervallo lungo quanto il periodo non dipende dall'intervallo stesso. Prolungamento periodico di una funzione. Cenno alle serie di Fourier.
02/10/2024, 2 ore. Argomento: Serie di Fourier e coefficienti di Fourier. Disuguaglianza di Bessel. Interpretazione delle funzioni seno di kx e coseno di kx come elementi ortogonali rispetto a un opportuno prodotto scalare, e interpretazione in tal senso della disuguaglianza di Bessel. Funzioni continue a tratti e regolari a tratti. Enunciato e appena inizio della dimostrazione del teorema di convergenza puntuale per le serie di Fourier.
03/10/2024, 2 ore. Argomento: Teorema della convergenza puntuale delle serie di Fourier per funzioni regolari a tratti. Teorema della convergenza uniforme della serie di Fourier per funzioni continue e C^1 a tratti. Teorema di convergenza uniforme di una serie di Fouruer negli intervalli chiusi di continuità per funzioni C^1 a tratti (senza dimostrazione). Serie di Fourier di funzioni pari (soli coseni) e di funzioni dispari (soli seni). Spezzamento di una serie di Fourier nella somma della serie dei termini coi seni e di quella coi termini dei coseni.
08/10/2024, 2 ore. Argomento: Richiami sui precedenti teoremi sulle serie di Fourier, in particolare quando la diseguaglianza di Bessel diventa un'uguaglianza. Integrazione termine a termine delle serie di Fourier. Richiami di teoria della misura di Lebesgue, in particolare insiemi misurabili e misura di un insieme. Insieme di Vitali.
09/10/2024, 2 ore. Argomento: Richiami di teoria della misura di Lebesgue, in particolare insiemi misurabili, misura di un insieme, insieme di Cantor e sue proprietà.
10/10/2024, 2 ore. Argomento: Cardinalità di un insieme e insiemi numerabili. Teorema di Cantor-Bernstein con cenno di dimostrazione. Dimostrazione che l'insieme degli insiemi Lebesgue-misurabili ha la cardinalità delle parti del continuo. Richiami di teoria della misura di Lebesgue, in particolare funzioni misurabili, misurabilità della somma e del prodotto di funzioni misurabili anche quando le funzioni sono a valori reali estesi, esempi di funzioni misurabili.
11/10/2024, 2 ore. Argomento: Richiami di teoria della misura, in particolare funzioni misurabli, e soprattutto dell'integrazione di Lebesgue, confronto con integrale di Riemann. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale.
17/10/2024, 2 ore. Argomento: Invarianza per traslazione e per rotazione della misura di Lebesgue. Misura del prodotto e misura di un insieme sul prodotto di due spazi euclidei (idea di dimostrazione dei risultati). Teoremi di Tonelli e di Fubini con idea di dimostrazione. Applicazione ai sottografici e grafici di funzioni e loro misurabilità, e il fatto che il grafico di una funzione misurabile ha misura nulla. Spazi L^p con p maggiore o uguale a 1 e minore di +infinito. Norma in L^p. Dimostrazione che L^p è uno spazio vettoriale normato.
18/10/2024, 2 ore. Argomento: Dimostrazione che L^p è completo. Disuguaglianza di Holder; alcune inclusioni tra spazi L^p. Spazio L^{infinito} e relativa norma: definizione, semplici proprietà e dimostrazione che L^{infinito} è uno spazio normato completo.
24/10/2024, 2 ore. Argomento: Cenno alla teoria generale della misura. Prodotti scalari su spazi vettoriali reali e complessi. Norma legata al prodotto scalare. Disuguaglianza di Cauchy-Schwwarz, disuguaglianza triangolare, relazione del parallelogramma e altre semplici propietà del prodotto scalare (svolte in spazi vettoriali sui reali). Definizione di spazi pre-hilbertiani e di Hilbert. Esempi, in particolare R^n (e C^n), L^2, l_2(A) ove A è un insieme (inizio).
25/10/2024, 2 ore. Argomento: l_2(A) ove A è un insieme (fine). Teorema della proiezione su un chiuso convesso non vuoto in spazi di Hilbert. Proiezione su un sottospazio vettoriale chiuso. Ortogonale di un insieme.
30/10/2024, 2 ore. Argomento: Sottospazi chiusi e proiezione ortogonale. Esempi e semplici proprietà al riguardo. Insiemi ortonormali. Insiemi ortonormali completi: definizione e condizioni equivalenti. Esempi, in particolare seni e coseni rinormalizzati in L^2(-pi greco, pi greco).
31/10/2024, 2 ore. Argomento: Condizioni equivalenti perché un insieme ortonormale sia completo. Esistenza di insiemi oronormali completi in spazi di Hilbert. Proprietà degli insiemi ortonormali numerabili. Condizioni equivalenti perché un insieme orotonormale numerabile sia completo. Proprietà degli spazi di Hilbert (tipo isomorfimo con R^N e con l_2, separabilità, locale compattezza) in base alla cardinalità di un insieme ortonormale completo (da finire).
06/11/2024, 2 ore. Argomento: Proprietà degli spazi di Hilbert (tipo isomorfimo con R^N e con l_2, separabilità, locale compattezza) in base alla cardinalità di un insieme ortonormale completo (precisato meglio). Dimostrazione che l'insieme delle funzioni 1, cos(kx), sin(kx), rinormalizzate formano un insieme ortonormale completo in L^2(-pi greco, pi greco). Cenno su spazi di Hilbert complessi e serie di Fourier complesse.
Esercitazioni e tutorati04/10/2024, 2 ore. Argomento: Esempi di serie di Fourier, applicazioni delle serie di Fourier al problema degli isoperimetri (cenno).
15/10/2024, 2 ore. Argomento: Applicazioni delle serie di Fourier al problema degli isoperimetri (fine). Richiami ed esercizi di teoria della misura. Confronto tra integrale di Lebesgue e integrale improprio. Massimo e minimo limite di insiemi e relazione con la loro misura.
16/10/2024, 2 ore. Argomento: Esercizi di teoria della misura. Esercizi sul passaggio al limite sotto integrale.
22/10/2024, 2 ore. Argomento: Esercizi di teoria della misura, sulle funzioni misurabili e sugli integrali, e in particolare, esercizi sul passaggio al limite sotto integrale.
29/10/2024, 2 ore. Argomento: Applicazione del teorema della convergenza dominata alla continuità e derivata di una funzione integrale, con richiami sul teorema ponte. Richiami su spazi secondo numerabili, separabili e di Lindelof. Esercizi di teoria della misura e sugli spazi L^p.
05/11/2024, 2 ore. Argomento: Esercizi su teoria della misura e su integrale di Lebesgue. Esercizi sugli spazi L^p.
07/11/2024, 2 ore. Argomento: Esercizi sugli spazi L^p, e sugli spazi di Hilbert (e di Banach).
08/11/2024, 2 ore. Argomento: Esercizi sugli spazi L^p, sugli spazi di Hilbert e di teoria della misura. Considerazioni sul teorema di Ascoli-Arzelà.