Lezioni corso di Analsi Reale e Complessa Matematica 2022/23
03/10/2022, 2 ore. Argomento: Funzioni periodiche. L'insieme dei periodi costistuisce un sottogruppo del gruppo additivo dei numeri reali. Una funzione continua periodica non costante ha un minimo periodo positivo. L'integrale di una funzione periodica su un intervallo lungo quanto il periodo non dipende dall'intervallo stesso. Concetto di prolungamento periodico.
04/10/2022, 2 ore. Argomento: Serie di Fourier e coefficienti di Fourier. Disuguaglianza di Bessel Interpretazione delle funzioni seno di kx e coseno di kx come elementi ortogonali rispetto a un opporetuno prodotto scalare, e interpertazione in tal senso della disuguaglianza di Bessel.
05/10/2022, 2 ore. Argomento: Funzioni continue a tratti e regolari a tratti. Enunciato e dimostrazione del teorema della convergenza puntuale delle serie di Fourier per funzioni regolari a tratti. Serie di Fourier di funzioni pari (soli coseni) e di funzioni dispari (soli seni). Teorema della convergenza uniforme della serie di Fourier per funzioni continue e regolari (o meglio C^1) a tratti.
10/10/2022, 2 ore. Argomento: Teorema di convergenza uniforme di una serie di Fouruer negli intervalli chiusi di continuità per funzioni regolari (meglio C^1) a tratti (senza dimostrazione). Spezzamento di uan serie di Forier nella somma della serie dei termini coi seni e di quella coi termini dei coseni. Integrazione termine a termine delle serie di Fourier. Richiami di teoria della misura di Lebesgue, in particolare insiemi misurabili e misura di un insieme. Insieme di Vitali.
11/10/2022, 2 ore. Argomento: Richiami di teoria della misura di Lebesgue, in particolare insiemi misurabili, misura di un insieme, insieme di Cantor e sue proprietà. Teorema di Cantor-Bernstein con cenno di dimostrazione.
12/10/2022, 2 ore. Argomento: Richiami di teoria della misura di Lebesgue, in particolare funzioni misurabili, misuarbilità della somma e del prodotto di funzioni misurabili anche quando le funzioni sono a valori reali estesi, esempi di funzioni misurabili. Dimostrazione che l'insieme degli insiemi Lebesgue-misurabili ha la cardinalità delle parti del continuo.
14/10/2022, 2 ore. Argomento: Richiami di teoria della misura e soprattutto dell'integrazione di Lebesgue, in particolare confronto con integrale di Riemann (anche in senso improprio) e teoremi di passaggio al limite sotto integrale.
21/10/2022, 2 ore. Argomento: Cenno alla teoria generale della misura. Definizione di misura, di sigma-algebra, di sigma-algebra dei boreliani, esempi di misure. Spazi L^p con p maggiore o uguale a 1 e minore di +infinito. Norma in L^p. Definizione e dimostrazione che L^p è uno spazio normato completo.
24/10/2022, 2 ore. Argomento: Disuguaglianza di Holder; inclusioni tra spazi L^p e osservazioni collegate. Spazio L^{infinito} e relativa norma: definizione, semplici proprietà e dimostrazione che L^{infinito} è uno spazio normato completo.
25/10/2021, 2 ore. Argomento: Prodotti scalari su spazi vettoriali reali e complessi. Norma legata al prodotto scalare. Disuguaglianza di Cauchy-Schwwarz, disuguaglianza triangolare, relazione del parallelogramma e altre semplici propietà del prodotto scalare (svolte prevalentemente in spazi veettoriali sui reali). Definizione di spazi pre-hilbertiani e di Hilbert. Esempi, in particolare R^n (e C^n), L^2, l_2(A) ove A è un insieme con prova che l_2(A) è prehilbertiano.
28/10/2022, 2 ore. Argomento: l_2(A) ove A è un insieme (fine). Semplici proprietà di spazi pre-hilbertiani. Teorema della proiezione su un chiuso convesso non vuoto in spazi di Hilbert. Proiezione su un sottospazio vettoriale chiuso e questioni collegate.
31/10/2022, 2 ore. Argomento: Sottospazi chiusi e proiezione ortogoonale. Esempi e semplici proprietà al riguardo. Insiemi ortonormali. Insiemi ortonormali completi: definizione e condizioni equivalenti. Esempi, in particolare seni e coseni rinormalizzati in L^2(-pi greco, pi greco).
02/11/2022, 2 ore. Argomento: Esistenza di insiemi oronormali completi in spazi di Hilbert. Proprietà degli inisemi ortonormali numerabili. Condizioni equivalenti perché un inisieme orotonormale numerabile sia completo. Proprietà degli spazi di Hilbert (tipo isomorfimo con R^n, separabilità, locale compattezza) in base alla cardinalità di un insieme ortonormale completo.
07/11/2022, 2 ore. Argomento: Richiami e precisazioni su proprietà degli spazi di Hilbert che usano inisemi ortonormali. Dimostrazione che l'insieme delle funzioni 1, cos(kx), sin(kx), rinormalizzate formano un iniseme ortonormale completo in L^2(-pi greco, pi greco).
08/11/2022, 1 ora. Argomento: Spazi di Hilbert complessi e serie di Fourier complesse.
Esercitazioni e tutorati07/10/2022, 2 ore. Argomento: Funzioni periodiche, serie di Fourier, applicazioni delle serie di Fourier al problema degli isoperimetri (cenno)
17/10/2022, 2 ore. Argomento: Applicazioni delle serie di Fourier al problema degli isoperimetri (fine). Precisazioni sulle serie di Fourier. Esercizi di teoria della misura. Passaggio al limite sotto il segno di integrale.
18/10/2022, 2 ore. Argomento: Esercizi di teoria della misura e dell'integrale di Lebesgue, in particolare esercizi sui teoremi di passaggio al limite sotto integrale.
26/10/2022, 2 ore. Argomento: Richiami su continuità e derivata di funzioni integrali. Esercizi di teoria della misura. Esercizi su spazi L^p.
04/11/2022, 2 ore. Argomento: Esercizi su spazi L^p e su spazi di Hilbert.
08/11/2022, 1 ora. Argomento: Esercizi su spazi di Hilbert.
09/11/2022, 2 ore. Argomento: Esercizi su spazi di Hilbert e su teoria della misura. Esercizi di logica (negazione di proposizioni).
11/11/2022, 2 ore. Argomento: Esercizi di ricapitolazione: spazi di Hilbert, teoria della misura, spazi L^p.