Lezioni corso di Analsi Reale e Complessa Matematica 2023/24
02/10/2023, 2 ore. Argomento: Funzioni periodiche. L'insieme dei periodi costistuisce un sottogruppo del gruppo additivo dei numeri reali. Una funzione continua periodica non costante ha un minimo periodo positivo. L'integrale di una funzione periodica su un intervallo lungo quanto il periodo non dipende dall'intervallo stesso. Prolungamento periodico di una funzione.
03/10/2023, 2 ore. Argomento: Serie di Fourier e coefficienti di Fourier. Disuguaglianza di Bessel Interpretazione delle funzioni seno di kx e coseno di kx come elementi ortogonali rispetto a un opporetuno prodotto scalare, e interpertazione in tal senso della disuguaglianza di Bessel. Funzioni continue a tratti e regolari a tratti.
04/10/2023, 2 ore. Argomento: Funzioni regolari a tratti. Commenti sulla lezione precedente. Teorema della convergenza puntuale delle serie di Fourier per funzioni regolari a tratti. Teorema della convergenza uniforme della serie di Fourier per funzioni continue e C^1 a tratti. Teorema di convergenza uniforme di una serie di Fouruer negli intervalli chiusi di continuità per funzioni C^1 a tratti (senza dimostrazione). Serie di Fourier di funzioni pari (soli coseni) e di funzioni dispari (soli seni).
09/10/2023, 2 ore. Argomento: Richiami sui precedenti teoremi sulle serie di Fourier. Spezzamento di una serie di Fourier nella somma della serie dei termini coi seni e di quella coi termini dei coseni. Integrazione termine a termine delle serie di Fourier. Richiami di teoria della misura di Lebesgue, in particolare insiemi misurabili e misura di un insieme. Insieme di Vitali.
10/10/2023, 2 ore. Argomento: Richiami di teoria della misura di Lebesgue, in particolare insiemi misurabili, misura di un insieme, insieme di Cantor e sue proprietà. Teorema di Cantor-Bernstein con cenno di dimostrazione.
11/10/2023, 2 ore. Argomento: Cardinalità di un insieme e insiemi numerabili. Teorema di Cantor-Bernstein con cenno di dimostrazione. Dimostrazione che l'insieme degli insiemi Lebesgue-misurabili ha la cardinalità delle parti del continuo. Richiami di teoria della misura di Lebesgue, in particolare funzioni misurabili, misuarbilità della somma e del prodotto di funzioni misurabili anche quando le funzioni sono a valori reali estesi, esempi di funzioni misurabili.
13/10/2023, 2 ore. Argomento: Richiami di teoria della misura, in particolare funzioni misurabli, e soprattutto dell'integrazione di Lebesgue, confronto con integrale di Riemann.
18/10/2023, 2 ore. Argomento: Cenno alla teoria generale della misura. Definizione di misura, di sigma-algebra, di sigma-algebra dei boreliani, esempi di misure (cenno). Spazi L^p con p maggiore o uguale a 1 e minore di +infinito. Norma in L^p. Definizione e dimostrazione che L^p è uno spazio normato completo.
23/10/2023, 2 ore. Argomento: Disuguaglianza di Holder; inclusioni tra spazi L^p e osservazioni collegate. Spazio L^{infinito} e relativa norma: definizione, semplici proprietà e dimostrazione che L^{infinito} è uno spazio normato completo (dimsotrazione non finita).
24/10/2023, 2 ore. Argomento: Fine della dimostrazione che L^{infinito} è completo. Prodotti scalari su spazi vettoriali reali e complessi. Norma legata al prodotto scalare. Disuguaglianza di Cauchy-Schwwarz, disuguaglianza triangolare, relazione del parallelogramma e altre semplici propietà del prodotto scalare (svolte prevalentemente in spazi vettoriali sui reali). Definizione di spazi pre-hilbertiani e di Hilbert. Esempi, in particolare R^n (e C^n), L^2, l_2(A) ove A è un insieme con prova che l_2(A) è prehilbertiano.
25/10/2023, 2 ore. Argomento: l_2(A) ove A è un insieme (fine). Semplici proprietà di spazi pre-hilbertiani. Teorema della proiezione su un chiuso convesso non vuoto in spazi di Hilbert. Proiezione su un sottospazio vettoriale chiuso e questioni collegate.
30/10/2023, 2 ore. Argomento: Ortogonale di un insieme. Sottospazi chiusi e proiezione ortogoonale. Esempi e semplici proprietà al riguardo. Insiemi ortonormali.
31/10/2023, 2 ore. Argomento: Insiemi ortonormali completi: definizione e condizioni equivalenti. Esempi, in particolare seni e coseni rinormalizzati in L^2(-pi greco, pi greco). Esistenza di insiemi oronormali completi in spazi di Hilbert. Proprietà degli inisemi ortonormali numerabili. Condizioni equivalenti perché un insiieme orotonormale numerabile sia completo. Proprietà degli spazi di Hilbert (tipo isomorfimo con R^n, locale compattezza) in base alla cardinalità finita di un insieme ortonormale completo.
06/11/2023, 2 ore. Argomento: Richiami e precisazioni su proprietà degli spazi di Hilbert che usano insiemi ortonormali. Spazi di Hilbert separabili e relazione con insieme ortonormale completo finito o numerabile. Dimostrazione che l'insieme delle funzioni 1, cos(kx), sin(kx), rinormalizzate formano un insieme ortonormale completo in L^2(-pi greco, pi greco).
Esercitazioni e tutorati06/10/2023, 2 ore. Argomento: Funzioni periodiche, esempi di serie di Fourier, applicazioni delle serie di Fourier al problema degli isoperimetri (cenno).
16/10/2023, 2 ore. Argomento: Applicazioni delle serie di Fourier al problema degli isoperimetri (fine). Esercizi di teoria della misura. Passaggio al limite sotto il segno di integrale.
17/10/2023, 2 ore. Argomento: Richiami di teoria della misura e dell'integrale di Lebesgue, e relativi esercizi in particolare esercizi sui teoremi di passaggio al limite sotto integrale. Confronto tra integrale di Lebesgue e integrale improprio. Richiami di analisi matematica generale.
20/10/2023, 2 ore. Argomento: Massimo e minimo limite di insiemi e relazione con la loro misura. Altri esercizi su teoria della misura.
27/10/2023, 2 ore. Argomento: Richiami sul teorema della continuità della funzionre integrale e sulla derivazione sotto integrale. Esercizi su teoria della misura e sugli spazi L^p, anche con p=infinito, in particolare L^infinito non è separabile.
03/11/2023, 2 ore. Argomento: Esercizi su teoria della misura, spazi L^p e spazi di Hilbert. Negazione delle proposizioni.
07/11/2023, 2 ore. Argomento: Cenno a spazi di Hilbert complessi e serie di Fourier in campo complesso. Alcuni richiami di teoria della misura. Esercizi su spazi di Hilbert e questioni collegate.