Lezioni Corso di Analisi Matematica IV per Matematica
07/03/2017, 2 ore. Argomento: Richiami su convergenza puntuale e uniforme di successioni e serie di funzioni. Esempi e significato. Relazione tra converegenza puntuale e uniforme di successioni, e continuità, integrale e derivata. Serie uniformemente convergente di funzioni continue e' continua.
08/03/2017, 2 ore. Argomento: Ancora convergenza puntuale e uniforme di successioni di funzioni. Criterio di Cauchy uniforme, e alcune osservazioni. Serie di funzioni e integrazione e derivazione di serie di funzioni. Criterio di Cauchy uniforme per serie di funzioni. Condizione necessaria perche' una serie di funzioni converga uniformemente (il termine generale tende a 0 uniformemente). Condizione sufficiente data dalla convergenza totale. Esempi.
09/03/2017, 2 ore. Argomento: Esempio di convergenza uniforme ma non totale di serie di funzioni non negative. Esempi di applicazione dei teoremi sulla derivazione e integrazione per successioni e serie di funzioni. Serie di potenze: definizione, raggio di convergenza e calcolo di questo con la formula del reciproco del limsup di radice ennesima di modulo di a_n. Convergenza semplice dentro il "cerchio di convergenza" e totale, quindi uniforme, in ogni suo sottointervallo chiuso. Derivazione delle serie di potenze. Esempi.
14/03/2017, 2 ore. Argomento: La serie di potenze e la serie delle derivate hanno lo stesso raggio di convergenza. Esempi di applicazione della derivazione delle serie di potenze. Integrazione delle serie di potenze. I risultati dati per le serie di potenze centrate in 0 si trasportano alle serie centrate in un punto qualunque. Serie di Taylor. Verifica che alcune delle funzioni abituali (esponenziale, seno e coseno) sono sviluppabili in serie di Taylor. Uso della serie di Taylor per provare il teorema del binomio. Serie di Taylor di (1+x)^a, a non naturale, e problemi nel verificare che questa coincide con la funzione data. Concetto di funzione analitica, ed esempio di funzione con serie di Taylor convergente (in realtà convergente a 0), ma con la funzione diversa dalla sua serie di Taylor. Ogni serie di potenze è in realtà una serie di Taylor. Esempi di calcolo di serie di Taylor.
15/03/2017, 2 ore. Argomento: Serie di Taylor di logaritmo e arcotangente, e applicazione al calcolo del logaritmo di un numero positivo e di pi greco. Teorema di Abel sulla convergenza uniforme di serie di potenze. Funzioni periodiche. L'insieme dei periodi costistuisce un sottogruppo del gruppo additivo dei numeri reali. Una funzione continua periodica non costante ha un minimo periodo positivo.
21/03/2017, 2 ore. Argomento: L'integrale di una funzione periodica su un intervallo lungo quanto il periodo non dipende dall'intervallo stesso. Concetto di prolungamento periodico. Serie di Fourier e coefficienti di Fourier. Lemma su somma di funzioni trigonometriche. Disuguaglianza di Bessel (enunciato e inizio della dimostrazione). Interpretazione delle funzioni seno di kx e coseno di kx come elementi ortogonali rispetto a un opporetuno prodotto scalare, e interpertazione in tal senso della disuguaglianza di Bessel. Prova che il prodotto di funzioni integrabili secondo Riemann e' integrabile secondo Riemann.
22/03/2017, 2 ore. Argomento: Dimostrazione della disuguaglianza di Bessel. Funzioni continue a tratti e regolari a tratti. Enunciato e dimostrazione del teorema della convergenza puntuale delle serie di Fourier per funzioni regolari a tratti. Serie di Fourier di funzioni pari (soli coseni) e di funzioni dispari (soli seni). Esempi di serie di Fourier, in particolare del prolungamento periodico di x.
23/03/2017, 2 ore. Argomento: Serie di Fourier del prolungamento periodico di x^2; applicazioni al calcolo della somma di serie notevoli. Integrazione per parti di funzioni regolari a tratti. Teorema della convergenza uniforme della serie di Fourier per funzioni continue e regolari a tratti, e (senza dimostrazione) di convergenza uniforme negli intervalli chiusi di continuità per funzioni regolari a tratti. Uguaglianza di Parseval come conseguenza di tali teoremi per funzioni continue e regolari a tratti. Le serie di Fourier si possono integrare termine a termine per funzioni continue a tratti. Cenno a interpretazione complessa delle serie di Fourier. Cenno alle equazioni differenziali, equazioni differenziali del primo ordine in forma normale.
28/03/2017, 2 ore. Argomento: Equazioni differenziali, equazioni differenziali del primo ordine in forma normale, sistemi differenziali del primo ordine in forma normale. Problema di Cauchy per equazioni differenziali e per sistemi differenziali, relativi teoremi (per ora solo enunciati) di esistenza locale se la funzione e' continua e di esistenza e unicità locale se la funzione ha ulteriori proprietà (tipo: ha anche derivate rispetto a y continue); tutto questo per equazioni o sistemi del primo ordine in forma normale. Dimostrazione che nel caso di esistenza e unicità, l'unicità e' globale. Scrittura equivalente del problema di Cauchy in forma intergrale. Equazioni a variabili separabili, con un esempio che mostra che l'esistenza della soluzione del problema di Cauchy in genere puo' non essere globale. Un esempio di non unicità della soluzione. Integrali di funzioni a valori vettoriali con alcune relative proprietà.
29/03/2017, 2 ore. Argomento: Funzioni equicontinue e funzioni equilimitate. Teorema di Ascoli-Arzelà. Considerazioni topologiche collegate (ad esempio uno spazio metrico compattto è sempre separabile).
30/03/2017, 2 ore. Argomento: Osservazione che le successioni di funzioni equilipschitziane sono equicontinue. Dimostrazione del teorema di esistenza della soluzione del problema di Cauchy nel caso generale di sistemi. Unicità.
05/04/2017, 2 ore. Argomento: Dimostrazione del teorema di unicità per il problema di Cauchy per il caso di funzione continua e localmente Lipshitziana nella y uniformemente rispetto a t. Tale condizione è soddisfatta se f è continua assieme alle derivate parziali rispetto alla y. In caso di unicità la successione delle approssimanti data nella lezione precedente converge lei stessa (senza passare alle estratte) alla soluzione del problema di Cauchy. Lemma topologico (una successione tale che ogni estratta ha un'estratta che converge a un punto fissato x converge a x). Uso del teorema di esistenza e unicità per provare lo sviluppo di Taylor di (1+x)^a, con a reale. Equazioni differenziali di ordine n, e in particolare in forma normale. Come queste ultime si riconducono a un sistema di n equazioni in n incognite in forma normale. Problema di Cauchy per equazioni differenziali di ordine n in forma normale, e relativi teoremi di esistenza locale (quando la funzione è continua) e di esistenza e unicità locale quando la funzione ha anche derivate prime continue rispetto alle variabili y. Sistemi di equazioni differenziali lineari di n equzioni in n incognite, omogenee.
06/04/2017, 2 ore. Argomento: Sistemi di equazioni differenziali lineari di n equzioni in n incognite, omogenee e non omogenee; dimostrazione che nel caso omogeneo le soluzioni formano uno spazio vettoriale di dimensione n. Struttura dell'insieme delle soluzioni nel caso non omogeneo (somma di una soluzione particolare e della soluzione generale dell'omogenea associata). Metodo della variazione delle costanti per sistemi lineari non omogenei. Equazioni differenziali lineari di ordine n in forma normale. Nel caso omogeneo dimostrazione che l'insieme delle soluzioni forma uno spazio vettoriale di dimensione n. Equazioni differenziali lineari di ordine n in forma normale non omogenee e soluzione col metodo della variazione delle costanti. Qualche esempio al riguardo. Richiamo senza dimostrazione della soluzione di un'equazione diffenziale lineare di ordine n omogenea a coefficienti costanti. Funzioni dall'insieme dei numeri reali (in certi casi privato di un punto) a valori complessi; definizione in tale situazione di limiti, continuità, e prime proprietà.
11/04/2017, 2 ore. Argomento: Definizione di derivata e derivabilità, e prime proprietà per funzioni dall'insieme dei numeri reali a valori complessi. Soluzioni di un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti omogenea. Quasi tutta la dimostrazione di come è fatto l'insieme delle soluzioni. Operatore differenziale associato a un polinomio e proprietà relative. Polinomio caratteristico.
12/04/2017, 2 ore. Argomento: Fine della dimostrazione di come è fatto l'insieme delle soluzioni di un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti omogenea. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti non omogenee trattate col metodo degli annichilatori. Soluzione massimale di un problema di Cauchy.
18/04/2017, 2 ore. Argomento: Prolungamento di soluzioni di un problema di Cauchy, e concetto di prolungamento massimale. Soluzione massimale, e intervallo massimale. Casi in cui la soluzione è prolungabile, in particolare quando la soluzione rimane limitata vicino ad un estremo dell'intervallo dove è definita. Caso della striscia. Soluzioni globali.
19/04/2017, 2 ore. Argomento: Lemma di Gronwall. Casi in cui la soluzione è globale: caso di crescita sublineare, in particolare sistemi lineari, e qualche esempio. I risultati sulla prolungabilità e sulle soluzioni massimali si trasportano alle equazioni differenziali di ordine n, in particolare le equazioni differenziali lineari di ordine n hanno soluzioni globali. Introduzione al concetto di dipendenza continua dai dati iniziali e relativo enunciato.
26/04/2017, 2 ore. Argomento: Dipendenza continua dai dati iniziali. Regolarità delle soluzioni di un'equazione differenziale. Un esempio di studio qualitativo di un'equazione differenziale ove si trova con considerazioni qualitative quali soluzioni sono globali.
27/04/2017, 2 ore. Argomento: Ancora richiami e considerazioni sullo studio qualitativo di equazioni differenziali. Qualche equazione differenziale non di tipo noto ma riconducibile a un tipo noto, in particolare equazione di Bernoulli, equazioni omogenee, equazioni di Eulero. Equazioni con forme esatte, fattore integrante.
04/05/2017, 2 ore. Argomento: Richiami su equazioni con forme esatte, fattore integrante. Equazioni e sistemi autonomi, punti di equilibrio, proprietà del semigruppo. Un esempio di sistema autonomo in R^2. Cenno ad equazione del calore. Richiami e precisazioni sui teoremi della funzione implicita e dell'inversione locale.
05/05/2017, 2 ore. Argomento: Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Esempi di calcolo di minimo e massimo assoluto di funzioni. Introduzione al concetto di superficie.
09/05/2017, 2 ore. Argomento: Superfici: definizione, superfici regolari, esempi (in particolare sfera, toro, superfici di rotazione, superfici cartesiane), piano tangente, vettori normali, area di una superficie con motivazione intuitiva e modi diversi di esprimere l'elemento di area mediante una formula matriciale (formula di Binet).
10/05/2017, 2 ore. Argomento: Dimostrazione della formula matriciale di Binet. Cambio di parametrizzazione. Invarianza dell'area di una superficie per cambio di parametrizzazione e per trasformazioni ortogonali. Area di una superficie di rotazione.
16/05/2017, 2 ore. Argomento: Qualche calcolo di area di superficie. Integrali superficiali. Invarianza di certi oggetti (spazio tangente, integrale superficiale) per cambio di parametrizzazione. Modi diversi di esprimere una superficie (forma parametrica, forma cartesiana, forma implicita), e collegamenti tra questi modi. Concetto di varietà immersa in R^n generalizzando quanto fatto per le superfici. Questioni di massimi e minimi per funzioni di piú variabili, in particolare esistenza di minimi per funzioni che tendono a +infinito all'infinito.
17/05/2017, 2 ore. Argomento: Collegamento tra modi diversi per esprimere una superficie in forma parametrica. Insiemi regolari e teorema della divergenza: enunciato e buona parte della dimostrazione, incluso un teorema di partizione dell'unità.
23/05/2017, 2 ore. Argomento: Fine della dimostrazione del teorema della divergenza. Teorema di Green e collegamento col teorema della divergenza. Applicazione al calcolo di aree di regioni del piano. Problema isoperimetrico nel piano: enunciato e inizio di dimostrazione.
25/05/2017, 2 ore. Argomento: Fine della dimostrazione della soluzione del problema isoperimetrico nel piano. Teorema della divergenza nello spazio (solo enunciato). Rotore. Teorema di Stokes: enunciato e considerazioni al riguardo.
30/05/2017, 2 ore. Argomento: Dimostrazione (senza alcuni dettagli di calcolo) del teorema di Stokes. Considerazioni collegate. Considerazioni di ricapitolazione su alcuni argomenti.
Lezioni di TUTORATO tenute da me 10/03/2017, 2 ore. Argomento: Convergenza puntuale, uniforme, e uniforme sui compatti per successioni e serie di funzioni.
16/03/2017, 2 ore. Argomento: Convergenza puntuale, uniforme, e uniforme sui compatti per successioni e serie di funzioni (uniforme sui compatti solo per le serie). Derivazione di serie di funzioni.
13/04/2017, 2 ore. Argomento: Esercizi su successioni e serie di funzioni, e derivazione per serie. Precisazioni sulla compattezza. Richiamo sui teoremi di esistenza e di unicità per equazioni differenziali di ordine n. Esempi di equazioni a variabili separabili. Equazioni di ordine n lineari a coefficienti costanti omogenee e loro soluzione. Equazioni di ordine n lineari a coefficienti costanti non omogenee con esempi, risolte col metodo della variazione delle costanti.
21/04/2017, 2 ore. Argomento: Precisazioni su un esercizio del precedente tutorato sul limite di successioni di funzioni. Esercizi su equazioni differenziali: soluzioni esplicite e considerazioni qualitative.
02/05/2017, 2 ore. Argomento: Esercizi su equazioni differenziali anche con studi qualitativi.
18/05/2017, 2 ore. Argomento: Esercizi su problemi di massimo e minimo anche (e in particolare) con l'uso dei moltiplicatori di Lagrange.
01/06/2017, 2 ore. Argomento: Esercizi su argomenti vari: Integrali superficiali, teoremi di Green, Stokes e divergenza, problemi di massimo e minimo, forse altro ma non credo.
Lezioni di TUTORATO tenute dal tutore 24/03/2017, 2 ore. Argomento: Convergenza puntuale, uniforme, e uniforme sui compatti per successioni e serie di funzioni. Serie di potenze, di Taylor e di Fourier.
04/04/2017, 2 ore. Argomento: Convergenza puntuale, uniforme, e uniforme sui compatti per successioni e serie di funzioni. Derivazione per serie. Serie di potenze.
28/04/2017, 2 ore. Argomento: Esercizi su equazioni differenziali anche con studi qualitativi.
11/05/2017, 2 ore. Argomento: Esercizi su problemi di massimo e minimo anche con l'uso dei moltiplicatori di Lagrange.
24/05/2017, 2 ore. Argomento: Problemi di massimo e minimo.
31/05/2017, 2 ore. Argomento: Esercizi vari (anche di ricapitolazione).