Lezioni corso di Analsi Reale e Complessa Matematica 2020/21
28/09/2020, 2 ore. Argomento: Richiami sulla misura di Peano-Jordan. Motivazioni per introdurre la misura di Lebesgue e cenno ad essa. Insieme di Vitali. Cardinalità di insiemi (inizio ossia definizione di insiemi equipotenti e "più grandi" di altri e prime proprietà)
29/09/2020, 2 ore. Argomento: Cardinalità di insiemi. Insiemi numerabili e proprietà relative, in particolare quelle collegate al fatto che il numerabile è la più piccola cardinalità infinita, teorema di Cantor-Bernstein. Cardinalità dell'insieme delle parti di un insieme. Cardinalità del continuo. Insiemi con la cardinalità del continuo.
30/09/2020, 2 ore. Argomento: Definizione di misura esterna di Lebesgue. Prime proprietà, in particolare: subadditività numerabile, gli insiemi finiti o numerabili hanno misura esterna nulla. Misura esterna di rettangoli chiusi. Insieme di Cantor; definizione. L'insieme di Cantor ha misura nulla ma ha la cardinalità del continuo. Definizione di insieme misurabile (secondo Lebesgue). Gli aperti e gli insiemi aventi misura esterna nulla sono misurabili.
02/10/2020, 2 ore. Argomento: Insiemi misurabili. Unione numerabile, intersezione numerabile, complemento e differenza di insiemi misurabili sono misurabili. In particolare i chiusi sono misurabili. Funzione distanza tra un punto e un insieme non vuoto, sue proprietà. La misura esterna dell'unione di due insiemi aventi distanza positiva è uguale alla somma delle misure esterne dei due insiemi. Sigma-algebre di insiemi. Sigma-algebra degli insiemi Lebesgue misurabili e Sigma-algebra dei boreliani. Un insieme è misurabile se e solo se può essere approssimato da "dentro" con chiusi.
05/10/2020, 2 ore. Argomento: La misura dell'unione numerabile di insiemi misurabili disgiunti (o anche quasi disgiunti) è uguale alla serie delle misure dei singoli insiemi. Misura dei rettangoli (prodotti di intervalli aperti chiusi o semiaperti, limitati o illimitati). Convenzione 0xinfinito=0. Misura dell'unione crescente di una successione di insiemi misurabili e dell'intersezione decrescente di una successione di insiemi misurabili. Caratterizzazione degli insiemi Lebesgue misurabili come G-delta meno un insieme di misura nulla e come F-sigma unito un insieme di misura nulla. L'insieme di Vitali non è misurabile.
09/10/2020, 2 ore. Argomento: Invarianza per traslazione della misura (e della misura esterna) di Lebesgue. Funzioni misurabili. Definizioni e prime proprietà (soprattutto condizioni equivalenti). Concetto di uguaglianza quasi ovunuqe e relazione con la misurabilità di funzioni. Ogni aperto di R è unione finita o numerabile di intervalli aperti disgiunti. Funzioni caratteristiche misurabili.
12/10/2020, 2 ore. Argomento: Funzioni misurabili. Somma, prodotto, combinazioni lineari, estremo superiore e inferiore, limsup e liminf di successioni di funzioni misurabili sono misurabili. In particolare massimo e minimo di due funzioni misurabili sono misurabili. Composizione di una continua e di una misurabile è misurabile. Funzioni semplici e semplici misurabili. Relazione tra misurabilità di una funzione definita su un insieme misurabile e della sua estensione a zero su tutto lo spazio. Esempi di funzioni misurabili (in particolare definite "a pezzi").
14/10/2020, 2 ore. Argomento: Ogni funzione è limite di funzioni semplici (che sono misurabili se lo è la funzione); inoltre il limite è crescente se la funzione è non negativa e uniforme se è limitata. Definizione di integrale di una funzione misurabile non negativa. Cubi diadici e realtive proprietà. Ogni aperto è unione numerabile (o finita) di cubi diadici disgiunti.
16/10/2020, 2 ore. Argomento: Fine della dimostrazione che ogni aperto è unione numerabile (o finita) di cubi diadici disgiunti. Il sottografico e il grafico di funaioni misurabili non negative sono insiemi misurabili. Le funzioni misurabili non negative sono integrabili. Integrale di funzioni semplici misurabili.
19/10/2020, 2 ore. Argomento: Proprietà dell'integrale di Lebesgue di funzioni misurabili non negative. Teorema di Beppo Levi e considerazioni collegate. Integrale di una funzione misurabile non negativa come estremo superiore di integrali di funzioni semplici minoranti. Definizione di integrale di una funzione di segno variabile. Funzioni integrabili e sommabili. Relaizone tra sommabilità di una funzione misurabile e del suo modulo.
21/10/2020, 2 ore. Argomento: Proprietà dell'integrale di Lebesgue di funzioni misurabili di segno arbitrario; in particolare linearità dell'integrale. Teoremi di passaggio al limite sotto segno di integrale (teorema di Beppo Levi, Lemma di Fatou, teorema della convergenza dominata) nella loro forma generale.
26/10/2020, 2 ore. Argomento: Richiami e precisazioni sui teoremi di passaggio al limite sotto segno di integrale. Confronto tra integrale di Riemman e integrale di Lebesgue, e tra integrale improprio e integrale di Lebesgue. Teorema di Fubini (enunciato e prima parte della dimostrazione).
28/10/2020, 2 ore. Argomento: Teoremi di Fubini e Tonelli con precisazioni ed esempi.
Esercitazioni e tutorati07/10/2020, 2 ore. Argomento: Somma di infiniti numeri (in particolare non negativi). Somma su due indici equivale alla somma su indici ripetuti). Insiemi misurabili e boreliani. Esempi di insiemi misurabili e di misura di insiemi. In particolare l'insieme dei punti ove un'arbitraria funzione è continua è un boreliano quindi misurabile.
13/10/2020, 2 ore. Argomento: Insiemi misurabili e misura di inisemi. Cardinalità di insiemi. Sistemi di numerazione e scrittura dell'insieme di Cantor in base alla numerazione ternaria.
20/10/2020, 2 ore. Argomento: Insiemi misurabili e misure di insiemi. Differenza simmetrica e massimo e minimo limite di insiemi e misure di insiemi collegati. Esempi di funzioni misurabili (ad esempio la derivata di una funzione derivabile è misurabile). La somma di funzioni misurabili è misurabile anche se non definita ovunque.
23/10/2020, 2 ore. Argomento: Operazioni su funzioni misurabili definite a valori nei numeri reali estesi, in particolare prodotto e reciproco di misurabili sono misurabili. Funzione di Cantor (che manda l'insieme di Cantor che ha misura nulla su tutto l'intervallo [0,1]); l'immagine di un insieme di misura nulla mediante una funzione Lipschitziana ha misura nulla. Insiemi boreliani, uso dei teoremi di passaggio al limite sotto segno di integrale, esercizi ove si usa l'invarianza per traslazione della misura di Lebesgue.
30/10/2020, 2 ore. Argomento: Insiemi misurabili e boreliani e misura di insiemi. Funzioni continue uguali quasi ovunque. Funzioni sommabili (in particolare le funzioni misurabili limitate a supporto compatto sono sommabili). Uso dell'invarianza per traslazione della misura di Lebesgue. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale.
03/11/2020, 2 ore. Argomento: Una funzione continua può mandare inisemi misurabili in insiemi non misurabili. Misura di insiemi, boreliani, integrali di funzioni. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale.
17/11/2020, 2 ore. Argomento: Funzioni integrabili e sommabili. Proprietà delle funzioni sommabili e delle funzioni misurabili. Questioni di logica. Una funzione sommabile secondo Lebesgue e limitata su un intervallo che non coincide quasi ovunque con funzioni integrabili secondo Riemann. Inisemi boreliani e misura di insiemi. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale.