Lezioni Corso di Analisi Matematica 4 per Matematica
06/03/2018, 2 ore. Argomento: Richiami su convergenza puntuale e uniforme di successioni e serie di funzioni. Esempi e significato per successioni di funzioni. Criterio di Cauchy uniforme. Relazione tra converegenza puntuale e uniforme di successioni, e continuità, integrale e derivata.
07/03/2018, 2 ore. Argomento: Ancora convergenza puntuale e uniforme di successioni di funzioni. Alcune osservazioni. Serie uniformemente convergente di funzioni continue è continua. Serie di funzioni e integrazione e derivazione di serie di funzioni. Criterio di Cauchy uniforme per serie di funzioni. Condizione necessaria perché una serie di funzioni converga uniformemente (il termine generale tende a 0 uniformemente). Condizione sufficiente data dalla convergenza totale. Esempi.
08/03/2018, 2 ore. Argomento: Esempio di convergenza uniforme ma non totale di serie di funzioni non negative. Serie di potenze: definizione, raggio di convergenza e calcolo di questo con la formula del reciproco del limsup di radice ennesima di modulo di a_n. Convergenza semplice dentro il "cerchio di convergenza" e totale, quindi uniforme, in ogni suo sottointervallo chiuso. Le serie di potenze si possono derivare termine a termine nel cerchio di convergenza. Esempi.
14/03/2018, 2 ore. Argomento: Esempi di applicazione dei teoremi su relazione tra convergenza di successioni e serie di funzioni e derivata e integrale. Esempi di applicazione della derivazione delle serie di potenze. Integrazione delle serie di potenze. Serie di Taylor. Verifica che alcune delle funzioni abituali (esponenziale, seno e coseno) sono sviluppabili in serie di Taylor. Uso della serie di Taylor per provare il teorema del binomio. Serie di Taylor di (1+x)^a, a non naturale, e problemi nel verificare che questa coincide con la funzione data. Esempio di funzione con serie di Taylor convergente (in realtà convergente a 0), ma con la funzione diversa dalla sua serie di Taylor (da finire). Ogni serie di potenze è in realtà una serie di Taylor. Esempi di calcolo di serie di Taylor.
20/03/2018, 2 ore. Argomento: Esempio di funzione con serie di Taylor convergente (in realtà convergente a 0), ma con la funzione diversa dalla sua serie di Taylor (fine). Funzioni analitiche. Serie di Taylor di logaritmo e arcotangente, e applicazione al calcolo del logaritmo di un numero positivo e di pi greco. Teorema di Abel sulla convergenza uniforme di serie di potenze. Funzioni periodiche. L'insieme dei periodi costistuisce un sottogruppo del gruppo additivo dei numeri reali. Una funzione continua periodica non costante ha un minimo periodo positivo (enunciato).
21/03/2018, 2 ore. Argomento: Una funzione continua periodica non costante ha un minimo periodo positivo (dimostrazione). L'integrale di una funzione periodica su un intervallo lungo quanto il periodo non dipende dall'intervallo stesso. Concetto di prolungamento periodico. Serie di Fourier e coefficienti di Fourier. Disuguaglianza di Bessel (enunciato). Interpretazione delle funzioni seno di kx e coseno di kx come elementi ortogonali rispetto a un opporetuno prodotto scalare, e interpertazione in tal senso della disuguaglianza di Bessel (da finire). Prova che il prodotto di funzioni integrabili secondo Riemann e' integrabile secondo Riemann.
22/03/2018, 2 ore. Argomento: Interpretazione delle funzioni seno di kx e coseno di kx come elementi ortogonali rispetto a un opporetuno prodotto scalare, e interpertazione in tal senso della disuguaglianza di Bessel (fine). Dimostrazione della disuguaglianza di Bessel. Funzioni continue a tratti e regolari a tratti. Enunciato e dimostrazione del teorema della convergenza puntuale delle serie di Fourier per funzioni regolari a tratti. Serie di Fourier di funzioni pari (soli coseni) e di funzioni dispari (soli seni).
27/03/2018, 2 ore. Argomento: Serie di Fourier del prolungamento periodico di di x e del prolungamento periodico di di x^2; applicazioni al calcolo della somma di serie notevoli. Integrazione per parti di funzioni regolari a tratti. Teorema della convergenza uniforme della serie di Fourier per funzioni continue e regolari a tratti, e (senza dimostrazione) di convergenza uniforme negli intervalli chiusi di continuità per funzioni regolari a tratti. Uguaglianza di Parseval come conseguenza di tali teoremi per funzioni continue e regolari a tratti. Le serie di Fourier si possono integrare termine a termine per funzioni continue a tratti. Cenno a interpretazione complessa delle serie di Fourier.
28/03/2018, 2 ore. Argomento: Cenno a interpretazione complessa delle serie di Fourier. Equazioni differenziali, equazioni differenziali del primo ordine in forma normale, sistemi differenziali del primo ordine in forma normale. Problema di Cauchy per equazioni differenziali e per sistemi differenziali, relativi teoremi (per ora solo enunciati) di esistenza locale se la funzione è continua e di esistenza e unicità locale se la funzione ha ulteriori proprietà (tipo: ha anche derivate rispetto a y continue); tutto questo per equazioni o sistemi del primo ordine in forma normale. Dimostrazione che nel caso di esistenza e unicità, l'unicità e' globale. Scrittura equivalente del problema di Cauchy in forma intergrale. Equazioni a variabili separabili, con un esempio che mostra che l'esistenza della soluzione del problema di Cauchy in genere puo' non essere globale. Un esempio di non unicità della soluzione. Integrali di funzioni a valori vettoriali con alcune relative proprietà.
03/04/2018, 2 ore. Argomento: Funzioni equicontinue e funzioni equilimitate. Teorema di Ascoli-Arzelà. Considerazioni topologiche collegate (ad esempio uno spazio metrico compattto è sempre separabile).
04/04/2018, 2 ore. Argomento: Osservazione che le successioni di funzioni equilipschitziane sono equicontinue e altre considerazioni collegate col Teorema di Ascoli-Arzelà. Dimostrazione del teorema di esistenza della soluzione del problema di Cauchy nel caso generale di sistemi (con qualche precisazione da completare).
10/04/2018, 2 ore. Argomento: Precisazioni sulla dimostrazione del teorema di esistenza della soluzione del problema di Cauchy. Dimostrazione del teorema di unicità per il problema di Cauchy per il caso di funzione continua e localmente Lipshitziana nella y uniformemente rispetto a t. Tale condizione è soddisfatta se f è continua assieme alle derivate parziali rispetto alla y. In caso di unicità la successione delle approssimanti data nella lezione precedente converge lei stessa (senza passare alle estratte) alla soluzione del problema di Cauchy. Lemma topologico (una successione tale che ogni estratta ha un'estratta che converge a un punto fissato x converge a x). Uso del teorema di esistenza e unicità per provare lo sviluppo di Taylor di (1+x)^a, con a reale. Equazioni differenziali di ordine n in forma normale. Come queste ultime si riconducono a un sistema di n equazioni in n incognite in forma normale. Problema di Cauchy per equazioni differenziali di ordine n in forma normale, e relativo teorema di esistenza locale (quando la funzione è continua).
11/04/2018, 2 ore. Argomento: Problema di Cauchy per equazioni differenziali di ordine n in forma normale, e relativi teoremi di esistenza locale (quando la funzione è continua) e di esistenza e unicità locale quando la funzione ha anche derivate prime continue rispetto alle variabili y o anche nel caso di funzione continua e localmente Lipshitziana nella y uniformemente rispetto a t. Sistemi di equazioni differenziali lineari di n equazioni in n incognite, omogenee e non omogenee; dimostrazione che nel caso omogeneo le soluzioni formano uno spazio vettoriale di dimensione n. Struttura dell'insieme delle soluzioni nel caso non omogeneo (somma di una soluzione particolare e della soluzione generale dell'omogenea associata). Metodo della variazione delle costanti per sistemi lineari non omogenei. Equazioni differenziali lineari di ordine n in forma normale. Nel caso omogeneo dimostrazione che l'insieme delle soluzioni forma uno spazio vettoriale di dimensione n. Equazioni differenziali lineari di ordine n in forma normale non omogenee e soluzione col metodo della variazione delle costanti.
12/04/2018, 2 ore. Argomento: Ancora equazioni differenziali lineari di ordine n in forma normale non omogenee e soluzione col metodo della variazione delle costanti. Qualche esempio al riguardo. Funzioni dall'insieme dei numeri reali (in certi casi privato di un punto) a valori complessi; definizione in tale situazione di limiti, continuità, derivata e derivabilità, e prime proprietà per funzioni dall'insieme dei numeri reali a valori complessi. Soluzioni di un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti omogenea. Parte della dimostrazione di come è fatto l'insieme delle soluzioni. Operatore differenziale associato a un polinomio e proprietà relative. Polinomio caratteristico.
17/04/2018, 2 ore. Argomento: Fine della dimostrazione di come è fatto l'insieme delle soluzioni di un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti omogenea. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti non omogenee trattate col metodo degli annichilatori.
19/04/2018, 2 ore. Argomento: Prolungamento di soluzioni di un problema di Cauchy, e concetto di prolungamento massimale. Soluzione massimale. Casi in cui la soluzione è prolungabile, in particolare quando la soluzione rimane limitata vicino ad un estremo dell'intervallo dove è definita. Caso della striscia. Soluzioni globali.
24/04/2018, 2 ore. Argomento: Lemma di Gronwall. Casi in cui la soluzione è globale: caso di crescita sublineare, in particolare sistemi lineari. Qualche esempio di applicazione dei concetti dati. Introduzione al concetto di dipendenza continua dai dati iniziali.
03/05/2018, 2 ore. Argomento: I risultati sulla prolungabilità e sulle soluzioni massimali si trasportano alle equazioni differenziali di ordine n, in particolare le equazioni differenziali lineari di ordine n hanno soluzioni globali. Dipendenza continua dai dati iniziali. Regolarità delle soluzioni di un'equazione differenziale. Qualche esempio di equazioni differenziali non di tipo noto ma riconducibili a equazioni di tipo noto, equazione di Bernoulli. Esempi di considerazioni sullo studio qualitativo di equazioni differenziali.
08/05/2018, 2 ore. Argomento: Qualche equazione differenziale non di tipo noto ma riconducibile a un tipo noto, in particolare equazioni omogenee, equazioni di Eulero. Equazioni con forme esatte, fattore integrante. Cenno ad equazione del calore. Equazioni o sistemi autonomi (cenno).
09/05/2018, 2 ore. Argomento: Equazioni e sistemi autonomi, proprietà del semigruppo. Un esempio di sistema autonomo in R^2. Richiami e precisazioni sui teoremi della funzione implicita e dell'inversione locale. Principi generali sui massimi e minimi di funzioni, in particolare esistenza del minimo per funzioni che vanno a +infinito all'infinito. Esempi di calcolo di minimo e massimo assoluto di funzioni definite su insiemi in R^n.
10/05/2018, 2 ore. Argomento: Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Esempi di calcolo di minimo e massimo assoluto di funzioni definite su insiemi in R^n. Concetto di superficie.
15/05/2018, 2 ore. Argomento: Superfici regolari, esempi (in particolare sfera, toro, superfici di rotazione, superfici cartesiane), piano tangente, vettori normali, area di una superficie con motivazione intuitiva e modi diversi di esprimere l'elemento di area mediante una formula matriciale (formula di Binet).
16/05/2018, 2 ore. Argomento: Dimostrazione della formula matriciale di Binet (in parte). Cambio di parametrizzazione. Invarianza dell'area di una superficie per cambio di parametrizzazione e per trasformazioni ortogonali. Area di una superficie di rotazione. Qualche calcolo di area di superficie e intewgrale superficiale. Integrali superficiali. Invarianza di certi oggetti (spazio tangente, integrale superficiale) per cambio di parametrizzazione.
22/05/2018, 2 ore. Argomento: Fine della dimostrazione della formula matriciale di Binet. Modi diversi di esprimere una superficie (forma parametrica, forma cartesiana, forma implicita), e collegamenti tra questi modi. Collegamento con la definizione di superficie data precedentemente. Concetto di varietà immersa in R^n generalizzando quanto fatto per le superfici.
23/05/2018, 2 ore. Argomento: Teorema della divergenza nel piano.
24/05/2018, 2 ore. Argomento: Qualche considerazione sul teorema della divergenza nel piano. Teorema di Green e collegamento col teorema della divergenza. Applicazione al calcolo di aree di regioni del piano. Problema isoperimetrico nel piano.
29/05/2018, 2 ore. Argomento: Teorema della divergenza nello spazio (senza dimostrazione, analoga a quella nel caso del piano). Teorema di Stokes. Esercizi su cose viste (logica, calcolo di integrali doppi).
31/05/2018, 2 ore. Argomento: Esercizi di riepilogo su argomenti vari.
Lezioni di TUTORATO tenute da me 13/03/2018, 2 ore. Argomento: Convergenza puntuale, uniforme per successioni e serie di funzioni. Richiami dei risultati principali sulle serie numeriche.
15/03/2018, 2 ore. Argomento: Convergenza puntuale, uniforme e uniforme sui compatti di successioni e serie di funzioni. Derivazione di serie di funzioni.
22/03/2018, 2 ore. Argomento: Convergenza puntuale e uniforme di successioni e serie di funzioni. Serie di Taylor. Calcolo di somme di serie riconducendole a serie note.
29/03/2018, 2 ore. Argomento: Convergenza puntuale e uniforme di serie di funzioni. Serie di potenze, serie di Taylor, serie di Fourier. Calcolo della somma di qualche serie specifica. Derivazione termine a termine di serie di funzioni.
18/04/2018, 2 ore. Argomento: Richiami su spazi col secondo assima di numerabilità, separabili e di Lindelof. Esercizi su quando il problema di Cauchy ha un'unica soluzione locale. Equazioni a variabili separabili. Equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti, sia omogenee sia non omogenee.
26/04/2018, 2 ore. Argomento: Vari esercizi su equazioni differenziali, sia su soluzioni esplicite di equazioni differenziali, sia su studio qualitativo.
10/05/2018, 2 ore. Argomento: Equazioni differenziali con studi qualitativi. Problemi di massimo e minimo.
17/05/2018, 2 ore. Argomento: Problemi di massimo e minimo.
Lezioni di TUTORATO tenute dal tutore
05/04/2018, 2 ore. Argomento: Esercizi collegati col teorema di Ascoli-Arzelà. Equazioni differenziali a variabili separabili.
19/04/2018, 2 ore. Argomento: Equazioni differenziali di vario tipo.
24/05/2018, 2 ore. Argomento: Esercizi su massimi e minimi. Serie di Fourier.
30/05/2018, 2 ore. Argomento: Esercizi su massimi e minimi.
31/05/2018, 2 ore. Argomento: Esercizi su aree di superfici, e su teoremi di Green, divergenza e Stokes.